2023年概率论与数理统计试题库.doc

《概率论与数理记录》试题（1）

一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。对的打“√”，错误打“×”）
⑴ 对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B) ( )
⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则(A∪B)-B=A ( )
⑶ 若X服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( )
⑷ 假设检查基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）
⑸ 样本方差=是母体方差DX的无偏估计 （ ）
二 、（20分）设A、B、C是Ω中的随机事件，将下列事件用A、B、C表达出来
（1）仅发生，B、C都不发生；
（2）中至少有两个发生；
（3）中不多于两个发生；
（4）中恰有两个发生；
（5）中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
四、（10分） 已知离散型随机变量的分布列为

求的分布列.
五、（10分）设随机变量具有密度函数 ，＜ x＜，
求X的数学盼望和方差.
六、（15分）某保险公司数年的资料表白，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以表达在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求.
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999

七、（15分）设是来自几何分布
，
的样本，试求未知参数的极大似然估计.

《概率论与数理记录》试题（1）评分标准
一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。
二 解 （1）
（2）或；
（3）或；
（4）；
（5）或
每小题4分；
三 解 设‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为，则，不等式构成平面域.------------------------------------5分
a
S
发生
a/2
不等式拟定的子域，----------------------------------------10分
所以
A
a
a/2
0
-----------------------------------------15分

四 解 的分布列为
.
Y的取值对的得2分，分布列对一组得2分；
五 解 ，（由于被积函数为奇函数）--------------------------4分

----------------------------------------10分

六 解 X～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分
---------------------------10分

=0.994+0.933--1
.--------------------------------------------------15分
七 解 ----------5分

--------------------------------10分
解似然方程
，
得的极大似然估计
。--------------------------------------------------------------------15分

《概率论与数理记录》期末试题（2）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为__________.
2． 设随机变量服从泊松分布，且，则______.
3． 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_________.
4． 设随机变量互相独立，且均服从参数为的指数分布，，则_________，=_________.
5． 设总体的概率密度为
.
是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.
解：1．
即
所以
.
2．
由 知
即 解得 ，故
.
3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则

由于，所以，即
故

另解 在上函数严格单调，反函数为
所以

4．，故

.
5．似然函数为

解似然方程得的极大似然估计为
.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设为三个事件，且互相独立，则以下结论中不对的的是
（A）若，则与也独立.
（B）若，则与也独立.
（C）若，则与也独立.
（D）若，则与也独立. （ ）
2．设随机变量的分布函数为，则的值为
（A）. （B）.
（C）. （D）. （ ）
3．设随机变量和不相关，则下列结论中对的的是
（A）与独立. （B）.
（C）. （D）. （ ）
4．设离散型随机变量和的联合概率分布为

若独立，则的值为
（A）. （A）.
（C） （D）. （ ）
5．设总体的数学盼望为为来自的样本，则下列结论中
对的的是
（A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量.
（C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量. （ ）
解：1．由于概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是对的的，只能选（D）.
S
A
B
C
事实上由图 可见A与C不独立.

2．所以
应选（A）.
3．由不相关的等价条件知应选（B）.
4．若独立则有

Y
X

，
故应选（A）.
5．，所以是的无偏估计，应选（A）.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解：设‘任取一产品，经检查认为是合格品’
‘任取一产品确是合格品’
则（1）

（2） .
四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗碰到红灯的事件是互相独立的，并且概率都是2/5. 设为途中碰到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学盼望和方差.
解：的概率分布为

即
的分布函数为

.
五、（10分）设二维随机变量在区域 上服从均匀分布. 求（1）关于的边沿概率密度；（2）的分布函数与概率密度.
1
D
0
1
z
x
y
x+y=1
x+y=z
D1
解： （1）的概率密度为

（2）运用公式
其中
当 或时
x
z
z=x
时
故的概率密度为

的分布函数为

或运用分布函数法

六、（10分）向一目的射击，目的中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标互相独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目的中心距离的数学盼望.
x
y
0
1
2
解： （1）

；
（2）

.

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检查假设（显著性水平为0.05）.
（附注）

解：（1）的置信度为下的置信区间为

所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
（2）的拒绝域为.
，
由于 ，所以接受.

《概率论与数理记录》期末试题（3）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设事件与互相独立，事件与互不相容，事件与互不相容，且，，则事件、、中仅发生或仅不发生的概率为___________.
（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.
（3） 设随机变量的概率密度为 现对进行四次独立反复观测，用表达观测值不大于0.5的次数，则___________.
（4） 设二维离散型随机变量的分布列为

若，则____________.
（5） 设是总体的样本，是样本方差，若，则____________.
（注：, , , ）
解：（1）
由于 与不相容，与不相容，所以，故
同理 .
.
（2）设‘四个球是同一颜色的’，
‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’
则 .
所求概率为

所以 .
（3）
其中 ，
，
.
（4）的分布为
X
Y
1
2

0
0.4
0.1
0.5
1
0.2
0.3
0.5

0.6
0.4

这是由于 ，由 得

，
故 .
（5）
即 ，亦即 .

