平面向量的实际背景及基本概念.doc

平面向量的实际背景及基本概念
向量的物理背景与概念
向量的几何表示
相等向量与共线向量
教学目标
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)
2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点)
3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　向量及其几何表示
阅读教材P74～P75例1以上内容，完成下列问题．
1．向量与数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．
2．向量的几何表示
(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量可以用有向线段表示．向量的大小，也就是向量 的长度(或称模)，记作||．向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量可以比较大小．(　　)
(2)坐标平面上的x轴和y轴都是向量．(　　)
(3)某个角是一个向量．(　　)
(4)体积、面积和时间都不是向量．(　　)
解：因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x轴、y轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
教材整理2　向量的有关概念
阅读教材P75第十八行以下至P76例2以上内容，完成下列问题.
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量
向量a、b平行，记作a∥b
规定：零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
向量a与b相等，记作a＝b
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)单位向量都平行．(　　)
(2)零向量与任意向量都平行．(　　)
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(4)||＝||.(　　)
解：(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，则(3)不成立；(4)正确．故只有(2)(4)正确．
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
[小组合作型]
向量的有关概念
　判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．
(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等．
[再练一题]
1．给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
解：①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
②错误.0的模|0|0.
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两个向量、必须在同一直线上．
【答案】　③
向量的表示及应用
　某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求的模. 【导学号：00680033】
可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量．可把放在直角三角形中求得||.
解：(1)作出向量，，，如图所示：

(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米．
1．向量的两种表示方法：
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．
2．两种向量表示方法的作用：
(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．
[再练一题]
2．一辆汽车从点A出发，向西行驶了100公里到达点B，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解：(1)如图所示．

(2)由题意知与方向相反，∴与共线，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD，
又∵||＝||，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴||＝||＝200(公里)．
[探究共研型]
相等向量与共线向量
探究1　向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？
向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线．
探究2　两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．
　(1)(2016·潍坊高一检测)如图2－1－1，在等腰梯形ABCD中．

图2－1－1
①与是共线向量；
②＝；③>.以上结论中正确的个数是(　　)
A．0　　 B．1　
C．2　　 D．3
(2)下列说法中，正确的序号是________．
①若与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
②零向量都相等；
③任一向量与它的平行向量不相等；
④若四边形ABCD是平行四边形，则＝；
⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．
可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断．
解：①因为与的方向不相同，也不相反，所以与不共线，即①不正确；②由①可知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确．
(2)因为向量与是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得＝，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确．
【答案】　(1)A　(2)②④
相等向量与共线向量需注意的四个问题：
(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．
(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．
(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0)．
(4)三点A，B，C共线⇔，共线．
[再练一题]
3.如图2－1－2所示，O是正六边形ABCDEF的中心．

图2－1－2
①分别写出图中与，，相等的向量；
②与的长度相等、方向相反的向量有哪些？
解：①与相等的向量有，，；与相等的向量有，，；与相等的向量有，，.
②与的长度相等、方向相反的向量有，，，.
[构建·体系]

1．下列说法中正确的个数是(　　)
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量．
A．0 B．1
C．2 D．3
解：只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．
【答案】　B
2．在下列判断中，正确的是(　　)
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
解：由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③、⑤正确，④不正确，故选D．
【答案】　D
3．(2016·三明市期末)设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是(　　)
A．e1＝e2 B．e1∥e2
C．|e1|＝|e2| D．以上都不对
解：单位向量的模都等于1个单位，故C正确．
【答案】　C
4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．
解：由向量的相关概念可知④⑥正确．
【答案】　④⑥
5.如图2－1－3所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量相等的向量．

图2－1－3
解：由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
学业分层测评
[学业达标]
一、选择题
1．下列说法正确的个数是(　　)
(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；
(2)零向量没有方向；
(3)非零向量的单位向量是唯一的．
A．0　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解：(1)中温度和功不是向量；(2)零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以(1)(2)错误．
【答案】　B
2．下列结论正确的是(　　)
A．向量必须用有向线段来表示
B．表示一个向量的有向线段是唯一的
C．有向线段和是同一向量
D．有向线段和的大小相等
解：向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段和的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误、D正确．
【答案】　D
3．给出下列四个命题：
①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝.
其中的正确命题有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解：对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．故选A．
【答案】　A
4．数轴上点A、B分别对应－1、2，则向量的长度是(　　)
A．－1 B．2
C．1 D．3
解：易知||＝2－(－1)＝3，故选D．
【答案】　D
5．(2016·长春十一中期末)若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解：由＝知四边形为平行四边形；
由||＝||知四边形ABCD为菱形．故选C．
【答案】　C
二、填空题
6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解：因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m＝0.
【答案】　
7．给出以下五个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．
解：共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显仅有①③④.
【答案】　①③④
三、解答题
8.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图2－1－4所示的向量中：

图2－1－4
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解：(1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．
9．如图2－1－5所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.

图2－1－5
【证明】　因为＝，
所以||＝||且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以||＝||且DA∥CB．
又因为与的方向相同，
所以＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
所以＝.
因为||＝||，||＝||
所以||＝||.
又与的方向相同，
所以＝.
[能力提升]
1．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是(　　)
A．＝ B．＝或＝
C．＝ D．与的长度相等
解：因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，
又与a同方向，
与b同方向，
所以与方向关系不确定，所以A，B，C均不对．
又与均为单位向量，
所以||＝||＝1.
【答案】　D
2．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．画图表示向量，，，并指出向量的模和方向．
解：以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．

据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，，如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.
又∠ACD＝45°，CD＝1 000 km.
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45°.
故向量的模为1 000 km，方向为东南方向．