概率论大题附答案.doc

第一章 随机事件及其概率

1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p．
解 以表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则

1.7 从等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：={三个数最大的是5}；={三个数大于、等于和小于5的各一个}；={三个数两个大于5，一个小于7}．
解 从11个数中随机取出三个，总共有种不同取法，即总共有个基本事件，其中有利于的取法有种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有种不同取法）；
有利于的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；
有利于的取法有5×种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)．于是，最后得

1.8 考虑一元二次方程 , 其中B, C分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数．
(1) 求方程无实根的概率， (2) 求方程有两个不同实根的概率．
解 显然，系数B和C各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件和．下表给出了事件和所含基本事件的个数．
B
1 2 3 4 5 6

{}含基本事件数
0 0 2 3 6 6
17

由对称性知和等价，因此．易见，方程无实根的概率和有两个不同实根的概率为
．
1.15 已知概率．分别求下列各事件的概率：
，，．
解 由事件运算的性质，易见

1.18 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球．求箱中原来是白球的概率．
解 引进事件：{取出的是白球}，{箱中原来是白球}，{箱中原来是红球}，则构成完全事件组，并且．由条件知
．
由贝叶斯公式，有
．
1.21 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.30需进一步进行调试， 经调试以概率0.90可以出厂，以概率0.10定为不合格品不能出厂．现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器．求最后20台仪器
(1) 都能出厂的概率；
(2) 至少两台不能出厂的概率．
解 这里认为仪器的质量状况是相互独立的．设={仪器需要调试}，={仪器不需要调试}，={仪器可以出厂}．由条件知

(1) 10台仪器都能出厂的概率

(2) 记——10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数．由(1)知成功的概率为p=0.06．易见，10台中至少两台不能出厂的概率

1.23 设是任意二事件，证明：
(1) 若事件和独立且，则或；
(2) 若事件和独立且不相容，则和中必有一个是0概率事件．
证明　(1) 由于，可见

因此，若，则；若，．
(2) 对于事件和，由于它们相互独立而且不相容，可见
，
因此，概率和至少有一个等于0．

补充：
第二节 事件的关系和运算
1. 设,,是三个随机事件,用事件,,的运算关系表示下列事件：
⑴ ,,三个都发生；⑵ 发生而,都不发生；⑶ ,都发生, 不发生；
⑷ ,,恰有一个发生；⑸ ,,恰有两个发生；⑹ ,,至少有一个发生；
⑺ ,,都不发生.
解：（1） （2） （3） （4）
(5) (6) (7)
第三节 事件的概率
1. ,,,求,,,.
解：由知，
=0.1

2. ,,求.
解：由，得
，

3. 已知,,试证.
解：由知，

4. 设是三个事件,且,,,求至少有一个发生的概率.
解：由条件，知，

5. 设,是两事件,且,,问
⑴ 在什么条件下,取到最大值,最大值是多少？
⑵ 在什么条件下,取到最小值,最小值是多少？
解：由知，
又因为，，所以，
所以，所以.
第四节 条件概率及与其有关的三个基本公式
1．设有对某种疾病的一种化验，患该病的人中有呈阳性反应，而未患该病的人中有呈阳性反应，设人群中有的人患这种疾病，若某病人做这种化验呈阳性反应，则他患有这种疾病的概率是多少？
解：设，，.依条件得,
，且 ,
所以
第五节 事件的独立性和独立试验
1．设有个元件分别依串联、并联两种情形组成系统和,已知每个元件正常工作的概率为，分别求系统、的可靠性（系统正常工作的概率）
解：，，
，且，
，
由条件知，每个元件正常是相互独立的，故
，
，

2. 设有六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件通达的概率为 ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的.
解: 设 ,
，
由条件知，，，

第二章 随机变量及其分布

2.8 口袋中有7个白球，3个黑球，每次从中任取一球且不再放回．
(1) 求4次抽球出现黑球次数的概率分布；
(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数的概率分布．
解 (1) 随机变量有4个可能值0,1,2,3，若以W和B分别表示白球和黑球，则试验“4次抽球”相当于“含7个W和3个B”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为，其中有利于
的基本事件个数为：，因此
，
或

(2) 随机变量显然有1,2,3,4等4个可能值；以和分别表示第次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，其基本事件总数．易见

2.11 设服从泊松分布，且已知，求．
解 以X表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以表示随意抽取的第k页上印刷错误的个数，由条件知X和服从同一泊松分布，未知分布参数决定于条件：

于是=2．由于随机变量显然相互独立，因此

2.14 设随机变量服从区间上的均匀分布，求对进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率．
解 设3次独立试验事件出现的次数，则服从参数为的二项分布，其中．因此

