概率论与数理统计教案第三章.doc

概率论与数理统计教学教案
第三章 二维随机变量及其分布
授课序号01

教 学 基 本 指 标
教学课题
第三章 第一节 二维随机变量及其联合分布
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
二维随机变量的定义及相应的联合分布律及联合密度函数，以及概率计算。
教学难点
二维随机变量的定义
二维随机变量相关事件概率的计算
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解 二维随机变量的定义
掌握 二维随机变量的联合分布函数的定义、性质及计算
掌握 联合分布律和联合密度函数的定义、性质及计算
掌握 二维随机变量相关事件概率的计算
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、设有随机试验，其样本空间为。若对中的每一个样本点都有一对有序实数与其对应。则称为二维随机变量或二维随机向量。称的取值范围为它的值域，记为。
2、设有随机试验，其样本空间为。若对中的每一个样本点都有有序实数列与其对应。则称为维随机变量或维随机向量。称的取值范围为它的值域，记为。
3、设为二维随机变量，对任意的，称

为随机变量的联合分布函数。
4、设为维随机变量，对任意的，称

为随机变量的联合分布函数。。
5、如果二维随机变量仅可能取有限个或可列无限个值，则称为二维离散型随机变量。
6、称，为二维随机变量的联合分布律。其中，。
7、设二维随机变量的分布函数为，如果存在一个二元非负实值函数，使得对于任意有

成立，则称为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合（概率）密度函数。
8、设维随机变量的分布函数为，如果存在一个元非负函数，使得对任意的有

成立，则称为维连续型随机变量，为维连续型随机变量的联合（概率）密度函数。

二、定理与性质

1、（联合分布函数的性质）设是二维随机变量的联合分布函数。则
（1） ；
（2）当固定值时， 是变量的非减函数；
当固定值时，是变量的非减函数；
（3 ，，，；
（4）当固定值时， 是变量的右连续函数；
当固定值时，是变量的右连续函数；
（5） 。
2、（联合密度函数的性质） 设
为二维连续型随机变量的联合密度
函数，则
（1）非负性 ；
（2）规范性 。

3、 （连续型随机变量的性质） 设二维连续型随机变量的联合分布函数为，密度函数为，则
（1）对任意一条平面曲线，有；
（2）为连续函数，在的连续点处有
；
（3）对平面上任一区域（如图3.11所示）有
。
三、主要例题：
例1 现有将一颗骰子独立地上抛两次的随机试验,观察两次出现的点数。讨论第一次出现的点数以及两次出现点数的最小值. 请根据问题（1）给出随机试验的样本空间；（2）引入二维随机变量，并写出值域。
例2为分析一个年级的成绩分布，引入随机变量

已知数学为优的占0.2，语文为优的占0.1，都为优的占0.08。
求（1）的联合分布律； （2）的联合分布函数；（3）概率。
例3 把一颗骰子独立地上抛两次,设表示第一次出现的点数,表示两次出现点数的最小值.试求:(1) 与的联合分布律;(2)与.
例4 设二维随机变量的密度函数为

计算（1）常数；（2）联合分布函数；（3）概率。

授课序号02

教 学 基 本 指 标
教学课题
第三章 第二节 常用的二维随机变量
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
二维均匀分布
教学难点
二维均匀分布的概率求解问题
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握 二维均匀分布
了解 二维正态分布的密度函数
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、二维均匀分布
设二维随机变量的联合密度函数为

其中是平面上的某个区域。则称服从区域上的二维均匀分布。
2. 二维正态分布
如果的联合密度函数为
则称服从二维正态分布，并记为其中，，。
二 主要例题：
例1设二维随机变量服从区域上的均匀分布，.
（1）写出的联合密度函数；（2）计算概率。

授课序号03

教 学 基 本 指 标
教学课题
第三章 第三节 边缘分布
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
二维随机变量的边缘分布函数的计算
两个随机变量相互独立的判别方法
教学难点
二维随机变量的边缘分布函数的计算
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握 二维随机变量的边缘分布函数的定义及计算
熟练 两个随机变量相互独立的定义及判别方法
了解 个随机变量相互独立的定义及判别方法
理解 随即变量独立的概念
掌握 随机变量独立的判断方法
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1. 边缘分布函数
设二维随机变量的联合分布函数为，称
为的边缘分布函数；称

为的边缘分布函数。 其中在一维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积。
2. 二维离散型随机变量的边缘分布律
设二维离散型随机变量的联合分布律为 ，，称概率为随机变量的边缘分布律，记为，并有。称概率为随机变量的边缘分布律，记为，并有。
3. 二维连续型随机变量的边缘密度函数
设二维连续型随机变量的联合密度函数为，则的边缘密度函数为
。
的边缘密度函数为
。
4. 随机变量的独立性
设为二维随机变量，若对任意，都有

