概率论与数理统计：连续型随机变量及其概率密度.ppt

单击此处编辑母版标题样式,一、连续型随机变量的概念,二、常见连续型随机变量的分布,三、小结,第四节连续型随机变量及其概率密度,定义,设,X,是一随机变量，若存在一个非负,可积函数,f,(,x,),使得,其中,F,(,x,),是它的分布函数,则称,X,是,连续型随机变量,，,f,(,x,),是它的,概率密度函数,(p.d.f.),，简称为,密度函数,或,概率密度,一、连续型随机变量的概念,x,f,(,x,),x,F,(,x,),分布函数,F,(,x,),与密度函数,f,(,x,),的几何意义,p.d.f.,f,(,x,),的性质,1,、,2,、,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其,中的未知参数,3,、,在,f,(,x,),的连续点处，,f,(,x,),描述了,X,在,x,附近单位长度的区间内,取值的概率,4,对于任意可能值,a,连续型随机变量取,a,的概率等于零,.,即,事实上,由此可得：,b,x,f,(,x,),a,连续型随机变量取值落在某一,区间的概率与区间的开闭无关,x,f,(,x,),a,若,X,是连续型随机变量，,X,=,a,是不,可能事件，则有,若,X,为离散型随机变量,（,3,）,连,续,型,离,散,型,解,例,1,二、常见连续型随机变量的分布,1.,均匀分布,概率密度,函数图形,均匀分布概率密度函数,演示,均匀分布的意义,即,X,的取值在,(,a,b,),内任何长为,d,c,的小区间,的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正,比,.,这正是几何概型的情形,.,分布函数,均匀分布分布函数图形,演示,例,3,设随机变量,X,服从,(1,6),上的均匀分布，求一元两次方程,t,2,+Xt+,1,=,0,有实根的概率,.,解,:,故所求概率为,:,而,X,的密度函数为,:,因此所求概率,解,由题意,R,的概率密度为,故有,例,3,设电阻值,R,是一个随机变量，均匀分布在,1100,求,R,的概率密度及,R,落在,950 1050,的概率,2.,正态分布,(,或,高斯分布,),高斯资料,正态概率密度函数的几何特征,正态分布密度函数图形,演示,正态分布的分布函数,正态分布分布函数图形,演示,（,1,）,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如,测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等,;,正常情况下生产的产品尺寸,:,直径、长度、重量,高度等都近似服从正态分布,.,正态分布的应用与背景,可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见,的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立,的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态,随机变量,.,（,2,）正态分布还可以导出一些有用的分布。,（,3,）另一方面,有些分布,(,如二项分布、泊松分布,),的极限分布是正态分布,.,所以,无论在实践中,还是在,理论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布,.,二项分布向正态分布的转换,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,标准正态分布的图形,标准正态分布的计算：,-x,x,对一般的正态分布,：,X N,(,2,),其分布函数,作变量代换,例,6,已知,且,P,(2,X,4,)=0.3,求,P,(,X 3,所以至少要进行,4,次独立测量才能满足要求,.,3,指数分布,若,X,的密度函数为,则称,X,服从,参数为,的指数分布,记作,X,的分布函数为,0,为常数,对于任意的,0,a,b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种,“,寿命,”,分布的近似,例,4,令：,B,=,等待时间为,1020,分钟,(4),伽玛分布,设随机变量,X,，若,X,的密度函数为,则称,X,服从参数为 的伽玛（,Gamma,）分布,简称为 分布，,注,:,伽玛函数具有性质：,(5),威布尔分布,(,自学,),(6),截尾分布,(,自学,),分布函数,三、小结,2.,常见连续型随机变量的分布,均匀分布,正态分布,(,或高斯分布,),指数分布,Born:,30 Apr.1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany),Died:,23 Feb.1855 in Gttingen,Hanover(now Germany),Carl Friedrich Gauss,高斯资料,一、离散型随机变量函数的分布,二、连续型随机变量函数的分布,三、小结,第五节 随机变量的分布,问题,一、离散型随机变量的函数的分布,Y,的可能值为,即,0,1,4,.,解,例,1,故,Y,的分布律为,由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法,.,离散型随机变量的函数的分布,Y,的分布律为,例,2,设,解,第一步,先求,Y,=2,X,+8,的分布函数,解,二、连续型随机变量函数的分布,例,3,第二步,由分布函数求概率密度,.,本例用到变限的定积分的求导公式,解,例,4,再由分布函数求概率密度,.,当,Y,=2,X,+3,时,有,证明,X,的概率密度为,例,5,三、小结,1.,离散型随机变量的函数的分布,2.,连续型随机变量的函数的分布,方法,1,方法,2,注意条件,.,