概率论与数理统计第9章题库.doc

第9章 回归分析
填空题
1、如果是关于的一元线性回归函数，即，，则=_________.
答案：
知识点：9.1.2 一元线性回归模型
参考页: P181
学习目标: 1
难度系数: 1
提示一：9.1.2 一元线性回归模型
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：，故，.
2、一元线性回归模型，通过最小二乘法确定的参数,应满足_________.
答案： ，其中为偏差平方和
知识点：9.1.3 参数估计
参考页: P182
学习目标: 1
难度系数: 1
提示一：9.1.3 参数估计
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：由最小二乘法的定义即得.
3、一元线性回归模型，通过最小二乘法确定的参数为,，则,服从_________分布.
答案：正态
知识点：9.1.4 最小二乘估计的性质
参考页: P181
学习目标: 1
难度系数: 1
提示一：9.1.4 最小二乘估计的性质
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：由一元线性回归模型的最小二乘估计方法的性质即得.
4、对于一元线性回归模型，需要对回归方程进行的显著性检验有_________.
答案： 检验或相关系数检验
知识点：9.2 回归方程的显著性检验
参考页: P185
学习目标: 1
难度系数: 1
提示一：9.2 回归方程的显著性检验
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：由回归方程的显著性检验的概念和方法即得.
5、若通过变量替换将幂函数转换为线性方程，则需进行的变量替换为_________.
答案：
知识点：9.4 可化为线性回归的曲线回归
参考页: P193
学习目标: 2
难度系数: 2
提示一：9.4 可化为线性回归的曲线回归
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：两边取对数，得：，故变量替换为.
6、若通过变量替换将双曲线函数转换为线性方程，则需进行的变量替换为_________.
答案：
知识点：9.4 可化为线性回归的曲线回归
参考页: P193
学习目标: 2
难度系数: 2
提示一：9.4 可化为线性回归的曲线回归
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：两边取倒数，得：，故变量替换为.
7、若通过变量替换将指数函数转换为线性方程，则需进行的变量替换为_________.
答案：
知识点：9.4 可化为线性回归的曲线回归
参考页: P193
学习目标: 2
难度系数: 2
提示一：9.4 可化为线性回归的曲线回归
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：将指数函数两边取对数，得：，故变量替换为.
8、若通过变量替换将函数转换为线性方程，则需进行的变量替换为_________.
答案：
知识点：9.4 可化为线性回归的曲线回归
参考页: P193
学习目标: 2
难度系数: 2
提示一：9.4 可化为线性回归的曲线回归
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：将函数两边取对数，得：，故变量替换为.
9、若通过变量替换将对数函数转换为线性方程，则需进行的变量替换为_________.
答案：
知识点：9.4 可化为线性回归的曲线回归
参考页: P193
学习目标: 2
难度系数: 2
提示一：9.4 可化为线性回归的曲线回归
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：显然通过，对数函数化为线性方程.
10、若通过变量替换将Logistic函数转换为线性方程，则需进行的变量替换为_________.
答案：
知识点：9.4 可化为线性回归的曲线回归
参考页: P193
学习目标: 2
难度系数: 2
提示一：9.4 可化为线性回归的曲线回归
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：将Logistic函数两边取倒数，得：，故变量替换为.
11、在多元线性回归模型的基本假设下，回归系数的最佳线性无偏估计是_________.
答案：最小二乘估计
知识点：9.5.2 参数估计
参考页: P198
学习目标: 3
难度系数: 2
提示一：9.5.2 参数估计
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：最小二乘估计是的线性无偏估计. 另外，在多元线性回归模型的基本假设下， 在的所有线性无偏估计中方差最小. 这就是说，最小二乘估计是的最佳线性无偏估计.
12、在多元回归模型中，最简单的模型是_________.
答案：多元线性回归模型
知识点：9.5 多元线性回归
参考页: P196
学习目标: 3
难度系数: 1
提示一：9.5 多元线性回归
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：多元回归模型中最简单的是多元线性回归模型.
13、建立线性回归模型的一个重要目的是利用所估计的、理想的回归方程进行预测. 预测可分为_________.
答案：点预测和区间预测
知识点：9.3.1 预测问题； 9.5.4 预测
参考页: P189；P205
学习目标: 1；3
难度系数: 1
提示一：9.3.1 预测问题；
提示二：9.5.4 预测
提示三：无
提示四（同题解）
题型：填空题
题解：一元线性回归模型和多元线性回归模型的一个主要用途是预测，预测可以分为点预测和区间预测.

