概率论与数理统计第七章习题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章习题,2.,设,X,1,X,2,X,n,为总体的一个样本,x,1,x,2,x,n,为一相应的样本值,;,求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值,.,(1),解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩,1,即可,.,解出,将总体一阶矩,1,换成样本一阶矩,A,1,=X,得到参数,的矩估计量,矩估计值,其中,c0,为已知,1,为未知参数,.,1,2.(2),其中,0,为未知参数,.,解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩,1,即可,.,解出,将总体一阶矩,1,换成样本一阶矩,A,1,=X,得到参数,的矩估计量,矩估计值,2,3.,求,1,题中各未知参数的,最大似然,估计值和估计量,.,(1),其中,c0,为已知,1,为未知参数,.,解 似然函数,x,i,c(i=1,2,n),时,取对数得,令,得到,的,最大似然,估计值,的,最大似然,估计量,3,3.(2),其中,0,为未知参数,.,解 似然函数,0,x,i,1(i=1,2,n),时,取对数得,令,得到,的,最大似然,估计值,的,最大似然,估计量,4,4.(2),设,X,1,X,2,X,n,是来自参数为,的泊松分布总体的一个样本,试求,的,最大似然,估计量及矩估计量,.,解 泊松分布的分布律为,总体一阶矩,1,=E(X)=,将总体一阶矩,1,换成样本一阶矩,A,1,=X,得到参数,的矩估计量,似然函数,取对数得,令,得到,的,最大似然,估计值,的,最大似然,估计量,设,x,1,x,2,x,n,为相应的样本值,5,8,(1),验证第六章,2,定理四中的统计量,是两总体公共方差,2,的无偏估计量,(S,W,2,称为,2,的合并估计,).,证,两正态总体,N(,1,1,2,),N(,2,2,2,),中,1,2,=,2,2,=,2,而不管总体,X,服从什么分布,都有,E(S,2,)=D(X),因此,E(S,1,2,)=E(S,2,2,)=,2,(2),设总体,X,的数学期望为,.,X,1,X,2,X,n,是来自,X,的样本,.a,1,a,2,a,n,是任意常数,验证,是,的无偏估计量,.,证,E(X,1,)=E(X,2,)=,=E(X,n,)=E(X)=,6,10.,设,X,1,X,2,X,3,X,4,是来自均值为,的指数分布总体的样本,其中,未知,.,设有估计量,T,2,=(X,1,+2X,2,+3X,3,+4X,4,)/5,T,3,=(X,1,+X,2,+X,3,+X,4,)/4.,(1),指出,T,1,T,2,T,3,中哪几个是,的无偏估计量,;,(2),在上述,的无偏估计量中指出哪一个较为有效,.,解,X,i,(i=1,2,3,4),服从均值为,的指数分布,故,E(X,i,)=,D(X,i,)=,2,(1),因此,T,1,T,3,是,的无偏估计量,.,(2)X,1,X,2,X,3,X,4,相互独立,由于,D(T,1,)D(T,3,),所以,T,3,比,T,1,较为有效,.,7,12.,设从均值为,方差为,2,0,的总体中,分别抽取容量为,n,1,n,2,的两独立样本,.X,1,和,X,2,分别是两样本的均值,.,试证,对于任意常数,a,b(a+b=1),Y=aX,1,+bX,2,都是,的无偏估计,并确定常数,a,b,使,D(Y),达到最小,.,解 由,p168(2.19),得,E(X,1,)=E(X,2,)=,D(X,1,)=,2,/n,1,D(X,2,)=,2,/n,2,.,故,E(Y)=aE(X,1,)+bE(X,2,)=(a+b),=,(a+b=1),所以,对于任意常数,a,b(a+b=1),Y=aX,1,+bX,2,都是,的无偏估计,.,由于两样本独立,故两样本均值,X,1,和,X,2,独立,所以,由极值必要条件,解得,而,由于,故,D(Y),必有唯一极小值即最小值,.,8,14.,设某种清漆的,9,个样品,其干燥时间,(,以小时计,),分别为,6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0,设干燥时间总体服从正态分布,N(,2,),求,的置信水平为,0.95,的置信区间,.