概率论与数理统计教案第四章.doc

概率论与数理统计教学教案
第四章 随机变量的数字特征
授课序号01

教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章 第一节 数学期望
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
离散型、连续型随机变量的数学期望的定义及其概率含义；数学期望的性质；随机变量函数的期望公式
教学难点
连续型随机变量及其函数的数学期望；数学期望的性质
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解 离散型、连续型随机变量的数学期望的定义及其概率含义
熟悉 数学期望的性质
掌握 随机变量函数的期望公式
熟练 常用随机变量的数学期望
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1. 数学期望的定义
（1）设是离散型的随机变量，其分布律为。如果级数绝对收敛，则称

为离散型随机变量的数学期望，也称作期望或均值。
（2）设是连续型随机变量，其概率密度为。如果广义积分绝对收敛，则称

为连续型随机变量的数学期望，也称作期望或均值。
2. 随机变量函数的数学期望
（1）设是离散型随机变量，其分布律为。如果级数绝对收敛，则的函数的数学期望为；
（2）设为连续型随机变量，其概率密度为。如果广义积分绝对收敛，则的函数的数学期望为。
3. 二维随机变量函数的数学期望
（1）设是二维离散型随机变量，其联合分布律为。如果级数绝对收敛，则的函数的数学期望为
。
（2）设是二维连续型随机变量，其联合概率密度为。如果广义积分绝对收敛，则的函数的数学期望为
。
二、定理与性质

1、数学期望有下列性质，
（1） 设为常数，则；
（2） 设为随机变量，为常数，则；
（3） 设为任意两个随机变量，则
（4） 设为相互独立的随机变量，则
三、主要例题：
例1 设甲、乙两班各40名学生，概率统计成绩及得分人数如表4.1所示，其中成绩以10的倍数表示。问甲、乙两班概率统计的平均成绩各是多少？
表4.1 甲、乙两班的概率统计成绩
甲班分数
60
70
80
90
100

乙班分数
40
60
70
80
90
100
人数
2
9
18
9
2

人数
3
1
8
13
8
7
频率

频率

例2 设随机变量的分布律分别为
（1）；
（2）；
（3）。
在三种情形下，试问是否存在？为什么？
例3 设随机变量的概率密度函数为试问是否存在？为什么？
例4 设离散型随机变量分别服从下列分布（1）；（2）；（3）。
计算随机变量的数学期望。
例5 设连续型随机变量分别服从下列分布（1）； （2）；（3）。
计算随机变量的数学期望。
例6 已知的分布律如下，

-1
1
2

1/4
1/2
1/4
计算。
例7 设随机变量的分布律为。计算（1）；（2）。
例8 设随机变量的概率密度函数为试求：（1）；（2）.
例9 已知二维随机变量的联合分布律为

2

计算（1）与的期望；（2）的数学期望。
例10 某公司生产的机器其无故障工作时间有密度函数

公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用2.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在2.2到3万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用3万小时后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。

授课序号02

教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章 第二节 方差和标准差
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
方差的定义及求解，方差的性质
教学难点
方差的性质及其与期望性质的比较
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解 随机变量方差的定义及方差的概率含义
熟悉 方差的性质
掌握 随机变量的方差计算公式
熟练 常用随机变量的方差
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1. 方差和标准差的定义
设是一个随机变量，如果存在，则称

为随机变量的方差。称方差的算术平方根

为随机变量的标准差。

二、方差的性质
（1） 的充分必要条件是即服从参数为的退化分布，其中。特别地，若为常数，则；
（2） 设为随机变量，为常数，则；
（3） 设为任意两个随机变量，则
；
（4） 设为相互独立的随机变量，则。

三、主要例题：
例1设甲、乙两班各40名学生，概率统计成绩及得分人数如表4.1所示，其中成绩以10的倍数表示。
甲班分数
60
70
80
90
100

乙班分数
40
60
70
80
90
100
人数
2
9
18
9
2

人数
3
1
8
13
8
7
频率

频率

甲、乙两班概率统计的平均成绩是一样的，现选出一个班级参加比赛，应选哪个班级？
例2 在下列三种情形下分别计算随机变量的方差，
（1）设离散型随机变量；
（2）设连续型随机变量；
（2）设连续型随机变量；
（3）设连续型随机变量。
例3 设随机变量。计算的方差。
例4 已知是任意的随机变量，
（1）设，试证明；
（2）当时，设，试证明。
例5 已知与相互独立，且，，。求。

授课序号03

教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章 第三节 协方差、相关系数
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
协方差及相关系数的定义及其性质
教学难点
协方差及相关系数的计算
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解 随机变量协方差、相关系数的定义及概率含义
熟悉 协方差、相关系数的性质
掌握 协方差、相关系数的计算
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1. 协方差
设是二维随机变量，如果存在，则称

为随机变量和的协方差。
2. 相关系数
设是二维随机变量，如果存在，且，则称

为随机变量和的相关系数，也记作。
2. （线性）无关
设二维随机变量的相关系数存在，则
当时，的取值在直线上的概率为1，称与完全相关；
当时，的取值在斜率为正直线上的概率为1，称与完全正线性相关；
当时，的取值在斜率为负直线上的概率为1，称与完全负相关。
当时，称与正线性相关；
当时，称与负线性相关。
当时，称与（线性）无关或（线性）不相关。
二、定理
1、协方差的性质：
（1）设为常数，则；
（2）设为任意两个随机变量，则；
（3）设为任意两个随机变量，为常数，则；
（4）。
2、 相关系数的性质，
设是二维随机变量，且。那么有
（1） ；
（2） 的充要条件是，其中，
当时，，
当时，；
（3） 若随机变量与相互独立，则与线性无关，即。但由不能推断与独立。
3、当时，下列5个命题是等价的：
④ ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤
4、如果二维随机变量服从二维正态分布，那么，与相互独立等价于与不相关。

三、主要例题：
例1 设二维随机变量服从单位圆上的均匀分布。计算（1）;（2）和的协方差；（3）；（4） 求和的相关系数，试问和是否不相关？（5）和是否独立？
例2 设相互独立同分布，且，记，求
（1）的方差；
（2） 的方差
（3） 与的协方差。
例3已知二维随机变量的联合分布律为

2

试求和的相关系数。
例4当时，计算和的数字特征
。

授课序号04

教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章 第四节 其他数字特征
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
K阶矩的定义，分位数的定义及求解
教学难点
标准正态分布的k阶矩求解
连续型随机变量分位数的求解
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解 阶矩的定义
掌握 正态分布的阶原点矩的计算公式
了解 期望向量、协方差矩阵的定义
了解 期望向量、协方差矩阵的简单计算
了解 变异系数、分位数、中位数及众数的定义及简单计算
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1. 阶矩
设是随机变量，是正整数，则称
是随机变量的阶原点矩；
是随机变量的阶中心矩；
是随机变量的阶联合原点矩；
是随机变量的阶联合中心矩。
2. 变异系数
随机变量的数学期望，方差存在，那么称

为随机变量的变异系数。
3. 连续型随机变量的分位数和中位数
设连续型随机变量的分布函数为，密度函数为，，则称为的分布的分位数。特别地，当时，称为中位数。
4、众数
当为离散型随机变量时，假定的分布律为。如果存在实数 ，使得。那么，称为（或所服从的分布）的众数。

二、主要例题：
例1 设，试证明
例2 已知随机变量，求的分位数和中位数。

10