成立，则称随机变量与相互独立。其中为的联合分布函数，和分别为和的边缘分布函数。

5、多维随机变量
设为维随机变量，若对任意，都有

成立，则称随机变量相互独立。其中为的联合分布函数，为的边缘分布函数，。
当为离散型随机变量时，随机变量相互独立的充要条件是对任意的 ，，都有

成立，其中为的联合密度函数，为的边缘密度函数，。
当为连续型随机变量时，随机变量相互独立的充要条件是的一切公共连续点上

成立。其中为的联合密度函数，为的边缘密度函数。

二、定理
1、 如果，则，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布。
2、设为二维离散型随机变量，那么，与相互独立的充分必要条件为对任意的，都有

成立。其中，为的联合分布律，，和，分别为和的边缘分布律。
3、若为二维连续型随机变量，那么，与相互独立的充分必要条件为在及的一切公共连续点上都有
，
成立。其中为的联合密度函数，和分别为和的边缘密度函数与的边缘密度函数。
4、设，那么，与相互独立的充分必要条件为。

三、主要例题：
例1 设二维随机变量的密度函数为

分别计算与的边缘分布函数。

例2把一颗骰子独立地上抛两次,设表示第一次出现的点数,表示两次出现点数的最小值. 计算与的边缘分布律。
例3设二维随机变量的密度函数为

计算（1）的边缘密度函数；（2）的边缘密度函数。（3）与是否相互独立？为什么？

例4 已知，求的密度函数。
例5 设二维随机变量的联合分布律为

0
1
0

1

（1）求的边缘分布律与的边缘分布律；（2）与是否相互独立，为什么？

授课序号04

教 学 基 本 指 标
教学课题
第三章 第四节 条件分布
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
二维随机变量的条件分布律、条件密度函数以及条件分布函数的定义及计算
教学难点
条件密度函数的计算
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握 二维随机变量的条件分布律、条件密度函数以及条件分布函数的定义及计算
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1. 二维离散型随机变量的条件分布律
设二维离散型随机变量的联合分布律为，。当时，在给定条件下的条件分布律为
。
记在给定条件下的随机变量为，其值域记为，满足分布律的两条性质：
（1）（2）。。
当时，在给定条件下的条件分布律为

记在给定条件下的随机变量为，其值域记为，同理也满足分布律的两条性质。

2、二维离散型随机变量的条件分布函数
称为在给定条件下的条件分布函数；
称为在给定条件下的条件分布函数。
若为二维连续型随机变量，且密度函数为，则在给定条件下的条件分布函数为
。
在给定条件下的条件分布函数为
。
2. 二维连续型随机变量的条件密度函数
设为二维连续型随机变量的联合密度函数，则
在给定条件下的条件密度函数为
，其中，；
在给定条件下的条件密度函数为
，其中，
二、定理与性质：
1，条件密度函数满足密度函数的两条性质
2、条件分布函数满足分布函数的四条性质

三、 主要例题：
例1 把一颗骰子独立地上抛两次,设表示第一次出现的点数,表示两次出现点数的最小值.求（1）已知发生条件下的条件分布律。（2）已知发生条件下的条件分布律。
例2设二维随机变量的密度函数为
（1）写出条件下的条件值域为；（2）求条件密度函数；（3）求条件密度函数其中；（4）求条件分布函数其中.
授课序号05

教 学 基 本 指 标
教学课题
第三章 第五节 二维随机变量函数的分布
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
二维连续型随机变量函数的分布
相互独立的随机变量的最大值最小值分布函数的计算
教学难点
二维连续型随机变量函数的分布函数计算
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握 二维随机变量函数分布的计算
熟练 相互独立的随机变量的最大值最小值分布函数的计算
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、二维离散型随机变量函数的分布
如果二维离散型随机变量的联合分布律为

则随机变量的函数的分布律为

且取相同值对应的那些概率应合并相加。
2、二维连续型随机变量函数的分布
设二维连续型随机变量的联合密度函数为，则随机变量的二元函数的分布函数为

其中，是与等价的随机事件，而是二维平面上点集（通常是一个区域或若干个区域的并集）。则的密度函数为。
二、定理与性质：
1、可加性
设，且与相互独立，则
；
（2） 设，且与相互独立，则
。
（3）设，且与相互独立，则

2、设随机变量的联合密度函数为，且的边缘密度函数为，的边缘密度函数为。则随机变量的函数的密度函数为
或
特别地，当随机变量与相互独立时，
或
3.最大值和最小值的分布
设连续型随机变量与互相独立，且的分布函数为，的分布函数为。则
（1）随机变量的分布函数为；
（2）随机变量的分布函数为。
三、主要例题：
例1 为分析一个年级的成绩分布，引入随机变量

已知数学为优的占0.2，语文为优的占0.1，都为优的占0.08。讨论总成绩分布情况，求的分布律。
例2 设二维随机变量的联合密度函数为

计算的密度函数。
例3 已知，求的密度函数。
例4 设与是独立同分布的随机变量，且.记。试求，的密度函数。

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