概率论第二章答案.doc

习题2-2
1. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0<p<1). 定义随机变量

写出随机变量X的分布律.
解 P{X=1}=p, P{X=0}=1-p.
或者
X
0 1
P
1-p p

2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c, 并计算条件概率.
解 由离散型随机变量的分布律的性质知，

所以.
所求概率为 P{X<1| X }=.
3. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 若≥, 求≥.
解 注意p{x=k}=,由题设≥
故. 从而
≥
4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为, 求每次试验成功的概率.
解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是. 即, 故 =.
5. 若X服从参数为的泊松分布, 且, 求参数.
解 由泊松分布的分布律可知.
6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X的分布律.
解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有种取法.
{X=3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X=3}==;
{X=4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X=4}=;
{X=5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X=5}=.
X的分布律是
X
3 4 5
P

习题2-3
1. 设X的分布律为
X
-1 0 1
P
0.15 0.20 0.65
求分布函数F(x), 并计算概率P{X<0}, P{X<2}, P{-2≤X<1}.
解 (1) F(x)=
(2) P{X<0}=P{X=-1}=0.15;
(3) P{X<2}= P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1;
(4) P{-2≤x<1}=P{X=-1}+P{X =0}=0.35.
2. 设随机变量X的分布函数为
F(x) = A+Barctanx -∞<x<+∞.
试求: (1) 常数A与B; (2)  X落在(-1, 1]内的概率.
解 (1) 由于F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, 可知

于是
(2)

3. 设随机变量X的分布函数为
F(x)=
求P{X≤-1}, P{0.3 <X<0.7}, P{0<X≤2}.
解 P{X,
P{0.3<X<0.7}=F(0.7)-F{0.3}-P{X=0.7}=0.2,
P{0<X≤2}=F(2)-F(0)=1.
5. 假设随机变量X的绝对值不大于1; ; 在事件出现的条件下, X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求的分布函数≤x}; (2) 求X取负值的概率p.
解 (1) 由条件可知,
当时, ;
当时, ;
当时, F(1)=P{X≤1}=P(S)=1.
所以
易见, 在X的值属于的条件下, 事件的条件概率为
≤,
取x=1得到 1=k(1+1), 所以k=.
因此 ≤.
于是, 对于, 有
≤≤

对于≥1, 有 从而

(2) X取负值的概率

习题2-4
1. 选择题
(1) 设 如果c=( ), 则是某一随机变量的概率密度函数.
(A) . (B) . (C) 1. (D) .
解 由概率密度函数的性质可得, 于是, 故本题应选(C ).
(2) 设又常数c满足, 则c等于( ).
(A) 1. (B) 0. (C) . (D) -1.
解 因为, 所以,即
, 从而,即, 得c=0. 因此本题应选(B).
(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
解 由概率密度函数的性质可知本题应选(D).

(4) 设随机变量, , ≤},
≥}, 则( ).
(A) 对任意的实数. (B) 对任意的实数.
(C) 只对实数的个别值, 有. (D) 对任意的实数.
解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有
.
因此本题应选(A).
(5) 设随机变量X的概率密度为, 且, 又F(x)为分布函数, 则对任意实数, 有( ).
(A) . (B) .
(C) .   (D) .
解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).
(6) 设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且 则下式中成立的是( ).
(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2.
解 答案是(A).
(7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数, 数满足, 若, 则等于( ).
(A) . (B) . (C) . (D) .
解 答案是(C).
2. 设连续型随机变量X服从参数为的指数分布, 要使成立, 应当怎样选择数k?
解 因为随机变量X服从参数为的指数分布, 其分布函数为

由题意可知
.
于是 .
3. 设随机变量X有概率密度

要使(其中a>0)成立, 应当怎样选择数?
解 由条件变形,得到,可知, 于是, 因此.
4. 设连续型随机变量X的分布函数为

求: (1) X的概率密度; (2).
解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系,
可得
(2) .
5. 设随机变量X的概率密度为
f(x)＝
求P{X≤}与P{≤2}.
解 ≤;
≤.
6. 设连续型随机变量X具有概率密度函数