单项选择题
1．设在对两个变量进行线性回归分析时，有下列步骤：
①对所求出的回归直线方程作出解释； ②收集数据；
③求线性回归方程； ④求未知参数； ⑤根据所搜集的数据绘制散点图
如果根据可行性要求能够作出变量具有线性相关结论，则在下列操作中正确的是（ ）
（A）①②⑤③④ （B）③②④⑤① （C）②④③①⑤ （D）②⑤④③①.
答案： D
知识点：9.1.2 一元线性回归模型
参考页: P181
学习目标: 1
难度系数: 2
提示一：9.1.2 一元线性回归模型
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：选择题
题解：由针对实际问题的一元线性回归模型的建立过程可知②⑤④③①为正确的步骤，故选D.
2．下列结论正确的是（　　）
①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
Ａ．①② Ｂ．①②③ Ｃ．①②④ Ｄ．①②③④.
答案： C
知识点：9.1.1 变量间的关系
参考页: P180
学习目标: 1
难度系数: 2
提示一：9.1.1 变量间的关系
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：选择题
题解：各变量之间如果存在着完全确定性的关系，即我们熟悉的函数关系.故①正确. 变量之间虽然有着一定的依赖关系，但这种关系并不完全确定，也就不能用一个函数关系式来表达，这种变量之间的关系为相关关系. 故②正确.回归分析时研究具有相关关系的变量之间的统计规律性，它是处理多个变量之间相关关系的一种数学方法. 故③不正确，④正确.故选C.
3．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( )
(A)预报变量在轴上，解释变量在轴上
(B)解释变量在轴上，预报变量在轴上
(C)可以选择两个变量中任意一个变量在轴上
(D)可以选择两个变量中任意一个变量在轴上.
答案： B
知识点：9.1.2 一元线性回归模型
参考页: P181
学习目标: 1
难度系数: 1
提示一：9.1.2 一元线性回归模型
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：选择题
题解：通常把自变量称为解析变量,因变量称为预报变量.故选B.
4．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( )
（A）总离差平方和 （B）残差平方和
（C）回归平方和 （D）以上都不对.
答案： B
知识点：9. 2.1 总离差平方和分解公式
参考页: P185
学习目标: 1
难度系数: 1
提示一：9. 2.1 总离差平方和分解公式
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：选择题
题解：残差平方和代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异，故选B.
5．设一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线方程为，据此可以预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）
（A）身高一定是145.83cm （B）身高超过146.00cm
（C）身高低于145.00cm （D）身高在145.83cm左右.
答案： D
知识点：9.3 预测和控制
参考页: P189
学习目标: 1
难度系数: 2
提示一：9.3 预测和控制
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：选择题
题解：代入得. 通过回归分析得到的只是预测的可能值，故选D.
6．在多元线性回归中，为了寻找有效的估计方法及对模型进行检验，也需对模型作一些基本假设，在下列假设中：
①； ②；
③； ④服从正态分布，().属于多元线性回归的基本假设有（ ）
（A）①② （B）①②④ （C）②③④ （D）①②③④.
答案： D
知识点：9.5.1 多元线性回归模型
参考页: P197
学习目标: 3
难度系数: 1
提示一：9.5.1 多元线性回归模型
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：选择题
题解：在多元线性回归中，为了寻找有效的估计方法及对模型进行检验，也需对模型作一些基本假设，①②③④为正确的基本假设，故选D.
7．下面哪个叙述是正确的( )
(A) 在多元回归分析中，回归方程经过检验是显著的，表明每个解释变量对反应变量都显著；
(B) 在多元回归分析中，回归方程经过检验是显著的，不能表明每个解释变量对反应变量都显著；
(C) 在多元回归分析中，如果回归方程经过检验是显著的，就不需要再对每个解释变量进行显著性检验；
(D)以上说法都不对.
答案： B
知识点：9.5.3 多元线性回归模型的显著性检验
参考页: P203
学习目标: 3
难度系数: 1
提示一：9.5.3 多元线性回归模型的显著性检验
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：选择题
题解：在多元回归分析中，即使回归方程经过检验是显著的，也不能表明每个解释变量对反应变量都显著.为了删除那些不显著的，可有可无的变量，还需要对每个解释变量对反应变量的影响是否显著进行判断.故选B.
8. 某同学由与之间的一组数据利用最小二乘法求得两个变量间的线性回归方程为，已知：数据 的平均值为2，数据的平均值为3，则 ( )
（A）回归直线必过点（2，3） （B）回归直线一定不过点（2，3）
（C）点（2，3）在回归直线上方 （D）点（2，3）在回归直线下方.
答案： A
知识点：9.1.3 参数估计
参考页: P182
学习目标: 1
难度系数: 2
提示一：9.1.3 参数估计
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：选择题
题解：在一元回归分析中，利用最小二乘法得到的回归曲线一定通过和.故选A.

