经典特殊的平行四边形讲义+家教专用.doc

学科教师辅导讲义
教学内容
一、知识回顾
矩形、菱形、正方形
1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．
③具有平行四边形所有性质．
2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．
③四条边都相等的四边形是菱形．
3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．
4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．
③有三个角是直角的四边形是矩形．
5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．
②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．
③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．

课前练习: 1．已知平行四边形ABCD的周长是28cm，CD-AD=2cm，那么AB=______cm，BC=______cm．
2．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____
3．在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于________
4．已知正方形的边长为a，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____．
5．矩形ABCD被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm，对角线长是13cm，则矩形ABCD的周长是　　　　
6．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，
请写出其中两个不同的四边形的名称： ．
Ｍ
Ｄ
Ｑ
Ｃ
Ｎ
Ｂ
Ａ

7．如图，有一张面积为1的正方形纸片，，分别是，边的中点，将点折叠至上，落在点的位置，折痕为，连结，则
8．如图，梯形中，，直线为梯形的对称轴，为上一点，那么的最小值为　　　　　　　．
9．如图，OBCD是边长为1的正方形，∠BOx=60°，则点C的坐标为________
10．如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC＝，则正方形移动的距离是

C
B
A
D
M
N

二、例题讲解
矩形
例1．如图，已知矩形ABCD的纸片沿对角线BD折叠，使C落在C’处，BC’边交AD于E，AD=4，CD=2

C’
D
A
B
C
E
（1）求AE的长 （2）△BED的面积

巩固练习：
1．如图，矩形ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D与点B重合，折痕为EF
F
D
A
B
C
E
C’
求DE和EF的长。

2．如图，已知将矩形ABCD沿EF所在直线翻折，使点A与C重合，AB=6，AD=8
求折痕EF的长
E
F
A
B
C
D

例2：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE=AD，又DF⊥AE，F为垂足。求证：EC=EF A D
F
B E C

巩固练习
1．矩形的相邻两边的长分别是12㎝和5㎝，则矩形的对角线的长是 。
2．若矩形的面积是36cm2，两条对角线相交成60º锐角，则此矩形的两邻边长分别是 ㎝和 ㎝。
3．将两个同样的长为3厘米，宽为2厘米的长方形重新拼一个长方形，则此长方形的对角线长为______厘米。
4. 如图，矩形ABCD中，AB=2BC，点E在DC上，
AE=AB。求∠CEB的度数。 A E D

B C

5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，BE⊥AC且AE、BE交于点E。求证：AE=BE
E
D C
OOOOO
A B
菱形
例3．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，将三角板中60°的顶点与点A重合，并绕点A旋转，三角板的两边与BC，CD分别相交于E、F，求证AE=AF
E
B
A
F
C
D

例4.如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，FG⊥AC于G，
EH⊥AB于H，FG交EH于点K。求证：四边形DEKF是菱形。
A

H G
K
F E

B D C
巩固练习：
1．已知菱形的两条对角线的长分别为6和8，那么这个菱形的周长是 。
2．菱形的周长是52㎝，一条对角线长是10㎝，则这个菱形的面积是 cm2。
3．菱形的面积为6cm2，一条对角线长6cm，则另一条对角线长＿＿＿cm。
4．已知菱形的两条对角线长之比为3：2，面积等于12cm2，则该菱形的周长为＿＿＿cm。

5. 如图，Rt△中，CH是斜边AB上的高，AD是∠A的平分线，AD与CH相交于点F，DE⊥AB，E为垂足。
求证：四边形CDEF是菱形。 C
D
F B

E
H
A

6．如图，已知在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，且AE=OD，AE⊥CD，
求∠CAE的度数 A
B D
C E

正方形
例5．如图，在正方形ABCD中，已知AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，BF与AD交于点F，
求证：AE=BF
D
A
B
C
P
E
F

巩固练习：
1．已知正方形ABCD中，对角线AC=4㎝，则此正方形的周长= ㎝，面积= cm2。
2．如图，正方形ABCD中点P是边AB上的一个动点，且CQ=AP，PQ与CD相交于点E，当P在边AB上运动时，试判断△PDQ的形状并证明。
D
A
B
C
P
E
Q

