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椭圆与方程椭圆与方程【知识梳理】1、椭圆的定义平面内，到两定点、的距离之和为定长的点的轨迹称为椭圆，其中两定点、称为椭1F2F1222,0a FFa a1F2F圆的焦点，定长称为椭圆的长轴长，线段的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第一定义.2a12FF2、椭圆的简单性质标准方程222210 xyabab222210yxabab顶点坐标、,0Aa0,Bb、,0Ab0,Ba焦点坐标左焦点，右焦点1,0Fc2,0Fc上焦点，下焦点10,Fc20,Fc长轴与短轴长轴长、短轴长2a2b长轴长、短轴长2a2b有界性，axa byb，aya bxb 对称性关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称.xycba、之间关系222cba3、焦半径椭圆上任意一点到椭圆焦点的距离称为焦半径，且，特别地，若为椭圆PF,PFac ac00(,)P xy上的任意一点，为椭圆的左右焦点，则，其222210 xyabab1(,0)Fc2(,0)F c10|PFaex20|PFaex中.cea4、通径过椭圆焦点作垂直于长轴的直线，交椭圆于、两点，称线段为椭圆的通径，且222210 xyababFABAB.22bABa5、焦点三角形为椭圆上的任意一点，为椭圆的左右焦点，称为椭圆的焦点三角P222210 xyabab1(,0)Fc2(,0)F c12PFF形，其周长为：，若，则焦点三角形的面积为：.1222F PFCac12FPF122tan2F PFSb6、过焦点三角形直线 过椭圆的左焦点，与椭圆交于、两点，称为椭圆的过焦点l222210 xyabab1F11(,)A x y22(,)B xy2ABF三角形，其周长为：，面积为.24ABFCa212yycSABF7、点与椭圆的位置关系为平面内的任意一点，椭圆方程为：若，则在椭圆上；若，00,P xy22221(0)xyabab2200221xyabP2200221xyab则在椭圆外；若，则在椭圆内.P2200221xyabP8、直线与椭圆的位置关系直线，椭圆：，则:0l AxByC22221(0)xyabab与相交；l22222a Ab BC与相切；l22222a Ab BC与相离.l22222a Ab BC9、焦点三角形外角平分线的性质（*）点是椭圆上的动点，是椭圆的焦点，是的外角平分线上一点，且(,)P x y22221(0)xyabab12,F FM12FPF，则，即动点的点的轨迹为.20F M MPuuuu r uuu rOMaM222xyaxa 10、椭圆上任意两点的坐标性质为椭圆上的任意两点，且，则.1122,A x yB xy222210 xyabab12xx2221222212yybxxa【推广 1】直线 过椭圆的中心，与椭圆交于两点，为椭圆上的任意一l222210 xyabab1122,A x yB xyP点，则（均存在）.22APBPbkka,APBPkk【推广 2】设直线交椭圆于两点，交直线于点若110lyk xm m、222210 xyababCD、22lyk x、E为的中点，则.ECD2122bk ka 11、中点弦的斜率为椭圆内的一点，直线 过与椭圆交于两点，且，则000,0M xyy 222210 xyabablM,A BAMBM直线 的斜率.l2020ABb xka y 12、相互垂直的半径倒数的平方和为定值若、为椭圆：上的两个动点，为坐标原点，且则定值ABC222210 xyababOOAOB2211|OAOB2211ab【典型例题典型例题】例例 1、直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是_1ykx2215xymm【变式 1】已知方程表示椭圆，则的取值范围_13522kykxk【变式 2】椭圆的两个焦点坐标分别为_12222mxmy例例 2、已知圆，圆内一定点，圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程.1003:22yxAA3,0BPBAP【变式 1】已知圆，圆,动圆分别与圆相外切，与圆相内切.11:221yxO91:222yxOM1O2O求动圆圆心所在的曲线的方程.M【变式 2】已知的两个顶点坐标为，的周长为 18，则顶点的轨迹方程为ABC(4,0),(4,0)ABABCC_【变式 3】已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆的圆心的轨P03，A64322yxB：P迹方程例例 3、若是椭圆上的点，和是焦点，则P13422yx1F2F（1）的取值范围为_21PFPFu u u u r u u u r（2）的取值范围为_12PFPFu u u ru u u u r（3）的取值范围为_2212PFPFu u u ru u u u r【变式 1】点是椭圆上的一点，是椭圆的焦点，是的中点，且，为(,)P x y22194xy12,F FM1PF12PF O坐标原点，则_.OM【变式 2】点是椭圆上的动点，是椭圆的焦点，是的外角平分线(,)P x y22221(0)xyabab12,F FM12FPF上一点，且，则动点的轨迹方程为_20F M MPuuuu r uuu rM例例 4、已知椭圆内有一点，为椭圆的左焦点，是椭圆上动点，求的最大值与2212516xy2,1AFPPAPF最小值_【变式】若椭圆的左、右两个焦点分别为、，过点的直线 与椭圆相交于、两点，则171622yx1F2F1FlAB的周长为_BAF2例例 5、是椭圆的焦点，点为其上动点，且，则的面积是_12,F F2214xyP1260FPF12FPF【变式】焦点在轴上的椭圆方程为，、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得x2221(0)xyaa1F2FB，那么实数的取值范围是_.122FBFa例例 6、已知椭圆，2212xy（1）求过点且被平分的弦所在的直线的方程；1 12 2P，P（2）求斜率为的平行弦的中点轨迹方程；2（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.