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概率论和数理统计试题及答案
一、填空题:
1、设A与B相互独立，P(A) =, P(B) =, 则P (B-A) = .
解：
2、设（均匀分布），则 ， ．
，
解：

3、设随机变量服从指数分布，即 定义随机变量
则 的 分布列为 。
解：

其中是与无关的量

4、设 ,，且，相互独立, 则
,
解：

5、设总体，为来自的样本，是未知参数的无偏估计，则。
解：因为是无偏估计所以

6、设，,与相互独立，且与分别为的样本均值，样本容量分别为。若已知，则检验假设：
；
的检验统计量为 。
解：
7、设随机变量X服从正态分布N关于的二者必居其一的假设为且假设的拒绝域取为其中是容量为n的样本均值，则以W为拒绝域的检验法犯第II类错误的概率＝ 。
解：因为服从于标准正态分布

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、设 是三个事件，则下列事件中必与互斥的是 【 C 】
A、 B、
C、 D、
2、设随机变量的分布函数，则 【 C 】
A、1 B、 C、 D、
解：
0

=

0

3、设X服从参数的指数分布，则的概率密度函数是 【 B 】
A、 B、
C、 D、
解：

=
0

4、一个螺丝钉的质量是一个随机变量，均值为50g，标准差为5g，应用独立同分布的中心极限定理，则一盒（100个）螺丝钉的质量超过的概率 【 C 】
A、 B、 C、 D、
解：

5、设x1,x2,…，x9是正态总体N(0，2)的样本，则在下列各式中，正确的是【 】
A、 B、
C、 D、
解：选C
6、设，用雪比晓夫不等式估计概率是
【 】
A、 B、 C、 D、
解：
选C
7、设且X与Y相互独立，则下列分布错误的是 【 】
A、 B、
C、 D、
解：选D
8、设 表示假设真, 表示假设假, 拒绝域为，则犯第二类错误的概率为 【 】

A、 B、 C、 D、

解：选D
三、解答题
1、设随机变量X的分布列为：
X
-1
1
2
p
0.3
0.5
0.2

求：（1）Y=X2的分布列；(2) 分布列；（3）E(X），D（X)。
2、设的联合分布列为．（1）求常数a；（2）求的边缘分布列；（3）判别与是否独立
解：

/
1
2
3

0
1/15
2/15
2/15

1
2/15
4/15
4/15

由表得
即：

所以相互独立
3、设电源电压~，且某种电子元件在下列三种情况下损坏的概率分别
是0.1，0.001和0.2：（a）不超过200伏；（b）在200~240伏之间；（c）超过240伏。
求：（1）电子元件损坏的概率(设：)；
（2）某仪器装配有50个这种电子元件，它们的工作状态相互独立，如果电压超过240时，求这50个电子元件中至少10个损坏的概率（要求：只列式，不计算）。
解：
1
2

4、已知随机变量的分布密度，求：（1）系数；（2）；（3）
解：1

2
3
5、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度

求：（1）A的值；
（2）X 和 Y 的边缘概率密度，并判别 X 和 Y是否相互独立？
（3） ，其中
解：1
由于
所以 即：
2

不独立
3
y
x
Y=x
x=1
Y=-x+1
A(1/2,1/2)

6、有一大批糖果．现从中随机抽取6袋，称得重量（以克计）如下：
　　　　　　　　　　214，210，213，216，212，213
设袋装糖果的重量分布为正态的．
（1）若已知，求总体均值的置信度为的置信区间；
（2）若未知，求总体均值的置信度为的置信区间.
解：
1

2

7、设总体的样本的一组观察值为：　　10，8，12，10。
（１） 求方差的置信度为的置信区间；
（２） 能否据此样本认为该总体的数学期望为11（）?

解 (1)因为未知，取统计量
）
相应地，的置信区间为
由已知n=4，，查表：
，
以及
，
于是

所求的置信区间为 　 　　　　
（2）检验假设：
检验统计量（未知，采用检验）：
显著性水平为的拒绝域为：
查表：，于是
故接受，即认为。

8． 某地地震台根据对地应力（电感）测量资料计算出最大压应力值（公斤/厘米2），
发现其与地震震级（M）有关系。试由下列观察数据：

求对的经验回归方程。
解：
可以假设线性回归方程为
由最小二乘法可得
9. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？
【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}
C={收到信息是A}，则={收到信息是B}
由贝叶斯公式，得

10.（1） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=，
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，
试确定常数a.
【解】（1） 由分布律的性质知

故

(2) 由分布律的性质知

即
11.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

得
12.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.
设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

(2) P(保险公司获利不少于10000)

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000）

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
13.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae-|x|, -∞<x<+∞,
求：（1）A值；（2）P{0<X<1}; (3) F(x).
【解】（1） 由得
故 .
(2)
(3) 当x<0时，
当x≥0时，

故
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