概率论与数理统计教案第一章.doc

概率论与数理统计教学教案
第一章 随机事件与概率
授课序号01

教 学 基 本 指 标
教学课题
第一章 第一节 随机事件及其运算
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
随机事件的定义、随机事件的运算与关系
教学难点
随机事件的运算
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
了解随机试验的概念
了解样本空间的概念
理解随机事件的关系和运算
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、在一定条件下必然发生，称这类现象称为确定性现象。
2、在这些现象中，结果都不止一个，并且事先无法预知会出现哪个结果，这类现象被称为随机现象。
3、随机现象在一次试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果呈现某种规律性，例如相对比较稳定的性别比例，这种规律性称为统计规律性。
4、为了研究随机现象的统计规律性，就要对客观事物进行观察，观察的过程叫试验。
5、随机试验的一切可能结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示试验的每一个可能结果，又称为样本点，即样本空间为全体样本点的集合。
6、在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件。

二、定理与性质

1、随机试验的三个特点：
（1） 在相同的条件下试验可以重复进行；
（2） 每次试验的结果不止一个，但是试验之前可以明确试验的所有可能结果；
（3） 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的。

2、事件的定义解析
（1） 任一随机事件A是样本空间的一个子集。
（2） 当试验的结果属于该子集时，就说事件A发生了。相反地，如果试验结果不属于该子集，就说事件A没有发生。例如，如果掷骰子掷出了1，则事件A发生，如果掷出2，则事件A不发生。
（3） 仅含一个样本点的随机事件称为基本事件。
（4） 样本空间也是自己的一个子集，所以它也称为一个事件。由于包含所有可能试验结果，所以在每一次试验中一定发生，又称为必然事件。
（5） 空集也是样本空间的一个子集，所以它也称为一个事件。由于中不包含任何元素，所以在每一次试验中一定不发生，又称为不可能事件。
3、随机事件间的关系
（1）如果（或），则称事件被包含在B中（或称B包含A），见图1.1。从概率论的角度来说：事件发生必导致事件发生。
（2）如果同时成立，则称事件与相等，记为。从概率论的角度来说：事件发生必导致事件发生，且发生必导致发生，即与是同一个事件。
（3）如果与 没有相同的样本点，则称事件与互不相容（或称为互斥），见图1.2。从概率论的角度来说：事件与事件不可能同时发生。
4、随机事件间的运算
（1）事件与的并，记为，见图1.3，表示由事件与中所有样本点组成的新事件。从概率论的角度来说：事件与中至少有一个发生。
（2）事件与的交，记为（或），见图1.4，表示由事件与中公共的样本点组成的新事件。从概率论的角度来说：事件与同时发生。
（3）事件与的差，记为，见图1.5，表示由在事件中且不在事件中的样本点组成的新事件。从概率论的角度来说：事件发生而不发生。
（4）事件的对立事件（或称为逆事件、余事件），记为，见图1.6，表示由中且不在事件中的所有样本点组成的新事件，即。从概率论的角度来说：事件不发生。
5、事件的运算性质定律：
(1)交换律：=，=；
(2)结合律：,
；
(3)分配律：,
；
(4) 对偶律（德•）摩根公式）：，并事件的对立等于对立事件的交，
，交事件的对立等于对立事件的并。
三、主要例题：
例1 随机试验的例子：
（1）抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
（2）抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（3）某快餐店一天内接到的订单量；
（4）航班起飞延误的时间；
（5）一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。

例2 下面给出例1中随机试验的样本空间：
（1）抛掷一枚均匀硬币的样本空间为，其中表示正面朝上，表示反面朝上；
（2）抛掷一枚均匀骰子的样本空间为；
（3）某快餐店一天内接到的订单量的样本空间为；
（4）航班起飞延误时间的样本空间为；
（5）一支正常交易的A股股票每天涨跌幅的样本空间为。

例3抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为
随机事件A=“出现6点”=；
随机事件B=“出现偶数点”=；
随机事件C=“出现的点数不超过6”，即一定会发生的必然事件；
随机事件D=“出现的点数超过6”=，即一定不会发生的不可能事件。