计算题
1. 随机抽取5个家庭的年收入与年储蓄资料（单位：千元），如下表所示.
年收入
8
11
9
6
6
年储蓄
0.6
1.2
1.0
0.7
0.3

求对的线性回归方程，并根据该回归方程预测一个年收入10千元的家庭的年储蓄额.
答案：； 1.0488
知识点：9.1.2 一元线性回归模型；9.3.1 预测问题
参考页: P181；P189
学习目标: 1
难度系数: 3
提示一：9.1.2 一元线性回归模型；
提示二：9.3.1 预测问题
提示三：无
提示四（同题解）
题型：计算题
题解：通过计算得：

，
，
则有
，
.
所求回归方程为：.
一个家庭年收入为10千元，即预测其年储蓄额为：
.
2. 某种产品的产量(千件)与单位成本（元/件）资料如下：
产品的产量
2
3
4
3
4
5
单位成本
73
72
71
73
69
68
求对的线性回归方程.
答案：
知识点：9.1.2 一元线性回归模型
参考页: P181
学习目标: 1
难度系数: 3
提示一：9.1.2 一元线性回归模型
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：计算题
题解：通过计算得：

则有 ，.
所求回归方程为：.
3. 从炼铝厂测得所产铸模用的铝的硬度与抗张强度的数据，如下表所示：
铝的硬度
68
53
70
84
60
72
51
83
70
64
抗张强度
288
293
349
343
290
354
283
324
340
286
（1）求关于的一元线性回归方程；
（2）在显著性水平下，检验回归方程的显著性.
答案：；在显著性水平下，回归方程显著
知识点：9.1 一元线性回归模型；9. 2 回归方程的显著性检验
参考页: P180；P185
学习目标: 1
难度系数: 4
提示一：9.1 一元线性回归模型；
提示二：9. 2 回归方程的显著性检验
提示三：无
提示四（同题解）
题型：计算题
题解：通过计算得：

，
，
故

.
所求回归方程为
.
（2）假设
若成立，则统计量
对给定的=0.05，查分布表得.
因为

.
所以，在显著性水平下拒绝，回归方程是显著的，即认为铝的硬度与抗张强度之间线性相关关系显著.
4.在钢线碳含量（%）对于电阻效应（微欧）的研究中，得到了以下数据，如下表所示：
钢线碳含量
0.10
0.30
0.40
0.55
0.70
0.80
0.95
电阻效应
15
18
19
21
22.6
23.8
26
假设由经验已知对于给定的 为正态变量, 且方差与无关.
（1）求关于的一元线性回归方程；
（2）在显著性水平下，检验回归方程的显著性；
（3）当钢线碳含量为0.50时，电阻效应的置信水平为0.95的置信区间.
答案：；在显著性水平下，回归方程显著；
知识点：9.1 一元线性回归模型；9. 2 回归方程的显著性检验；9. 3 预测和控制
参考页: P180；P185；P189
学习目标: 1
难度系数: 5
提示一：9.1 一元线性回归模型；
提示二：9. 2 回归方程的显著性检验；
提示三：9. 3 预测和控制
提示四（同题解）
题型：计算题
题解：通过计算得：