二、单项选择题（每小题3分，共15分）
（1）设、、为三个事件，且，则有
（A） （B）
（C） （D） （ ）
（2）设随机变量的概率密度为

且，则在下列各组数中应取
（A） （B）
（C）. （D） （ ）
（3）设随机变量与互相独立，其概率分布分别为

则有
（A） （B）
（C） （D） （ ）
（4）对任意随机变量，若存在，则等于
（A） （B） （C） （D） （ ）
（5）设为正态总体的一个样本，表达样本均值，则的
置信度为的置信区间为
（A）
（B）
（C）
（D） （ ）
解 （1）由知，故

应选C.
（2）
即
故当 时
应选B.
（3）

应选C.
（4）
应选C.
（5）由于方差已知，所以的置信区间为

应选D.

三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的
箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都
是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
解：设‘从箱中任取2件都是一等品’
‘丢失等号’ .
则
；
所求概率为.

四、（10分）设随机变量的概率密度为

求（1）常数； （2）的分布函数； （3）
解：（1）
∴
（2）的分布函数为

（3）.
五、（12分）设的概率密度为

求（1）边沿概率密度； （2）；
（3）的概率密度.
x+y=1
y
y=x
x
0
解：（1）

（2）
.
（3）

zy
z=x
x
0
z=2x
当 时
时
所以

六、（10分）（1）设，且与独立，求；
（2）设且与独立，求.
1
1
y
x
0
解： （1）

；
（2）因互相独立，所以

，所以.
七、（10分）设总体的概率密度为

试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计.
解：先求矩估计

故的矩估计为
再求极大似然估计

所以的极大似然估计为
.
《概率论与数理记录》期末试题（4）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设,,，则至少发生一个的概率为_________.
（2） 设服从泊松分布，若，则___________.
（3） 设随机变量的概率密度函数为 今对进行8次独立观测，以表达观测值大于1的观测次数，则___________.
（4） 元件的寿命服从参数为的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，可以正常工作100小时以上的概率为_____________.
（5） 设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16个零件，得，. 在置信度0.95下，的置信区间为___________.

解：（1） 得
.
（2） 故 .

.
（3），其中
.
（4）设第件元件的寿命为，则. 系统的寿命为，所求概率为

（5）的置信度下的置信区间为

所以的置信区间为（）.

二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ）
中，每小题3分，共15分）
（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是
（A）.
（B）.
（C）.
（D）. （ ）
（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使
是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值
中应取
（A）. （B）.
（C）. （D）. （ ）
（3）设随机变量的分布函数为，则的分布函数为
（A）. （B）.
（C）. （D）. （ ）
（4）设随机变量的概率分布为 .
且满足，则的相关系数为
（A）0. （B）. （C）. （D）. （ ）
（5）设随机变量且互相独立，根据切比
雪夫不等式有
（A）. （B）. （C）. （D）. （ ）
解：（1）（A）：成立，（B）： 应选（B）
（2）. 应选（C）
（3）
应选（D）
（4）的分布为

X2
X1
–1
0
1

–1
0

0

0

0

1
0

0

，所以，
于是 . 应选（A）
（5）

由切比雪夫不等式
应选（D）

三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入
超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾客购买商品是互相独立的，
求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。
解：设‘一天中恰有个顾客购买种商品’
‘一天中有个顾客进入超市’
则

.

四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参
数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生
的成绩，以表达成绩在60分至84分之间的人数，求（1）的分布列. （2）
和.

解：（1），其中

由
得 ，即，故
所以 .
故的分布列为
（2），.

五、（10分）设在由直线及曲线所围成的区域
上服从均匀分布，
（1）求边沿密度和，并说明与是否独立.
（2）求.
y
0
1
e2
x
y=1/x
D
解：区域的面积
的概率密度为

（1）

（2）因，所以不独立.
（3）
.

六、（8分）二维随机变量在认为顶点的三角形区
域上服从均匀分布，求的概率密度。
y
x+y=z
1
0
–1
x
D1
解1： 的概率密度为
设的概率密度为，则

1
–1
zy
0
y
当 或时
当 时
所以的密度为

解2：分布函数法，设的分布函数为，则

故的密度为

七、（9分）已知分子运动的速度具有概率密度
为的简朴随
机样本
（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。
解：（1）先求矩估计

再求极大似然估计

得的极大似然估计 ，
（2）对矩估计

所以矩估计 是的无偏估计.
八、（5分）一工人负责台同样机床的维修，这台机床自左到右排在一条直
线上，相邻两台机床的距离为（米）。假设每台机床发生故障的概率均为
，且互相独立，若表达工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走
的路程，求.
解：设从左到右的顺序将机床编号为
为已经修完的机器编号，表达将要去修的机床号码，则