例4 用事件的运算关系式表示下列事件，则：
(1) 出现，都不出现（记为）；
(2) 所有三个事件都出现（记为）；
(3) 三个事件都不出现（记为）；
(4) 三个事件中至少有一个出现（记为）；
(5) 三个事件中至少有两个出现（记为）；
(6) 至多一个事件出现（记为）；
(7) 至多二个事件出现（记为）

授课序号02

教 学 基 本 指 标
教学课题
第一章 第二节 概率的定义及其性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
概率的性质
教学难点
公理化定义的理解
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解概率的公理化定义
掌握概率的基本性质
掌握加法公式、减法公式的运用
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、概率的公理化定义
设任一随机试验，为相应的样本空间，若对任意事件，有实数与之对应，且满足下面条件，则数称为事件的概率：
（1）非负性公理 对于任意事件，总有；
（2）规范性公理 ；
（3）可列可加性公理 若为两两互不相容事件组，则有.
二、定理与性质：
性质1 。
性质2（有限可加性） 设为两两互不相容的事件，则有。
性质3 对任意事件，有。
性质4 若事件，则。

推论 若事件，则。
性质5（减法公式） 设为任意事件，则。
性质6（加法公式） 设为任意事件，则。

三、主要例题：
例1（生日问题）个人中至少有两个人的生日相同的概率是多少？
例2 已知事件的概率依次为0.2，0.4，0.5，求概率.
例3 设事件为三个随机事件，已知，，，
，则至少发生一个的概率是多少？都不发生的概率是多少？

授课序号03

教 学 基 本 指 标
教学课题
第一章 第三节 等可能概型
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
古典概型的求解
教学难点
事件中样本点的计算
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握古典概型和几何概型的定义
掌握古典概型和几何概型问题的求解
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、古典概型
（1）随机试验的样本空间只有有限个样本点，不妨记作；
（2）每个样本点发生的可能性相等，即
若随机事件A中含有个样本点，则事件A的概率为
2、几何概型
（1）随机试验的样本空间是某个区域（可以是一维区间、二维平面区域或三维空间区域），
（2）每个样本点发生的可能性相等，
则事件的概率公式为：
其中在一维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积。
二、主要例题：
例1 抛掷两颗均匀的骰子，观察出现的点数，设事件A表示“两个骰子的点数一样”，求．
例2（抽样模型）已知件产品中有件是不合格品，其余是合格品。今从中随机地抽取件。试求：
（1）不放回抽样 件中恰有件不合格品的概率；
（2）有放回抽样 件中恰有件不合格品的概率。
例3 （抽奖问题）今有某公司年会的抽奖活动，设共有张券，其中只有一张有奖，每人只能抽一张，设事件表示为“第个人抽到有奖的券”，试在有放回、无放回两种抽样方式下，求．
例4 在区间内任取一个数，求
（1） 这个数落在区间内的概率；
（2） 这个数落在区间中点的概率；
（3） 这个数落在区间内的概率。
例5（碰面问题）甲、乙两人约定在中午的12时到13时之间在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候另一人10分钟，过时即可离去。求两人能碰面的概率.
例6(蒲丰投针问题) 蒲丰投针试验是第一个用几何形式表达概率问题的例子。假设平面上画满间距为的平行直线，向该平面随机投掷一枚长度为的针，求针与任一平行线相交的概率.

授课序号04

教 学 基 本 指 标
教学课题
第一章 第四节 条件概率及事件的独立性
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
条件概率的定义，乘法公式，独立性的定义
教学难点
独立性定义的理解
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解条件概率的概念
理解随机事件相互独立的概念
掌握用事件相互独立性进行概率计算的方法
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1，设是随机试验，是样本空间，是事件且，称为在事件发生的条件下事件发生的概率，称为条件概率，记为.
2，设为试验的两个事件，如果满足等式：，称事件相互独立，简称独立。
3，设是试验的三个事件，如果满足等式： ，，。称事件两两独立。
4，设是试验的三个事件，如果满足等式：，，，．称事件相互独立。
5 ，一般地，设是试验的个事件，如果对于其中任意两个事件的积事件的概率等于各事件概率的积，则称事件两两独立；如果对于其中任意两个事件、任意三个事件、…、任意个事件的积事件的概率等于各事件概率的积，则称事件相互独立。

