平行四边形(知识点、经典例题、常考题型练习).doc

平行四边形（一）
【知识梳理】
1、平行四边形：
平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
（1）平行四边形对角相等；
（2）平行四边形对边相等；
（3）平行四边形对角线互相平分。
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2、特殊平行四边形：
一、矩形
（1）有一角是直角的平行四边形是矩形
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

二、菱形
（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
（2）定理1:菱形的四条边都相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2
（5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形
（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

三、正方形
（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等
②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形
②有一个角是直角的菱形是正方形

知识结构如下图
（1）弄清定义及四边形之间关系图1：

两组对边分别平行
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
梯形

只有一组对边平行
一个角是直角
一组邻边相等

两腰相等
有一个角是直角
等腰梯形
直角梯形
一个角是直角
一组邻边相等

（2）四边形之间关系图2：

平行四边形
矩形

菱形
正
方
形
等腰梯形
直角梯形
梯形
四边形

2、几种特殊的四边形的性质和判定：

3、一些定理和推论：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
推论：夹在两平行线间的平行线段相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例题精讲】
填空题：

平行四边形具有的是：

矩形具有的是：

菱形具有的是：

正方形具有的是：
在下列特征中，
（1） 四条边都相等
（2） 对角线互相平分
（3） 对角线相等
（4） 对角线互相垂直
（5） 四个角都是直角
（6） 每一条对角线平分一组对角
（7） 对边相等且平行
（8） 邻角互补

【巩固】
1、下列说法中错误的是（ ）
A.四个角相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形
3、下面结论中，正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4、如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：
①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果且，那么四边形是菱形.
其中，正确的有 .（只填写序号）

Ａ
Ｆ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｅ

【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
A
E
D
C
F
B

【巩固】已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．
四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

【例2】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．
求证：四边形AECD是菱形．

【例3】如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

【巩固】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．

【例4】如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.
C
B
A
D
F
E

（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形
首先我们来证明DAEF为平行四边形
角DBF=60度-角FBA=角ABC
而DB=AB, BF=BC
三角形DBF全等于三角形ABC
所以:DF=AC=AE
同理可证:DA=FE
所以:DAEF为平行四边形

(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形
则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度
(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC>90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC<90度)

(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形
则必须:AB=AC

(3)如果:角BAC=60度
则:角DAE=3*60度=180度
D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在

据此,(2)的结论应稍加改变为:
当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形

（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.

平行四边形（二）
【知识梳理】
由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。
另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。
【例题精讲】
【例1】四边形四条边的长分别为，且满足，则这个四边形是（ ）
A.平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形
C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形

【例2】如图①，四边形ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.
(1) 求证：DE－BF ＝ EF．
(2) 当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．
(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

【巩固】如图1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.
（1）求∶的值；
（2）延长交正方形外角平分线（如图13－2），试判断的大小关系，并说明理由；
（3）在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
图1
A
D
C
B
E
图2
B
C
E
D
A
F
P
F

【例3】如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。

【例4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC。

【例5】如图所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F。求证：AE＝CF。

【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，∠B，∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H。求证：AH＝CG。

例6. 已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． (1) 求证：△ADE≌△CBF； (2) 若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

例7.已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，求证：AP=EF.

例8.如图：已知在正方形ABCD中，AC、BD交于点O,点E是BO的中点，DGCE于点G，交OC于点F. 如果正方形ABCD边长为10㎝.求EF的长.
E
F
O
D
A
C

B
G

例9.如图，菱形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，若∠BAE=20°，求∠CEF的度数．

例10. 如图所示，在 中，对角线、交于点，平分的外角，且；求证：
A
B
C
D
E
O

例11.如图所示,为的边的垂直平分线上一点,且的延长线分别交、于点、,；求证：
A
B
C
E
P
G
D

例12. 如图所示，在正方形中，点在上，点在上，，于点；求证：
A
B
C
D
E
F
G

例13.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC， ∠BAD=90°，AD+AB=14，（AB>AD）
BD=10， BD =DC，E、F分别是BC、CD上的点，且CE+CF = 4.
(1) 求BC的长；
(2) 设EC的长为x，四边形AEFD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在(2)的条件下，如果四边形AEFD的面积等于40，试求EC的长 .
A
F
E
B
D
C

（二）平行四边形的性质
1、如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm

2．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．
（1）证明：∠DFA=∠FAB；
（2）证明：△ABE≌△FCE．

3．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．

4、已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。

O
F
E
D
C
B
A
(三)、平行四边形的判定
1．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有(　　)
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．点A、B、C是平面内不在同一直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面符合这样条件的点D有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，BE=DF，BE∥DF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

4．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

5、已知如图12-1-21所示，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，M、N是AB、CD上的点，且BM＝DN.求证：四边形MENF是平行四边形．

（四）三角形中位线
1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是

2、如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝

G
Q
P
F
E
D
C
B
A

C
B
A

3、如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。

Q
P
M
D
C
B
A

5、如图4-113，已知在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，AD，EF交于O点．
（1）求证：AD=EF；
（2）若∠DOF=2∠AOF，求证：△ABD是等边三角形．

(五)平行四边形的面积
平行四边形的面积=底×该底上的高；平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。

拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图2，
1、一个平行四边形的底是10.2厘米，高是4厘米，与它等底等高的三角形的面积是＿＿＿。
①40.8平方厘米 ②20.4平方厘米 ③408平方厘米 ④204平方厘米
2、一个三角形的底和一个平行四边形的底相等，面积也相等。平行四边形的高是4.8厘米，三角形的高是＿＿＿。
①4.8厘米 ②2.4厘米 ③9.6厘米 ④14.4厘米

3、已知平行四边形的一条边长为6，这条边上的高为3，另一条边上的高为4，如果用铁丝围成这样一个平行四边形，至少需要用多长的铁丝？

4、已知平行四边形的面积是24㎡，梯形的下底是5m，高是4m，求图中三角形的面积。
5m
4m

矩形、菱形、正方形讲义
【知识点1】矩形
一、矩形的性质
矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角. 矩形性质定理2：矩形的对角线平分且相等.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
二、矩形的判定
①有三个角是直角的四边形 ②对角线相等的平行四边形是矩形 ③对角线平分且相等的四边形是矩形．
三、矩形的应用：
①用以证明线段相等或平分或倍数关系； ②直角三角形两锐角互余；
③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
④直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；
⑤证明两条直线垂直．

例1：如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE ⊥BD于E，则：
（1）图中与∠BAE相等的角有__________；
（2）若∠AOB=60°，则AB：BD＝_________。图中△DOC是___________三角形（按边分）．
例2：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，求矩形对角线的长.

例3：如图，已知矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是【 】
A、4cm、cm B、5cm、cm C、4cm、cm D、5cm、cm

例4：如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是【 】　
A．10 B．16 C．18 D． 20

【知识点2】菱形
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质：
① 菱形的四条边都相等；
②菱形的对角线互相垂直平分分别平分两组对角；
③菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
菱形的识别：
① 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四条边都相等的四边形是菱形；

例5：如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a．
（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积．

例6：下列命题正确的是【 】
　　A．邻角相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

例7：小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 ，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是【 】
A、小明、小亮都正确 B、小明正确，小亮错误
C、小明错误，小亮正确 D、小明、小亮都错误

例8：在菱形ABCD中，于E点，菱形ABCD面积为48平方厘米，厘米，则AB等于【 】
A．12厘米  B．8厘米  C．4厘米  D．2厘米

例9：已知菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，面积为S，则它的边长应为【 】
A． B． C． D．
例10：如图，P为菱形ABCD的对角线上 一 点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点 F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_____ cm

例11：已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是【 】
A. AD平分∠BAC B. AB＝AC＝且BD＝CD C. AD为中线 D. EF⊥AD

例12：已知在□ABCD中，AD=2AB，AE=AB=BF，EC、FD分别交AD、BC于M、N。求证：四边形DMNC是菱形。

例13：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F，交AC于E，若EG⊥BC于G，连结FG. 说明四边形AFGE是菱形

例14：已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。
求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。

【知识点3】正方形
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质．
①正方形各边的性质：四条边相等，对边平行．
②正方形各角的性质：四个角都是直角．
③正方形对角线的性质：正方形的对角线互相平分、互相垂直、相等，且每一条对角线平分一组对角．
④正方形的对称性：正方形是轴对称图形，对边中点所在直线和对角线所在直线都是正方形的对称轴．正方形也是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．

正方形的判定：
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②对角线互相垂直的矩形是正方形；
③一个内角是直角的菱形是正方形；
④对角线相等的菱形是正方形；
⑤有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形；
⑥对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．

例1：如图，把正方形ABCD的对角线BD分成段，以每一段为对角线作正方形，设这个小正方形的周长和为，正方形ABCD的周长为，则与的关系式是【 】
A、＜ B、＞ C、 ＝ D、与无关
例2：如图，在正方形ABCD中，DE＝EC，∠CDE＝600，则下列关系式：①∠1∶∠4＝4∶1；②∠1∶∠3＝1∶1；③（∠1＋∠2）∶（∠3＋∠4）＝5∶3中，正确的是【 】
A、①②③ B、仅① C、仅②和③ D、 仅①和③

例3：如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值为【 】
A、10 B、11 C、 12 D、15
例4：正方形具有而矩形不一定具有的特征是【 】
A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等
例5：如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )
A．30 B．34 C．36 D．40

例6：如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE是等边三角形，那么∠DCE＝ °，如果DE的延长线交BC于G，则∠BEG＝ °

例7：如图，正方形的对角线相交于O，∠BAC的的平分线交BD于E，若正方形的周长是20cm，则DE＝

例8：已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.

【知识点4】中点四边形：即连接四边形四边中点所构成的四边形
顺次连接任意四边形各边中点，所得的图形是 .
顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的图形是矩形.
顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.
顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是正方形.

例9：顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是【 】
①平行四边形 ②菱形 ③等腰梯形 ④对角线互相垂直的四边形
A.①③ B.②③ C.③④ D.②④

例10：如图，点E、F、M、N是矩形ABCD各边的中点，求证：四边形EFMN是菱形。

例11：已知四边形ABCD中，M、N、E、F分别为四边的中点。
（1）要使四边形MNEF为矩形，还须添加什么条件，为什么？
（2）要使四边形MNEF为菱形，还须添加什么条件，为什么？
第11题
C
D
E
B
F
M
N
A

18