于是

《概率论与数理记录》试题（5）

一、 判断题（每小题3分，本题共15分。对的打“√”，错误打“×”）
⑴ 设A、B是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( )
⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则A∪B=A∪AB∪B ( )
⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p ( )
⑷ 样本均值= 是母体均值EX的一致估计 （ ）
⑸ X～N(,) , Y～N(,) ，则 X－Y～N(0, －) （ ）
二、 计算（10分）
（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
三、（10分） 设，证明、互不相容与、互相独立不能同时成立.
四、（15分）某地抽样结果表白，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下
x 0 1 1.5 2 2.5 3
Ф(x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999
五、（15分） 设的概率密度为

问是否独立？

六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分布列为
，
求与
七、（15分）设总体服从指数分布

试运用样本，求参数的极大似然估计.

八

《概率论与数理记录》试题（5）评分标准
一 ⑴ ×；⑵ √；⑶ ×；⑷ √；⑸ ×。
二 解 （1）设‘他们的生日都不相同’，则
----------------------------------------------------------5分
（2）设‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
；
或
-------------------------------------------10分
三 证 若、互不相容，则，于是
所以 、不互相独立.-----------------------------------------------------------5分
若、互相独立，则，于是，
即、不是互不相容的.--------------------------------------------------------------5分

四 解 -------------------------3分
-------------------------------------7分
所求概率为
----------12分
=2Ф（1）-1=2×0.841-1=0.682--------------------15分

五 解 边际密度为
---5分
---------------------------------------------------------10分
由于 ，所以独立.-----------------------------------15分

六 解1 --8分
其中
由函数的幂级数展开有
，
所以
--------------------------------12分
由于
-----16分
所以
------------------------------------20分
七 解
-----------------------------------------------------------8分

由极大似然估计的定义，的极大似然估计为---------------------------15分

《概率论与数理记录》试题（6）

一、 判断题（本题共15分，每小题3分。对的打“√”，错误打“×”）
⑴ 设A、B是Ω中的随机事件，则Ａ－ＢA （ ）
⑵ 对任意事件A与B，则有P(A∪B)=P(A)+P(B) （ ）
⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq ( )
⑷ X~ N（，2 ），X1 ，X 2 ，……Xn是X的样本，则~ N（，2 ）　（）
⑸X为随机变量，则DX=Cov（X，X）----------------------------------------------（ ）
二、（10分）一袋中装有枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？.
三、（15分）在平面上画出等距离的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长的针，求针与任一平行线相交的概率.
四、（15分） 从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗碰到红灯的事件是互相独立的，并且概率都是，设为途中碰到红灯的次数，求随机变量的分布律、分布函数和数学盼望.

五、（15分）设二维随机变量（，）在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布，（1）求和的相关系数；（2）问是否独立？
六、（10分）若随机变量序列满足条件

试证明服从大数定律.
七、（10分） 设是来自总体的一个样本，是的一个估计量，若且
试证是的相合（一致）估计量。

八、（10分）某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（）.正态分布表如下
x 0 1.56 1.96 2.33 3.1
Ф(x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999

《概率论与数理记录》试题（6）评分标准
一 ⑴ √；⑵ ×；⑶ ×；⑷ ×；⑸ √。

二解 设‘任取一枚硬币掷次得个国徽’，
‘任取一枚硬币是正品’，
则
，----------------------------------------------------------5分
所求概率为

.------------------10分

三 解 设‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，
设为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角，则
ay
ay
，不等式拟定了平面上

xy
0y
A
S

的一个区域.------------------------------------6分
发生，
不等式拟定的子域------------------------10分
故
-----------------------------------------------------15分

四 解 ，分布律为
即
-----------------------5分
的分布函数为
------------------有所不同-----------------10分
---------------------------------------------------15分

五． 解 的密度为
-------------------------------------------3分
（1）

故 的相关系数.----------------------------------------------------------9分
（2）关于的边沿密度为

关于的边沿密度的

由于，所以不独立.------------------------------------15分

六 证：由契贝晓夫不等式，对任意的有
---------5分
所以对任意的

故服从大数定律。----------------------------------------------------------------------10分
七 证 由契贝晓夫不等式，对任意的有
-------------------------------------------------------5分
于是
即 依概率收敛于，故是的相合估计。--------------------------------------10分

八 解 问题是在已知的条件下检查假设：=26
查正态分布表，1－=0.975, =1.96---------------5分
1u1=1.08＜1.96,
应当接受，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。---------------15分

模拟试题A

一.单项选择题（每小题3分，共9分）
1. 打靶 3 发，事件 表达“击中 i 发” ， i = 0， 1， 2， 3。 那么事 件 表 示  (     )。
( A )  全 部 击 中 ；     ( B )  至少有一发击中；
( C ) 必 然  击 中；      ( D )  击 中 3 发
2.设离散型随机变量 x 的分布律为 则 常 数 A 应 为 (    )。 
( A ) ；  (