二、定理与性质：
1，条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质，即非负性、规范性和可列可加性，如下：
（1）非负性公理 对于任意事件，总有；
（2）规范性公理 ；
（3）可列可加性公理 若为两两互不相容事件组，则有.
2，（概率的乘法定理）设为试验的事件，且，则有.同理，若，有。
3，设为任意的三个事件，且则
。
4，更一般的，有下面公式：设为事件组，且，则
.
5， 若事件与事件相互独立，则下列各对事件也相互独立：
与、与、与。
三、 主要例题：
例1假设抛掷一颗均匀的骰子，已知掷出的点数是偶数，求点数超过3的概率？

例2假设一批产品中一二三等品各有60个，30个和10个，从中任取一件，发现不是三等品，则取到的是一等品的概率是多少？
例3 设为事件，且已知，求。
例4 一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率．
例6 把一枚硬币独立的掷两次.事件表示“掷第次时出现正面”,;事件表示“正、反面各出现一次”.试证,两两独立,但不相互独立.
例7 设某车间有三条独立工作的生产流水线，在一天内每条流水线要求工人维护的概率依次为0.9、0.8和0.7．求一天中三台车床至少有一条流水线需要工人维护的概率．
例8 设有n个元件独立工作，分别按照串联、并联的方式组成两个系统和（如图），已知每个元件正常工作的概率都为p，分别求系统A和B的可靠性（即为系统正常工作的概率）
例9 设事件相互独立。试求
授课序号05

教 学 基 本 指 标
教学课题
第一章 第五节 全概率公式与贝叶斯公式
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
全概率公式和贝叶斯公式
教学难点
掌握用全概率公式和贝叶斯公式进行计算
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解全概率公式和贝叶斯公式的定义，
掌握用全概率公式和贝叶斯公式进行概率计算
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、设是随机试验，是相应的样本空间，为事件组，若满足条件：
①
②
则称事件组为样本空间的一个完备事件组.完备事件组完成了对样本空间的一个分割.

二、定理与性质：
（全概率公式） 设为完备事件组，且，为任一事件，则
。
（贝叶斯公式） 设为完备事件组，，为任一事件，则
.
三、主要例题：
例1 某手机制造企业有二个生产基地，一个在S市，一个在T市，但都生产同型号手机. S市生产的手机占总数的60％，而T市的则占40％.二个基地生产的手机都送到二地之间的一个中心仓库，且产品混合放在一起.从质量检查可知S市生产的手机有5％不合格；T市生产的手机则有10％不合格.求：
（1） 从中心仓库随机抽出一个手机，求它是不合格品的概率；
（2） 从中心仓库随机抽出一个手机发现它是不合格的，求它是来自S市生产的概率是多少？

例2 有三只箱子，第一个箱子中有四个黑球和一个白球，第二个箱子中有三个黑球和三个白球，第三个箱子中有三个黑球和五个白球.现随机取一箱，再从这个箱子中取一球，已知取到的是白球，这个白球是属于第二个箱子的概率是多少？

例3 某种疾病的患病率为0.1%，某项血液医学检查的误诊率为1%，即非患者中有1%的人验血结果为阳性，患者中有1%的人验血结果为阴性。现知某人验血结果是阳性，求他确实患有该种疾病的概率。

例4 (敏感性问题调查) 考试作弊，赌博，偷税漏税，酒后驾车等一些涉及个人隐私或利害关系，不受被调查对象欢迎或感到尴尬的敏感问题。即使做无记名的直接调查，很难消除被调查者的顾虑，极有可能拒绝应答或故意做出错误的回答，很难保证数据的真实性，使得调查的结果存在很大的误差。如何设计合理的调查方案，来提高应答率并降低不真实回答率。
调查方案设计的基本思想是，让被调查者从
问题1：你在考试中作过弊吗？
问题2：你生日的月份是奇数吗？
中，随机地选答其中一个，同时让调查者也不知道被调查者回答的是哪一个问题，从而保护被调查者的隐私，消除被调查者的顾虑，能够对自己所选的问题真实回答。
调查者准备一套13张同一花色的扑克，在选答上述问题前，要求被调查的学生随机抽取一张，看后还原，并使调查者不能知道抽取的情况。约定如下：如果学生抽取的是不超过10的数则回答问题1；反之，则回答问题2。假定调查结果是收回400张有效答卷，其中有80个学生回答“是”，320个学生回答“否”，求被调查的学生考试作弊的概率。

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