求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x).
解 (1) 由概率密度的性质可得
,
于是 ；
(2) 由公式可得
当x≤0时, ;
当≤1时, ;
当≤2时, ;
当x>2时, .
所以
7. 设随机变量X的概率密度为

对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.
解 根据概率密度与分布函数的关系式
≤,
可得
.
所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为
.
8. 设, 求关于x的方程有实根的概率.
解 随机变量X的概率密度为

若方程有实根, 则 ≥0, 于是≥2. 故方程有实根的概率为
P{≥2}=

.
9. 设随机变量.
(1) 计算, , , ；
(2) 确定c使得
(3) 设d满足, 问d至多为多少？
解 (1) 由P{a<x≤b}=P{公式, 得到
P{2<X≤5}=,
P{-4<X≤10}=,
=+
=1+=0.6977,
=1=0.5 .
(2) 若,得1,所以

由=0推得于是c=3.
(3) 即1, 也就是
,
因分布函数是一个不减函数, 故
解得 .
10. 设随机变量, 若, 求.
解 因为所以. 由条件可知
,
于是, 从而.
所以 .
习题2-5
1. 选择题
(1) 设X的分布函数为F(x), 则的分布函数为( ).
(A) . (B) .
(C) . (D) .
解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).
(2) 设令, 则( ).
(A). (B). (C). (D).
解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).
2. 设, 求Z所服从的分布及概率密度.
解 若随机变量, 则X的线性函数也服从正态分布, 即 这里, 所以Z.
概率密度为
.
3. 已知随机变量X的分布律为
X
-1
0
1
3
7
P
0.37
0.05
0.2
0.13
0.25
(1) 求Y＝2－X的分布律；　(2) 求Y＝3＋X2分布律.
解 (1)
2－X
-5
-1
1
2
3
P
0.25
0.13
0.2
0.05
0.37
(2)
3＋X2
3
4
12
52
P
0.05
0.57
0.13
0.25
4. 已知随机变量X的概率密度为
＝
且Y＝2－X, 试求Y的概率密度.
解 先求Y的分布函数:
=≤≤≥
   =1-.
于是可得Y的概率密度为
=
即
5. 设随机变量X服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量的概率密度.
解 由题意可知随机变量X的概率密度为

因为对于0<y<4,
≤≤≤X≤}.
于是随机变量的概率密度函数为

即
总习题二
1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.
解 以X表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知.
(1) 恰好有3件次品的概率是P{X=3}=.
(2) 至多有3件次品的概率是.
2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻
(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？
(2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？
(3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？
(4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？
解 以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则X~B(5,0.1),
P{X=k}=,k=0,1,…,5.
(1) 所求的概率是P{X=2}=;
(2) 所求的概率是P{X≥1}=1;
(3) 所求的概率是 P{X≤3}=1-P{X=4}-P{X=5}=0.99954;
(4) 所求的概率是P{X≥3}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=0.00856.
3. 设随机变量X的概率密度为

且已知, 求常数k, θ.
解 由概率密度的性质可知得到k=1.
由已知条件, 得.
4. 某产品的某一质量指标, 若要求≤X≤≥0.8, 问允许最大是多少?
解 由≤X≤
 =≥0.8,
得到≥0.9, 查表得≥1.29, 由此可得允许最大值为31.20.
5. 设随机变量X的概率密度为
φ(x) = Ae-|x|, -∞<x<+∞.
试求: (1) 常数A; (2) P{0<X<1}; (3) X 的分布函数.
解 (1) 由于即故2A = 1, 得到A=.
所以 φ(x) = e-|x|.
(2) P{0<X<1} =
(3) 因为 得到
当x<0时,
当x≥0时,
所以X的分布函数为