数列中最难问题.doc

求递推数列通项的特征根法
高二文科段 杜幼兰
2008年全国共37套高考数学试题（包括文、理试题），有25套（10套文科试题、15套理科试题）在数列的解答题考查了“递推数列”，本文对求递推数列通项的一个重要方法——特征根法作一小结如下。
一、形如（是常数）的数列
形如，（是常数）的一阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为，
若c＝1，则数列为等差数列，其通项公式易得。
若c≠1，由特征方程，得
则，∴
二、形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得
例1 已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，解得，令，
由，得，
例2已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，解得，令，
由，得，
三、形如的数列
对于数列，是常数且）
其特征方程为，变形为…②
若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。
这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得
若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。
这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得
例3已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，化简得，解得，令
由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，，
例4已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，即，解得，令
由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，