教学案平行四边形.习题集(2014-2015).doc

平行四边形

真题链接

【例1】 如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．

（2013北京中考）
【答案】（1）在中，
∵是中点．
∴，又∵．
∴且
∴四边形为平行四边形
（2）过作于
在中
∵
∴
∵，
∴
∴，
在中，，
∴
在中，

课堂练习

一、 定义
【例1】 如图，在平行四边形中，与相交于点，图中共有______个平行四边形

【答案】个
【例2】 如图3，一个平行四边形被分成面积为、、、四个小平行四边形，当沿自左向右在平行四边形内平行滑动时．
① 与的大小关系为____________．
② 已知点与点、不重合时，图中共有________个平行四边形，

【答案】①；②
【解析】①（利用平行线处处距离相等，设出、、、对应的底和高，用底和高表示与即可发现结论）；②．

二、性质
【例3】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【例4】 如图，平行四边形中，的垂直平分线交于，则的
周长是__________．

【答案】8
【解析】由中垂线定理可知AE=EC，则的周长为
【例5】 如图，在平形四边形中，，为垂足．如果则__________．

【答案】
【解析】过A作交CD于点F，可得四边形AECF为矩形，从而有
则
【例6】 如图，是平行四边形的对角线上的两点，．
求证：（1）≌；
（2）．

【答案】（1）∵，
∴，即．
又∵是平行四边形，
∴．
∴．
∴≌
（2）∵≌
∴．
∴．
【例7】 平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是
【答案】
【例8】 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，则的大小为（ ）．
A． B． C． D．

（2014海淀一模）
【答案】C
【例9】 如图，□中，对角线和长度之和为12，如果的周长为11，则的长为__________．

【答案】5
【例10】 已知平行四边形的周长为，对角线、相交于点，的周长比的周长多，则的长度为__________．

【答案】
【解析】如图，的周长为，的周长为
由平行四边形的对角线互相平分可得

∴．
【例11】 若平行四边形的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是__________．
【答案】垂直
【例12】 为平行四边形两个角平分线和的交点，，，平行四边形的周长为18，则__________

【答案】4
【解析】由于AM、BM均为角平分线，故，则由勾股定理可得AB=5
即可得BC=4
【例13】 如图，已知：在平行四边形中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．若，则__________．

【答案】∵四边形是平行四边形（已知）
∴，（平行四边形的对边平行且相等）
∴，（两直线平行，内错角相等）
又∵平分，平分（已知）
∴，（角平分线定义）
∴，．
∴，（在同一个三角形中，等角对等边）
∴
∴，即=4
【例14】 如图，已知平行四边形，是的角平分线，连接，若，，则__________．

【答案】2
【例15】 如图，将平行四边形沿翻折，使点恰好落在上的点处，则下列结论不一定成立的是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【例16】 如图，已知平行四边形纸片的周长为，将纸片沿某条直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接，则的周长为_________．

（2014昌平一模）
【答案】10
【例17】 如图，在平行四边中，、为对角线，，边上的高为，则阴影部分的面积为（ ）．
A．3 B．6 C．12 D．24

【答案】C
【解析】利用平行线的性质及割补法可得C．
【例18】 现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．

【答案】答案不惟一．

【例19】 若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．
【答案】16；11
【例20】 已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8．6cm，ABD的周长为6cm，AB、BC的长为__________．

【答案】2．6cm；1．7cm
【例21】 若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．
【答案】21
【例22】 平行四边形的两个邻边得长分别为16和20，两条长边间的距离为8，则短边间的距离为__________
【答案】10
【解析】由平行四边形面积公式即可得=
【例23】 如图，在平行四边形中，于，于，若，平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为__________．

【答案】48
【解析】连接AC，将平行四边形面积分为两个面积相等的三角形的面积和
可设，则，有，可得，
则平行四边形的面积为：
【例24】 在平行四边形中，点、、、和、、、分别为和的五等分点，点、和、分别是和的三等分点，已知四边形的面积为，则平行四边形面积为__________．

【答案】
【解析】将其中的两块阴影部分拼到两块三角形空白区域，得到9块小平行四边形的面积为1，故15块的面积为

【例25】 已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为，则□ABCD的面积为__________．

【答案】9
【解析】根据的长度之比可以算出，然后利用的长度之比，就可以算出的面积，进而算出□ABCD的面积
【例26】 如图，点是平行四边形对角线上的两点，且，那么和相等吗？请说明理由

【答案】
【解析】因为是平行四边形
所以
所以，又因为，
所以
又因为，
所以，所以
【例27】 已知：如图，在□ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．

【答案】
【例28】 如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：（1）AO=BO；（2）OE=OF；（3）△EAM∽△EBN；（4）△EAO≌△CNO，其中正确的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3) C．（2）（4) D．（3）（4）