(1),若由以往经验知,=0.6,(2),若,为未知,.,解,(1),2,已知,的置信水平为,1-,的置信区间为,n=9,1-,=0.95,=0.05,(z,0.025,)=1-0.025=0.975,z,0.025,=1.96,=0.6,x=6,的一个置信水平为,0.95,的置信区间为,(5.608,6.392).,(2),2,未知,的置信水平为,1-,的置信区间为,n=9,1-,=0.95,=0.05,t,/2,(n-1)=t,0.025,(8)=,2.3060,s=0.5745,的一个置信水平为,0.95,的置信区间为,(5.558,6.442).,9,16.,随机地取某种炮弹,9,发做试验,得炮口速度的样本标准差,s=11(m/s).,设炮口速度服从正态分布,.,求这种炮弹的炮口速度的标准差,的置信水平为,0.95,的置信区间,.,解,未知,的置信水平为,1-,的置信区间为,n=9,1-,=0.95,=0.05,2,/2,(n-1)=,2,0.025,(8)=,2,1-,/2,(n-1)=,2,0.975,(8)=,17.535,2.18,又,s=11,标准差,的置信水平为,0.95,的置信区间为,(7.4,21.1).,10,18.,随机地从,A,批导线中抽取,4,根,又从,B,批导线中抽取,5,根,测得电阻,(,欧,),为,A,批导线,:0.143 0.142 0.143 0.137,B,批导线,:0.140 0.142 0.136 0.138 0.140,设测定数据分别来自分布,N(,1,2,),N(,2,2,),且两样本相互独立,.,又,1,2,2,均为未知,.,试,求,1,-,2,的置信水平为,0.95,的置信区间,.,解 两正态总体相互独立,方差相等,但方差未知,其均值差,1,-,2,的一个置信水平为,1-,的置信区间为,n,1,=4,n,2,=5,1-,=0.95,=0.05,t,/2,(n,1,+n,2,-2)=t,0.025,(7)=,2.3646,x,1,=0.14125,x,2,=0.1392,s,1,2,=8.25,10,-6,s,2,2,=5.2,1,0,-6,1,-,2,的一个置信水平为,0.95,的置信区间为,(-0.002,0.006).,11,20.,设两位化验员,A,B,独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作,10,次测定,其测定值的样本方差依次为,s,A,2,=0.5419,s,B,2,=0.6065,设,A,2,B,2,分别为,A,B,所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的,设两样本独立,求方差比,A,2,/,B,2,的置信水平为,0.95,的置信区间,.,解 两正态总体均值,未知,方差比,A,2,/,B,2,的一个置信水平为,1-,的,置信区间为,n,A,=10,n,B,=10,1-,=0.95,=0.05,F,/2,(n,A,-1,n,B,-1)=F,0.025,(9,9)=,4.03,s,A,2,=0.5419,s,B,2,=0.6065,A,2,/,B,2,的一个置信水平为,0.95,的置信区间为,(0.222,3.601).,12,22(2),求,18,题中,1,-,2,的置信水平为,0.95,的单侧置信下限,.,解,按照,t,分布的上,分位点的定义,即,1-,=0.95,=0.05,t,(n,1,+n,2,-2)=t,0.05,(7)=1.8946,1,-,2,的置信水平为,0.95,的单侧置信下限为,18,题中已得到,x,1,=0.14125,x,2,=0.1392,s,w,=2.55,10,-3,n,1,=4,n,2,=5,13,22(3),求,20,题中方差比,A,2,/,B,2,的置信水平为,0.95,的单侧置信上限,.,解 由,p169,定理四得,按照,F,分布的下,分位点的定义,即,20,题中已得到,n,A,=10,n,B,=10,s,A,2,=0.5419,s,B,2,=0.6065,1-,=0.95,=0.05,1/F,1-,(n,A,-1,n,B,-1)=F,(n,B,-1,n,A,-1)=F,0.05,(9,9)=3.18,A,2,/,B,2,的置信水平为,0.95,的单侧置信上限为,14,