2.17 设随机变量服从正态分布，且满足 和
，分别求常数C
解 （1）由与为对立事件，又得 所以C=3
(2) 由题意可知 所以反查表可得

2.22 设随机变量服从上的均匀分布，求随机变量的分布律，其中

解 由于服从上的均匀分布，知随机变量的概率分布为

补充：
第二节 离散随机变量
1. 从学校乘公交车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 ，并且概率都为，设遇到红灯的次数，求随机变量的分布列及至多遇到一次红灯的概率。
解：由条件知，随机变量的分布列如下：

0
1
2
3

设，则
2.设每分钟通过交叉路口的汽车流量服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。
解：A={在一分钟内至少有两辆车通过}，{在一分钟内至多有一辆车通过}
由条件知，，且，
即，求出， 故：，，

3.计算机硬件公司制造某种特殊型号的芯片，次品率达，各芯片成为次品相对独立，求在1000只产品中至少有2只次品的概率。以记产品中的次品数。
解：设，，，
由条件知，，，

第三章 随机向量及其概率分布

3.6设随机变量和的联合密度为

(1) 试求的概率密度；
(2) 试求事件“大于”的概率；
解 (1) 易见，当时=0；对于，有
．
(2) 事件“大于”的概率

．
3.11 设随机变量和的联合密度为

求随机变量和的联合分布函数和概率．
解 设是和的联合分布函数．当或时；设，则
．
于是

3.12 设是曲线和直线所围成的封闭区域，而随机向量在区域上均匀分布，求和的概率密度．
解 设是和所围区域，其面积为

因此和的联合概率密度为

(1) 的密度 对于，

于是

(2) 的密度 对于
于是

补充：
第一节 二元随机向量及其分布
1.设二维随机变量的联合分布函数为：，求常数
解: 由条件知，，,,即：
求出，，
2．设的联合概率密度函数为 ，求和的边缘密度函数。
解：设为关于的边缘密度函数，为为关于的边缘密度函数，且，，
当时，，
当时，
当时，
当，时，

第四章 随机变量的数字特征
4.3 设随机变量X的概率密度为

已知，求未知常数与的值．
解 由题设知

另一方面，由于
，
于是，得关于与的方程组

其解为．
4.5 设随机变量服从参数为2的泊松分布，求．
解 熟知，参数为2的泊松分布的数学期望，故

4.6 求，已知随机变量具有概率密度为

解 由数学期望的定义，知

4.7 设随机变量具有概率密度如下，

求的数学期望．
解 由随机变量函数的数学期望，知

4.11 设随机变量相互独立，且服从区间(0,6)上的均匀分布，而付出参数为3的泊松分布，试求的方差．
解 由条件知，而由方差的性质可得

4.12 设随机变量相互独立，且，试求随机变量的数学期望、方差以及概率密度．
解 由条件知，．从而由期望和方差的性质得

由于是和的线性函数，且是相互独立的正态随机变量，故也为正态随机变量，而正态分布完全决定于其期望和方差，因此，于是，的概率密度为

4.16 已知随机向量的概率密度

求
解 (1) 求。

由对称性，有

(2) 求

第六章 数理统计的基本概念和抽样分布
6.4 假设总体服从参数为的泊松分布, ，而是来自总体的简单随机样本．求的概率函数．
解 总体的概率函数为

由于独立同服从参数为的泊松分布，可见的概率函数为

6.5 假设总体，而是来自总体的简单随机样本．求的概率函数.
解 由于独立同分布，可见的密度为

其中．
第七章 参数估计
7.4 设总体的概率分布为
，
其中是未知参数，由总体的(简单随机)样本值：(3,1,3,0,3,1,2,3)，求的矩估计值和最大似然估计值．
解 (1) 的矩估计量 由样本值(3,1,3,0,3,1,2,3)，得样本均值

用估计数学期望，可得关于未知参数矩估计量的方程；总体X的数学期望为

于是，的矩估计值为．
(2) 的最大似然估计量 易见，在 中0,1,2和3各出现1，2，1和4次，因此未知参数似然函数和似然方程为

其中是常数，而似然方程的解

显然不合题意。于是，参数的最大似然估计值为
．
7.6 设总体的密度函数为

其中为未知参数, 为来自总体的一个样本，求的矩估计量和最大似然估计量.
解 (1) 矩估计量 总体的数学期望为

将换成样本均值，得参数的矩估计量：
．
(2) 的最大似然估计量 参数的似然函数为

7.10 假设总体的概率密度为

其中是未知参数（）．为来自总体的简单随机样本，记为样本的个观测值中小于1的个数．
(1) 求的矩估计量；(2) 求的最大似然估计量．
解 (1) 求的矩估计量 总体的数学期望为
．
用样本均值估计，得的矩估计量：
．
于是，就是的矩估计量．
(2) 求的最大似然估计量 参数的似然函数为

于是，的最大似然估计量是．