【答案】B
【例29】 将两块全等的含角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为．

（1）四边形是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．
（2）如图2，将沿射线方向平移到的位置，四边形是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．
（3）在沿射线方向平移的过程中，当点的移动距离为______时，四边形为矩形，其理由是_____________________________________；当点的移动距离为______时，四边形为菱形，其理由是___________________________．（图3、图4用于探究）
【答案】（1）是，AD∥BC，AD=BC；（2）是，因为始终有∥；
（3），此时；，．
【例30】 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AC︰BD=2︰3．
（1）求AC的长；
（2）求△AOD的面积．

（2013西城一模）
【答案】（1）∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴OA=AC，OB=BD．
∵AC︰BD=2︰3，
∴OA︰OB=2︰3．
设OA=2x（x>0），则OB=3x．
∵AC⊥AB，∴∠BAC =90°．
在Rt△OAB中，OA2+AB2=OB2．
∵AB=2，∴（2x）2+22=（3x）2．
解得x=±（舍负）．
∴AC=2OA= ．
（2）∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴OB=OD．
∴S△AOD=S△AOB=AO·AB = ××2= ．
【例31】 已知：如图，在□ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．

（2013昌平一模）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．∴∠BAD+∠ADC=180°．
∵AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，
∴．
∴．
∴∠AGD=90°．∴AE⊥DF．

（2）由（1）知：AD∥BC,且BC= AD= 10，DC =AB=6，∠1=∠3,∠2=∠4．
∴∠1=∠AEB,∠2=∠DFC．
∴∠3=∠AEB,∠4=∠DFC．
∴BE=AB=6，CF=DC=6．∴BF=4．∴EF=2．
∵AD∥BC, ∴△EFG∽△ADG． ∴．
∴．∴EG=．∴AG=．
由（1）知∠FGE=∠AGD=90°，
由勾股定理，得DG= ，FG= ∴DF=
【例32】 在中，的平分线交直线于点，交直线于点．
（1）在图1中证明；
（2）若，是的中点（如图2），直接写出的度数；
（3）若，，，分别连结、（如图3），求的度数．

（2011北京中考）
【答案】（1）证明：∵平分 ∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）．

（3）解：分别连结、、．
∵
∴
∵且 ∴四边形是平行四边形．
由（1）得 ∴是菱形．
∴．
∴是等边三角形．
∴ ①
．
∴． ∴． ②
由及平分可得． ∴．
在中，． ∴． ③
由①②③得．
∴．
∴．
∴．
【解析】此题与第一讲的例3的第2问类似，第（2）问已知为等腰直角三角形，欲证为等腰直角三角形，只需证；第（3）问已知为等边三角形，欲证为等边三角形，只需证．

（选讲）
【例33】 在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分．进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形平分为面积相等的两部分？他画出了如下示意图（如图1），得到了符合要求的直线．
1
图1
图2
1

小明的作图步骤如下：
第一步：连结；
第二步：过点作交的延长线于点；
第三步：取中点，作直线；
则直线即为所求．
请参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图2，五边形，各顶点坐标为：，，，，．请你构造一条经过顶点的直线，将五边形分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式．
（2014丰台一模）
【答案】解：连结、，过点作交轴于，过点作交轴于，取的中点，连接即可．
直线的解析式是：，
则直线的解析式是：，
得到；
直线的解析式是：，
则直线的解析式是：，
得到；
的中点，
直线的解析式为：．

三、判定
【例34】 如图，在平行四边形中，连接对角线，过两点分别作为垂足，求证：四边形是平行四边形

【答案】因为是平行四边形，所以且
所以
因为，所以
所以，所以
因为，所以
所以四边形是平行四边形
【例35】 已知：如图，在平行四边形中，分别是的中点．求证：（1）≌；（2）四边形是平行四边形．

【答案】（1）∵四边形平行四边形，
∴．
又∵分别是的中点，
∴．
∴．
∴≌．
（2）由（1）知，≌． ∴．
∴四边形是平行四边形．
【例36】 如图，在平行四边形中，点在上，且，与交于点，与交于点，求证：四边形是平行四边形

【答案】先证四边形是平行四边形，得出，再证四边形是平行四边形，得，
所以四边形是平行四边形
【例37】 如图，在平行四边形中，点、是对角线上的点，且，，求证：四边形是平行四边形．

【答案】∵四边形是平行四边形
∴，
∴
又∵
∴
又∵
显然
∴且
∴
∴四边形是平行四边形．
【例38】 已知：如图，∥，∥，且．求证：四边形是平行四边形．

【答案】∵∥，∴，∴
又∵，∴
∵∥
∴，∴≌
∴，∴是平行四边形
【例39】 如图，在平行四边形的各边上，分别取，使，
，求证：四边形为平行四边形

【答案】利用，，证明
【例40】 能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为（ ）．
（A）1∶2∶3∶4 （B）1∶4∶2∶3
（C）1∶2∶2∶1 （D）1∶2∶1∶2
【答案】
【例41】 如图，过四边形对角线的交点作直线交、分别于、，又、分别为、的中点，求证：四边形为平行四边形．