则有 ，.
所求回归方程为：.
（2）假设
若成立，则统计量
对给定的=0.05，查分布表得.
因为

.
所以，在显著性水平下拒绝，回归方程是显著的，即认为钢线碳含量与电阻效应之间线性相关关系显著.
（3）将代入回归方程得到：
对给定的置信度，查分布表得：.
又有

得的置信度为0.95的预测区间为：

故当钢线碳含量为0.50时，电阻效应的置信水平为0.95的置信区间为.
5. 企业的利润水平和研发费用的一组调查数据(单位：万元)，如下表所示：
研发费用
10
10
8
8
8
12
12
12
11
11
利润
100
150
200
180
250
300
280
310
320
300
判断利润水平和研发费用之间是否存在线性相关关系？（）.
答案：不存在线性相关关系
知识点： 9. 2.3 相关系数检验
参考页: P188
学习目标: 1
难度系数: 3
提示一：9. 2.3 相关系数检验
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：计算题
题解：通过计算得：

，
，

，
，
假设
对=0.05， 由相关系数表查得临界值
= ，
所以认为与之间不存在线性相关关系.
6. 广告公司为了研究某一产品的广告费用（万元）与其销售额（万元）之间的关系，对多个厂家进行了调查，所得数据如下表所示.
厂家
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
广告费
35
60
25
30
35
40
25
20
50
45
销售额
440
520
380
475
385
525
450
365
540
500
（1）求关于的一元线性回归方程；
（2）检验与之间是否存在线性相关关系 ()；
（3）当厂家投入了55万元时，求销售额的置信度为0.95的预测区间；
（4）至少投入多少广告费用才能以95%的概率保证销售额不低于380万元.
答案：；存在线性相关关系；；37.735万元
知识点： 9.1 一元线性回归；9. 2 回归方程的显著性检验；9. 3 预测和控制
参考页: P180；P185；P189
学习目标: 1
难度系数: 5
提示一：9.1 一元线性回归；
提示二：9. 2 回归方程的显著性检验；
提示三：9. 3 预测和控制
提示四（同题解）
题型：计算题
题解：（1）计算得：

从而有
.
所求回归方程为： .
（2）假设
若成立，则统计量
对给定的=0.05，查分布表得.
由于

于是
.
所以，在显著性水平下拒绝，即可以认为广告费用的确对销售额有影响，回归方程是显著的，与之间存在线性相关关系.
（3） 将代入回归方程中，得

对给定的置信度，查分布表得临界值.
又

得的置信度为0.95的预测区间为：
（4）查表得临界值
所以
故至少要投入37.735万元的广告费，才能以95%的概率保证销售额不低于380万元.
7. 炼钢时所用盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积（单位m3）不断增大，试验数据如下表所示：
使用次数
增大容积
使用次数
增大容积
使用次数
增大容积
2
6.42
7
10.00
12
10.60
3
8.20
8
9.93
13
10.80
4
9.58
9
9.99
14
10.60
5
9.50
10
10.49
15
10.90
6
9.70
11
10.59
16
10.76
根据经验知增大容积与使用次数之间的关系，可由双曲线函数来描述. 求增大容积与使用次数的回归方程.
答案：
知识点：9.4 可化为线性回归的曲线回归
参考页: P193
学习目标: 1
难度系数: 4
提示一：9.4 可化为线性回归的曲线回归
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：计算题
题解：由题意知与可由双曲线函数描述，所以令，则有
原数据通过变量替换后与得到新数据，并整理后如下表：

1
2
6.42
0.5000
0.1558
0.2500
0.0243
0.0779
2
3
8.20
0.3333
0.1220
0.1111
0.0149
0.0407
3
4
9.58
0.2500
0.1044
0.0625
0.0109
0.0261
4
5
9.50
0.2000
0.1053
0.0400
0.0111
0.0211
5
6
9.70
0.1667
0.1031
0.0278
0.0106
0.0172
6
7
10.00
0.1429
0.1000
0.0204
0.0100
0.0143
7
8
9.93
0.1250
0.1007
0.0156
0.0101
0.0126
8
9
9.99
0.1111
0.1001
0.0123
0.0100
0.0111
9
10
10.49
0.1000
0.0953
0.0100
0.0091
0.0095
10
11
10.59
0.0909
0.0944
0.0083
0.0089
0.0086
11
12
10.60
0.0833
0.0943
0.0069
0.0089
0.0079
12
13
10.80
0.0769
0.0926
0.0059
0.0086
0.0071
13
14
10.60
0.0714
0.0943
0.0051
0.0089
0.0067
14
15
10.90
0.0667
0.0917
0.0044
0.0084
0.0061
15
16
10.76
0.0625
0.0929
0.0039
0.0086
0.0058

2.3807
1.5469
0.5842
0.1633
0.2727
计算得到
，，
 ，
，
,
所以
， .
则关于的回归方程为.
下面利用相关系数检验法对此回归方程进行显著性检验 (=0.05）. 查相关系数表得临界值.