三、总结反思

四、课后练习
一.矩形
1.矩形的性质：（1）矩形的四个角都是_____角.(2)矩形的对角线互相平分并且_______.
2.如图1:四边形ABCD是矩形.(已知)
BO=OD=BD,CO=OA=CA,BD=CA.( )
 BO=_____=_____=______,图中共有______个等腰三角形,
_____个直角三角形,图中与∠1相等的角有_______个(∠1除外).
3.如图1,矩形ABCD中,∠AOD=1200,AB=3cm,则∠2=____度,
 AC=______cm,BC=______cm,S矩形ABCD=_____cm2.
4.如图2,矩形ABCD中,∠AOB=600,AC==10cm,则∠2=____度,
 AB=______cm,BC=______cm,S矩形ABCD=_____cm2.
5.如图3,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,∠ADE∶∠EDC=2∶1,
 则∠ADE=________度,∠1=_____度,∠2=______度,∠3=_____度.
6.证明一个四边形是矩形的方法有:(1)先证明它有____个角是直角.
(2)先证明它是平行四边形,再证明它有_____个角是直角.
(3)先证明它是平行四边形,再证明对角线________.
7．在直角三角形中,斜边上的中线等于__________的一半.
8.如图4,∠ACB=900,D是斜边AB的中点,CD=5cm,BC=8cm,则SΔABC=____.
9.如图5,在四边形ABCD中,∠ABC=ADC=900,AE=EC,BF=FD.
求证:EF⊥BD.

10.如图6,矩形ABCD的对角线相交于O,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点.
求证:四边形EFGH是矩形.

11.已知:如图7,在矩形ABCD中,PA=PD. 求证:PB=PC.
12.如图8,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC,∠2=150.(1)求证:ΔDOC是等边三角形.(2)求∠5的度数.

二、菱形
1.菱形的性质:(1)菱形的四条边_______.(2)菱形的两条对角线互相_________平分,并且每条对角线平分一组______角.(3)菱形的面积等于两对角线的积的___.
2.菱形的两条对角线将菱形分成___个_________直角三角形.
3.如图9,菱形ABCD中,对角线AC=10cm,BD=24cm,
 则菱形ABCD的面积为___________cm2,AO=______cm,
 BO=_______cm,AB=________cm,菱形ABCD的周长为________cm.

4.如图10,菱形ABCD中,∠ABC∶∠BAD=1∶2,AB=2,则∠ABC=________度,
∠1=_______度,AO=________,BO=_______,菱形ABCD的面积为__________.
5.如图11,菱形ABCD的面积为50cm2,∠B=300,AE是BC边的高,
 则BC=__________cm.[提示:S菱形=底×高.设AE=x,则BA=?x,BC=?x]
6.已知菱形的周长为52cm,一条对角线是24cm,
则另一对角线为_____cm,它的面积为_______cm2.
7.证明一个四边形是菱形的方法有:(1)先证明它的四条边______.
(2)先证明它是平行四边形,再证明一组邻边________.
(3)先证明它是平行四边形,再证明对角线______________.
8.如图12,在四边形ABCD中,AD∥BC,EF垂直平分BD.
求证:四边形BEDF是菱形.

9.如图13,矩形ABCD的对角线相交于O,DE∥CO,CE∥DO. 求证:DC⊥EO.

10.如图14,ΔABC中,∠ACB=900,AE平分∠BAC,CD⊥AB,EF⊥⊥AB.
求证:(1)ΔAGC≌ΔAGF. (2)四边形CEFG是菱形.

11.求证:一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.

三、正方形
1.正方形的性质:(1)正方形的四个角都是________,四条边________.(2)正方形的两条对角线_______,并且互相垂直_________,每条对角线平分一组______角.
2.正方形的对角线与它的边所成的角是______度.
3.正方形形的两条对角线将正方形分成___个全等的___________________三角形.
4.正方形的面积等于两条对角线的积的_________;正方形的面积等于边长的__________.
5.已知正方形的一条对角线的长为4cm,则它的面积为________cm2,边长为_______cm.
6.如图16,正方形ABCD中,AC=CE,则∠1=________度,∠E=______度,∠2=________度.
7.对角线相等的______形是正方形;对角线互相垂直的_____形是
正方形;对角线互相垂直_______并且_______的四边形是正方形.
8.如图17,正方形ABCD中,CE=CF.
求证:DG⊥BF.

9.如图18,在正方形ABCD内作等边三角形AEF,使E是BC上,F在CD上.
(1)求证:CE=CF.(2)求∠BAE的度数.

10.如图19,F是正方形ABCD的边CD的中点,AE=DC+CE.求证:AF平分∠DAE.

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