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第十五章分式知识点归纳与整理
§15.1分式
1.分式的概念
形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母
整式和分式统称有理式。

情况

需要满足条件？

例子
分式有意义

分母
已知

当x为何值时，分式有意义?
分式的值为0

分母且分子A=0
已知

当x为何值时，分式值为0？
特别注意：不是分式。

2. 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。（其中，且均表示的是整式）
【分式的约分】首先要找出分子与分母的公因式，再把分子与分母的公因式约去。
【分式的通分】通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。

方法
例子

找 公因式
（1）分子分母是单项式时，先找分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式
（2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按（1）中的方法找公因式

找 最简公分母
⑴
，
若分母为单项式：
1.找各分母系数的最小公倍数。
2.找各分母所含所有因式或字母的最高次幂。
3.所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积。
若分母为多项式：
1.先把分母因式分解。
其余步骤同分母为单项式。

⑵

§15.2 分式的运算
1. 分式的乘除
【乘法法则】分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
注意：如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。
【除法法则】分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

2.分式的加减法
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母的分式想加减，先通分，变为同分母的分式，再把分子相加减。

3. 分式的乘方
【乘方法则】
【零指数幂】任何不等于零的数的零次幂都等于1。
【负整指数幂】任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。
【正整数指数幂运算性质】

注意：这些性质在整数指数幂中同样适用。

4.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法。
（1） 用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为的形式,
其中1≤︱a︱＜10,n为原整数部分的位数减1；
（2） 用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为的形式，
其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，
1≤︱a︱＜10。

§15.3分式方程
1.分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程。
例：解方程.
解：方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得
100（x-7）=30x.
解这个整式方程，得
x=10.
检验：把x=10代入x(x-7)，得
10×（10-7）≠0
所以，x=10是原方程的解.

注意：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，
并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），通常称之为增根。
因此，在解分式方程时必须进行检验。

2.解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简；（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
3. 列分式方程解应用题
步骤 ① 审：审清题意； ② 找: 找出相等关系；③ 设：设未知数；④ 列：列出分式方程；⑤ 解：解这个分式方程；⑥ 验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；⑦ 答：写出答案。
4.应用题常见类型
①行程问题 基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
②数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
③工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．
④顺水逆水问题