因为，，所以与之间的线性相关关系显著.
带回原变量，得
，
即为所求回归曲线方程.
8.在彩色显影中,根据以往经验，形成染料光学密度与析出银的光学密度之间呈倒指数关系：

已测得11对试验数据如下表所示：
析出银的光
学密度
染料光学
密度
析出银的光学密度
染料光学
密度
析出银的光
学密度
染料光学
密度
0.05
0.10
0.14
0.59
0.38
1.19
0.06
0.14
0.20
0.79
0.43
1.25
0.07
0.23
0.25
1.00
0.47
1.29
0.10
0.37
0.31
1.12

（1）求出经验回归曲线方程；
（2）对回归曲线的显著性进行检验（显著性水平）.
答案：；回归曲线显著
知识点：9.4 可化为线性回归的曲线回归
参考页: P193
学习目标: 1
难度系数: 5
提示一：9.4 可化为线性回归的曲线回归
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：计算题
题解：（1）由题意知与可由倒指数函数描述，所以令，则有
原数据通过变量替换后与得到新数据，并整理后如下表：

1
0.05
0.10
20
-2.3026
400
5.302
-46.052
2
0.06
0.14
16.667
-1.9661
277.78
3.866
-32.769
3
0.07
0.23
14.286
-1.4697
204.08
2.160
-20.996
4
0.10
0.37
10
-0.9943
100
0.989
-9.943
5
0.14
0.59
7.143
-0.5276
51.02
0.278
-3.769
6
0.20
0.79
5
-0.2357
25
0.056
-1.179
7
0.25
1.00
4
0
16
0
0
8
0.31
1.12
3.226
0.1133
10.41
0.013
0.366
9
0.38
1.19
2.632
0.1740
6.93
0.030
0.458
10
0.43
1.25
2.326
0.2231
5.41
0.050
0.519
11
0.47
1.29
2.128
0.2546
4.53
0.065
0.542

87.408
-6.732
1101.16
12.82
-112.84
代入计算得到
，，
 ，
所以 ，.
， .
则关于的回归方程为.
下面利用相关系数检验法对此回归方程进行显著性检验 (=0.05）.
计算得：
因为，，所以与之间的线性相关关系显著.
带回原变量，得，
即为所求回归曲线方程.
（2）假设
若成立，则统计量
对给定的=0.05，查分布表得.
因为

.
所以，在显著性水平下拒绝，回归方程是显著的.
9. 某种产品的收缩量与处理压力及温度有关，测得试验数据，如下表所示.

处理压力
温度
收缩量

处理压力
温度
收缩量
1
6.8
665
40
9
9.1
700
65
2
7.2
685
49
10
9.3
680
58
3
7.6
690
55
11
9.5
685
59
4
8.0
700
63
12
9.7
700
67
5
8.2
695
65
13
10.0
650
56
6
8.4
670
57
14
10.3
690
72
7
8.6
675
58
15
10.5
670
68
8
8.8
690
62

（1）求关于、的二元线性回归方程；
（2）检验回归方程的显著性（）.
答案：；回归方程显著
知识点： 9. 5 多元线性回归
参考页: P196
学习目标: 1
难度系数: 5
提示一：9. 5 多元线性回归
提示二：无
提示三：无
提示四（同题解）
题型：计算题
题解： （1）由题意设线性回归模型为

将

代入式中，可得

及二元线性回归方程

（2）为了检验解释变量对反应变量的线性影响是否显著，
提出假设
计算得：，， .
对于给定的，查分布表得：, 统计量的观测值

因为，所以在显著性水平下拒绝故认为回归方程是显著的.