专题39开放性问题.doc

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开放性问题

填空题
1．（2015•广东梅州,第12题，3分）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E， F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是　 ．（写出一个即可）
考点：相似三角形的判定．.
专题：开放型．
分析：根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．
解答：解：分两种情况：
①∵△AEF∽△ABC，
∴AE：AB=AF：AC，
即1：2=AF：AC，
∴AF=AC；
②∵△AFE∽△ACB，
∴∠AFE=∠ABC．
∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．
故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC．

点评：本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．

2. （2015呼和浩特，16，3分）以下四个命题:
①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补.
②边数相等的两个正多边形一定相似.
③等腰三角形ABC中, D是底边BC上一点, E是一腰AC上的一点,若∠BAD=60°且AD=AE,则∠EDC=30°.
④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点.
其中正确命题的序号为__________.
考点分析： 命题 几何综合 填空压轴 方程思想
详解：②③④
与2014年考的形式一样，但难度略微低一些，逐一给你分析思路。首先作为客观题的压轴题吗，记住是客观题，四个选项全都正确的可能性极小，因为很多数学不太好的学生会蒙，蒙四个选项的人大有人在，这样也能对的话，对真正靠推理计算做出来的同学太不公平，只一个正确选项的情况极少，因为有的同学的水平就够看一个真确的，所以先写上，有时间在回来看，如果真的写对了，你说他是真的会做还是蒙的，所以正确的选项很有可能是2个或3个。
①你曾经做过一道类似的题目，相信当时还有不少同学做错：如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等。记得错在哪里了吗？如果你能想起来这道题，那么本小问就不会太难了。看画图：

②边数相同的正多边形，对应顶角也等，所以这句话是正确的。
③本小问没有配图，所以你一定要画配图。画这个图画了两次，一个是只用笔草画，主要是明确各角及交点的大体相对位置，之后是用尺细画，尤其把那个60°画的很准，这时已经可以感觉30°貌似正确，这个时候如果你经验比较丰富的话，你基本上可以断定，要吗这个角算不出来，要算出来的话肯定是30°。图画好了以后，就要开始标角。
在解没有配图的几何题，先草画，明确各角、各点的相对位置，之后用尺精细作图。
这道题目，首先用到的是方程思想，即设一个角为α，从这个角出发利用已知的数量关系和已知角开始依次标你能标出来的角。既然是等要，先从底角开始，设底角为α。如果所示。
第一步，将∠B和∠C都标为α，那么顶角∠BAC就是180°－2α；
第二步，∠DAE=∠BAC－60°=180°－2α－60°=120°－2α;
第三步，∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE= (180°－∠DAE)÷2=30°+α;
第四步，∵∠AED为△DEC的外角，∴∠EDC=∠AED－∠C=30°。
有没有其他方法，略微找一下，没有，但这个解法的核心是方程思想，从画图到推导完成一共用了3分钟时间。
④这个属于作图方面的问题，如果没记住，画两下就知道正确与否。
2.
3.
……依次顺延

解答题
1. （2015·四川甘孜、阿坝，第27题10分）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．
试探究下列问题：
（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）
（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．

考点： 四边形综合题．.
专题： 综合题．
分析： （1）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；
（2）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；
（3）首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．
解答： 解：（1）上述结论①，②仍然成立，
理由为：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，
∵∠ADG+∠EDC=90°，
∴∠ADG+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（2）上述结论①，②仍然成立，
理由为：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠E=∠F，
∵∠ADG+∠EDC=90°，
∴∠ADG+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（3）四边形MNPQ是正方形．
理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，
∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，
∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，
∴四边形OHQG是平行四边形，
∵AF=DE，
∴MQ=PQ=PN=MN，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵AF⊥DE，
∴∠AOD=90°，
∴∠HQG=∠AOD=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．

点评： 此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意证得△ADF≌△DCE（SAS），掌握三角形中位线的性质是关键．
2. （2015•浙江丽水，第20题8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：
（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的，则一月份B款运动鞋销售了多少双？
（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）；
（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。

【答案】解：（1）∵，
∴一月份B款运动鞋销售了40双.
（2）设A、B两款运动鞋的销售单价分别为元，
则根据题意，得，解得.
∴三月份的总销售额为（元）.
（3）答案不唯一，如：
从销售量来看，A款运动鞋销售量逐月上升，比B款运动鞋销售量大，建议多进A款运动鞋，少进或不进B款运动鞋.
从总销售额来看，由于B款运动鞋销售量逐月减少，导致总销售额减少，建议采取一些促销手段，增加B款运动鞋的销售量.
【考点】开放型；代数和统计的综合题；条形统计图和折线统计图； 二元一次方程组的应用.
【分析】（1）根据条形统计图A款运动鞋的销售量和B款运动鞋的销售量是A款的即可列式求解.
（2）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解.本题设A、B两款运动鞋的销售单价分别为元，等量关系为：“一月份A、B两款运动鞋的总销售额40000元”和“二月份A、B两款运动鞋的总销售额50000元”.
（3）答案不唯一，合理即可.
3. （2015•浙江杭州,第20题10分）
设函数y=(x−1)[(k−1)x+(k−3)]( k是常数)
（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象
（2）根据图象，写出你发现的一条结论
（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值

【答案】解：（1）作图如图：

（2）函数 (k是常数)的图象都经过点（1，0）.（答案不唯一）
（3）∵，
∴将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3为.
∴当时，函数y3的最小值为.
【考点】开放型；二次函数的图象和性质；平移的性质.
【分析】（1）当时，函数为，据此作图.
（2）答案不唯一，如：
函数 (k是常数)的图象都经过点；
函数 (k是常数)的图象总与轴交于（1，0）；
当k取0和2时的函数时得到的两图象关于（0，2）成中心对称；
等等.
（3）根据平移的性质，左右平移时，左减右加。上下平移时，下减上加，得到平移后的表达式，根据二次函数的性质求出最值.