【答案】易证，
∴四边形为平行四边形

四、中位线
【例42】 已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．

【答案】连接，通过中位线就能证明四边形EFGH是平行四边形
【例43】 如图，ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，A′B′C′的周长为_________．如果ABC、EFG、A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．

【答案】16；
【例44】 已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．

【答案】∵，，∴
【例45】 已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．

【答案】∵，，
【例46】 已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．

【答案】∵取中点，连接，，故四边形为平行四边形，故GF＝GC
【例47】 已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．

【答案】∵取中点，连接，故，，∴∠AHF=，，∴∠AHF＝∠BGF

【例48】 已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．

【答案】延长交于点，故，
【例49】 如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?

【答案】取中点，连接，得到又、，
∴，
【例50】 是的中线，是的中点，的延长线交于．求证：．

【答案】取的中点，连接易得，
为的中点，所以，从而可证得：．

【例51】 在中，，，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且．

【答案】过作交于

∵
∴，又∵，，
∴，
∴
∴，又∵
∴，故
∴且．

【例52】 如图，在五边形中，，，为的中点．求证：．

【答案】取中点，中点．连结、、、，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有，，，，
∴，∵，∴．
∴．同理可证．
∵，∴．
∴，
即，∴，∴．

【例53】 如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使．过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、．求证：
（1）；（2）．

【答案】（1） 如图所示，根据题意可知且，
且，
所以．
而、分别是直角三角形、的斜边的中点，
所以，，
又已知，
从而．
（2）由（1）可知，
则由可得．
而、均为等腰三角形，
所以．

【例54】 已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM＝PN

【答案】证明：取AB中点Q，AC中点R
连结PQ，PR，MQ，NR
PQ∥AC，PQ＝AC＝NR
PR∥AB，PR＝MQ
∠PQM＝∠PRN（两边分别垂直），
∴△PQM≌△NRP，　PM＝PN

【例55】 在中，、分别为、边上的高，，求证：．

【答案】取、的中点，连结，∵，∴．
从而得，，，．
又因，故．

【例56】 如图，，平分，平分，点在上．
（1） 探讨线段、和之间的等量关系．
（2） 探讨线段与之间的位置关系．

【答案】（1）；（2）
在线段上取点，使，连结．
在和中

∴
∴，
∵
而
∴
在和中

∴
∴，
∴，

（选讲）
【例57】 在中，，．点在边上（不与，重合），连结，为中点．
（1）若过点作于，连结、、，如图1．设，则__________；
（2）若将图1中的绕点旋转，使得、、三点共线，点仍为中点，如图2所示．
求证：；
（3）若，点在边的三等分点处，将线段绕点旋转，点始终为中点，求线段长度的最大值．

【答案】解：（1）；
（2）如图2，过点作的垂线交于点，设与的交点为．
由题意，，
∴．
∵、、三点共线，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵是中点，
∴是中点．
在中，，
∴．

（3）情况1：如图，当时，取的中点，连结和，
∵，，且，
∴，．
∵为中点，
∴，
∵，
∴．
∵为中点，为中点，
∴．
∴当且仅当、、三点共线且在线段上时最大，此时．
情况2：如图，当时，取的中点，连结和，
类似于情况1，可知的最大值为．
综合情况1与情况2，可知当点在靠近点的三等分点时，线段的长度取得最大值为．

课后作业

【练1】 如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝__________．

【答案】
【练2】 如图，□中，和的周长分别为10和14，且平行四边形的周长为22，则对角线的长度之和为__________，和的长分别为__________．

【答案】；；
【练3】 如图，在平行四边中，已知，，平分交边于点，则等于__________．

【答案】2
【练4】 如图，平行四边形的周长是，的周长是，则的长为___________．

【答案】8cm
【解析】的长为，的长为，故的长为
【练5】 如图，平行四边形中，于，于点，则平行四边形的面积为__________．

【答案】
【解析】由于且，则，，
又有，可得．又由，可得
则平行四边形的面积为：
【练6】 已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．
求证：（1）BE＝DF；（2）BE∥DF．

【答案】略
【练7】 如图，已知：是的角平分线，在上截取，连接，求证：四边形是平行四边形

【答案】因为平分
所以
因为，所以
所以
因为，所以
因为，所以是平行四边形
【练8】 如图，、分别是平行四边形的、边上的点，且．
（1）求证：≌；
（2）若、分别是、的中点，连接、，试判断四边形是怎样的四边形，并证明你的结论．

【答案】（1）由是平行四边形可知，，
又，故≌
（2）由（1）可知，，
又，，∴
而∥，∴有
∴，∴∥
∴四边形为平行四边形

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