必修4大题：三角综合和向量综合含答案word.doc

高一必修4 三角函数和向量大题训练（晓出）
一、 三角函数的化简和求值问题：学习要求：①这是基本功，也是高考的第一大道题目，务必要拿分；②公式要默写记忆，特别是“奇变偶不变，符号看象限”；③解题方法要把握“高次降低次（用二陪角公式）、不同名化同名”（和差公式的逆向使用、构造法求值、平方法求值）、解方程思想（知一求二）；④指定范围和不指定范围求值问题。
1．(本题12分)，求(1)最小正周期；
(2)最大值以及相应的x值；
1．解答：（1）T=π； （2） x=kπ+时，f(x)|max=.
2．（本小题满分12分）已知函数求：
（1）的最小正周期；（2）的单调递增区间；（3）在上的最值.
2．解：（Ⅰ）因为

所以的最小正周期
（Ⅱ）因为
所以由
得
所以的单调增区间是
（Ⅲ）因为
所以
所以
即的最小值为1，最大值为4.

（2010年）3．（本小题满分14分）
设函数，，，且以为最小正周期．
（1）求；
（2）求的解析式；（3）已知，求的值．
3.解：（1）由已知可得：
（2）∵的周期为，即 ∴ 故
（3）∵
∴由已知得：即
∴故的值为或
4．(本题12分)
已知向量a=向量b=
(1) 当a∥b时，求；
(2) 当a⊥b时，求；
(3) 求︱2a －b︱的最大值和最小值
4．解答：（1）； （2）； （3）最大值为4；最小值为2(－1).
（2009年）5．(本小题满分12分）
已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，，求的值．
5. 【解】（1）,，即
又∵, ∴，即，∴
又　，
（2）∵
, ，即
又 , ∴
6．(本题满分10分)已知向量 =（cos，sin），=（cos，sin），|｜＝．
（Ⅰ）求cos（－）的值；
（Ⅱ）若０＜＜，－＜＜０，且sin＝－，求sin的值．
6解：（Ⅰ）（5分） ，
． ---------------------------------------1分
，
．---------------------------------2分
即 ． ---------------------------------------------------1分
． ------------------------------------------------------------------1分
（Ⅱ）（5分）∵， ∴ ---------------------1分
∵ ，∴ ----------------------------------1分
∵ ，∴ -----------------------------------------------------1分
∴
．-----------------------------------------------------------2分
二．三角函数的图象问题：（学习要求：①做到能会识图、画图、关键是用图来把握性质，要默出三个基本三角函数图；②把握图象的平移（方法是只“对x”进行移或伸），要区别“先移动后伸缩”与“先伸缩后平移”一般选择前者做题好点；③按向量平移是难点，要作图理解移动方向；④学会五点法作图（有时包括边界点不止五点），关键是指定范围的作图问题，要用整体思想。）

7．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
7．解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+= (cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+．
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）．
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像．
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像．

**8．设函数f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1), b=(cosx,sin2x), x∈R.
（1）若f(x)=1－,且x∈[,],求x；
（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y= f(x)的图象,求实数m、n的值.
8解答．(1) f(x)=a·b=1+2sin(2x+),由1+2sin(2x+)=1－,得sin(2x+)=－，
∵x∈[,]，∴≤2x+≤.∴2x+=，即x=.
(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n) 平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象,即函数y= f(x)的图象.由(1)得f(x)= 2sin2(x+)+ 1, ∵|m|<,∴m= －,n=1.（可以作图理解）
9．设函数图像的一条对称轴是直线。
（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间上的图像。
9解：（Ⅰ）的图像的对称轴，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意得
所以函数
（Ⅲ）由
x
0

y

－1
0
1
0

故函数

三．平面向量与解析几何综合（学习要求：要把图形和向量结合分析；重点是综合求平行、垂直、长度（即模长）、角度（角度）问题；把握数形结合、解方程思想；估计出现中等题以上。）
1．(本题满分10分)已知，当为何值时，
平行时它们是同向还是反向？
1解: 因为，--------------------------------2分
当时，
则-------------------------------------------------2分
解得： --------------------------------------------------------------------------2分
此时，
==
=．-----------------------------------------------------------2分
所以反向．---------------------------------------------------------------2分
［另解：当，存在唯一实数，使
即 得：
解得：， 即当，
这时因为，所以反向．］
2、(本题满分14分)四边形中，
（1）若，试求与满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。
2．解：
∴
（1） 则有
化简得：
（2）

又 则
化简有：
联立
解得 或
则四边形为对角线互相垂直的梯形
当
此时
当
此时

3、已知平面上一个定点C（－1，0）和一条定直线l：x＝－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为，（＋2）（－2）＝0.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）求·的取值范围．
3、解：（1）由（＋2）（－2）＝0，∴｜｜2＝4｜｜2．
设P（x，y），得｜x＋4｜2＝4［（x＋1）2＋y2］，∴3x2＋4y2＝12.
∴点P的轨迹方程为＋＝１；
（2）设P（x，y），∴＝（－4－x，0），＝（－1－x，－y）．
·＝（－4－x，0）·（－1－x，－y）
＝x2＋5x＋4＝－．
由x∈［－2，2］，故有·∈［－2，18］．

4． 平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点.
（1）当·取最小值时，求的坐标；
（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值.
4．解：（1）设=（x，y），
∵点X在直线OP上，∴向量与共线.
又=（2，1），∴x－2y=0，即x=2y.
∴=（2y，y）.又=－，=（1，7），
∴=（1－2y，7－y）.
同样=－=（5－2y，1－y）.
于是·=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）=5y2－20y+12=5（y－2）2－8.
∴当y=2时，·有最小值－8，此时=（4，2）.
（2）当=（4，2），即y=2时，有=（－3，5），=（1，－1）.
∴||=，||=.
∴cos∠AXB==－.
评述：（1）中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数.而（2）中即为数量积定义的应用.

图4
5．（本小题满分13分）如图4，已知点和单位圆上半部分上的动点．
⑵ 若，求向量；
⑵求的最大值．

1．⑴依题意，，（不含1个或2个端点也对）----------2分
， （写出1个即可）---------3分
因为，所以 ---------4分，即---------5分
解得---------7分，所以----------------------------------8分
⑵--------9分，
------10分 ------11分 ------12分
当时，取得最大值，---13分