(21)A、（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，PQOOPOQ21OQOPkk求线段中点的轨迹方程PQM例例 7、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关13422yxC：mmxyl 4：C于该直线对称例例 8、已知椭圆及直线1422 yxmxy（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程5102例例 9、已知定点，动点是圆（为圆心）上一点，线段的垂直平分线交2,0A B64)2(:22yxFFAB于.BFP（1）求动点的轨迹方程；P（2）直线交点的轨迹于两点，若点的轨迹上存在点，使求实数13 xyP,M NPC,OCmONOM的值；m例例 10、已知椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为12222byax0 ba,0Aa0,Bb623（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线 的方程；1,0D EFDFED2EF（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出k2 kxyPQPQ(1,0)D 的值；若不存在，请说明理由k例例 11、若是经过椭圆中心的一条弦点，分别为椭圆的左、右焦点，求的面积的最大AB2212516xy12,F F1F AB值.【变式 1】已知直线 与椭圆交于两点，坐标原点到直线 的距离为，求的面积的l2213xyAB、Ol32AOB最大值.【变式 2】斜率为 的直线 与椭圆交于两点，为坐标原点，求面积取最大值时直线1l22142xyAB、OAOB的方程.l【变式 3】已知定点和椭圆上的动点)0,(aA8222yx),(yxP（1）若且，计算点的坐标；2a223|PAP（2）若且的最小值为 1，求实数的值.30 a|PAa【变式 4】如图，椭圆的中心在原点，是它的两个顶点，直线交线段于点，2,0,0,1AB(0)ykx kABD交椭圆于两点.,E F（1）若，求直线的斜率；6EDDFuuu ruuu rk（2）求四边形的面积的最大值.AFBES【变式 5】椭圆的一个焦点是222104xybb1,0F（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上的任意一点，定点为轴正半轴上的一点，若的最小值为，求定点的坐标；PMxPM85M（3）若过原点作互相垂直两条直线，交椭圆分别于与两点，求四边形 面积的取值范围.O,A C,B DABCD【变式 6】在平面直角坐标系中，动点到定点的距离之和为 4，设点的轨迹为曲线，xOyP3,0,3,0PC直线 过点，且与曲线交于两点.l(1,0)E C,A B（1）求曲线的方程；C（2）以为直径的圆能否通过坐标原点？若能通过，求此时直线 的方程，若不能，说明理由.ABl（3）的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值，以及此时的直线方程，若不存在，请说明理由.AOB例例 12、已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为 42222(0)xyaa（1）求椭圆的方程；C（2）已知直线与椭圆交于、两点，试问，是否存在轴上的点，使得对任意的)1(xkyCABx,0M m，为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.kRMA MBuuu r uuu rM【变式 1】过椭圆长轴上某一点（不含端点）作直线（不与轴重合）交椭圆于两点，22182xy,0S slx,M N若点满足：，求证：.,0T t8OS OTu u u r u u u rMTSNTS【变式 2】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为 4，且点在椭圆上Cx31,2C（1）求椭圆的方程；C（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线 交椭圆于、两点，求证：PCP2,1d u rlCAB为定值22PAPB【变式 3】如图，为椭圆上的一个动点，弦分别过椭圆的的左右交点.当A2222+10 xyabab,AB AC12,F F轴时，恰好ACx123AFAF（1）求的值ca（2）若，试判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.111AFFBuuu ruuu r222AFF Cuuu u ruuu u r12【变式 4】线段分别在轴，轴上滑动，且，为线段上的一点，且，随,A Bxy3AB MAB1AM M的滑动而运动,A B（1）求动点的轨迹方程；ME（2）过的直线交曲线于两点，交轴于，试判断是否(3,0)NE,C DyP1PCCNuuu ruuu r2PDDNuuu ruuu r12为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【变式 5】如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于C22221xyab11,0F 21,0F1FC两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、构成,A BABGABxy,D E1AF12FF2AF等差数列.（1）求椭圆的方程；C（2）记的面积为，（为原点）的面积为1GFD1SOEDO2S试问：是否存在直线，使得？说明理由AB12SS【变式 6】已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，点为椭圆上一点C22212xya(0)a xQ27(,)22（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点满足，其中、是椭圆上的点，直线与P00(,)xy2OPOMONu u u ru u u u ru u u rMNCOMON的斜率之积为，求证：为定值；1222002xy（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点，使得为定值？,A BPAPB若存在，给出证明；若不存在，请说明理由例例 13、椭圆的一个顶点，焦点在轴上，右焦点到直线的距离为 3.(0,1)Ax2 20 xy（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线相交于不同两点，当时，求实数 的取值范围.(0)ykxm k,M NAMANm【变式 1】已知、是椭圆上的三点，其中，过椭圆的中心，且ABC222210 xyabab2 3,0ABC，.0AC BCu u u r u u u r2BCACuuu ruuu r（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交于两点，设为椭圆与轴负半轴的交点，且.求0,Mtl,P QDyDPDQuuu ruuu r实数 的取值范围.t