指数函数复习专题(含详细解析).doc

第 讲 指数函数
时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：
一、 兴趣导入

二、 学前测试
1．在区间上为增函数的是（　 B ）
A．　　　　　  B． 　 C．　　　　  D．
2．函数是单调函数时，的取值范围　（　A  ） A． 　　　　　  B． 　　　　 C ．　　　　　  D．
3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有　（　A  ）
A．最大值　　　  B．最小值 　　　　　　　 C ．没有最大值　　　 D． 没有最小值
4．函数，是（　B  ）
A．偶函数　　　　　　　 B．奇函数　　　　  C．不具有奇偶函数 D．与有关
5．函数在和都是增函数，若，且那么（　D  ）
A． 　　 B．　  C．　 　  D．无法确定
6．函数在区间是增函数，则的递增区间是　　（　 B ）
A．　　　　　　  B． 　　　　　 C．　　　　　 D．
三、方法培养
☆专题1：指数函数的定义
一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.
例1
指出下列函数那些是指数函数：
（１）（２）（３）　（４）（５）（6）（7）（８）
解析：利用指数函数的定义解决这类问题。
解：（１），（５），（８）为指数函数　　
变式练习1
1函数是指数函数，则有（　　　）
Ａ．ａ＝１或ａ＝２　Ｂ．ａ＝１　Ｃ．ａ＝２　Ｄ．ａ＞０且
答案:C
2. 计算:;
解：(1)
=()+()+(0.062 5)+1-
=()2×+()+(0.5)+
=++0.5+
=5;

☆专题2：指数函数的图像与性质
一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a＞1
0＜a＜1
图象

性质
①定义域：R
②值域：（0,+∞）
③过点（0,1）,即x=0时y=1
④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当x＞0时,y＞1
④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当x＞0时,0＜y＜1
在同一坐标系中作出y=2x和y=()x两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y轴对称.

图2-1-2-3

例3比较下列各题中的两个值的大小:
（1）1.72.5与1.73; (2)0.8-0.1与0.8-0.2; (3)1.70.3与0.93.1.
利用函数单调性,
①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数y=1.7x在R上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73；
②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2；
③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1..
变式练习3
1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.
答案：b<a<c(a、b可利用指数函数的性质比较,而c是大于1的).
2. 若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？
答案：＜a＜1.
3. 设m<1,f(x)=,若0<a<1,试求:
(1)f(a)+f(1-a)的值;
(2)的值.
活动：学生思考,观察,教师提示学生注意式子的特点,做这种题目,一定要有预见性,即第(2)问要用到第(1)问的结果,联系函数的知识解决.
解：(1)f(a)+f(1-a)===
===1.
(2)
=［
=500×1=500.
☆专题3：求函数的定义域与值域
例4
求下列函数的定义域
（１） （2）
解析：求定义域注意分母不为零，偶次根式里面为非负数。
解（１）：令ｘ－４０，得ｘ４，
故定义域为（－，４）（４，＋）
（2）：
所以的定义域为
点评：求函数的定义域是解决函数问题的基础。
变式练习4
求下列函数的定义域和值域:
(1)y=();(2)y=;(3)y=ax-1(a>0,a≠1).
答案：(1)函数y=()的定义域是R,值域是［,+∞）;(2)函数y=的定义域是［,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当0<a<1时,定义域是{x|x≤0},值域是［0,+∞）.
四、 强化练习
1. 下列关系中正确的是( )
A.()<()<() B.()<()<()
C.()<()<() D.()<()<()
答案：D
2.函数y=ax(a>0,a≠1)对任意的实数x,y都有( )
A.f(xy)=f(x)·f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)·f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)
答案：C
3.函数y=ax+5+1(a>0,a≠1)恒过定点________.
答案：（-5,2）
4.比较a与a的大小（a＞0且a≠0）.
答案：分a＞1和0<a<1两种情况讨论.当0<a<1时,a>a;当a>1时,a<a.

五、训练辅导
☆专题4：函数图像的平移
当m>0时,y=ax的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象;
当m<0时,y=ax的图象向右移动|m|个单位得到y=ax+m的图象.
上述规律也简称为“左加右减”.
例4为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象( )
A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
变式练习5
1.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
（1）求a,b的值；
（2）若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
活动：学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,（1）从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基础上求出f(x),转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化.
（1）解：因为f(x)是奇函数,
所以f(0)=0,即=0b=1,
所以f(x)=;
又由f（1）=-f（-1）知=a=2.
（2）解法一：由（1）知f(x)==+,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又因f(x)是奇函数,从而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,
等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)为减函数,由上式推得：
t2-2t>k-2t2,即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,
从而判别式Δ=4+12k<0,
∴k<.
2. 已知定义在上的函数（为实常数）是奇函数，；
（I）求的值，判断并证明函数的单调性；
（II）若对任意的，不等式（为实常数）都成立，求的取值范围；

六、家庭作业布置：
家长签字：_________________
（请您先检查确认孩子的作业完成后再签字）
附件：堂堂清落地训练
（坚持堂堂清，学习很爽心）

1.函数y=a|x|（a＞1）的图象是（ ）

图2-1-2-8
分析：当x≥0时,y=a|x|=ax的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数.
答案：B
2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（ ）
A.y=()2-x B.y= C.y= D.y=+1
分析：因为（2－x）∈R,所以y=（）2－x∈（0,+∞）;y=∈［0,1］;y=∈［0,+∞);y=+1∈［2,+∞).
答案：A
3.已知函数f（x）的定义域是（0,1）,那么f（2x）的定义域是（ ）
A.（0,1） B.（,1） C.（－∞,0） D.（0,+∞）
分析：由题意得0＜2x＜1,即0＜2x＜20,所以x＜0,即x∈（－∞,0）.
答案：C
4.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则（ ）
A.AB B.AB C.A=B D.A∩B=
分析：A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以AB.
答案：A
5. 已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图像必定不经过（ A ）
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
二、填空题
1．若a<a,则a的取值范围是 。0<a<1
2．若10x=3,10y=4,则10x-y= 。
3．化简×2= 。1
4．函数y=的定义域是 。(-,0)(0,1) (1,+ ) ,联立解得x0,且x1。
5．函数y=3的单调递减区间是 。（0，+）
令y=3U,U=2-3x2, ∵y=3U为增函数，∴y=3的单调递减区间为[0，+）。

6．若f(52x-1)=x-2,则f(125)= . 0 f(125)=f(53)=f(52×2-1)=2-2=0。

7.对于函数f(x)定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2),有如下的结论:
①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);
③>0;④<.
当f(x)=10x时,上述结论中正确的是.
分析:因为f(x)=10x,且x1≠x2,所以f(x1+x2)===f(x1)·f(x2),所以①正确;
因为f(x1·x2)=≠=f(x1)+f(x2),②不正确;
因为f(x)=10x是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以>0,所以③正确.
因为函数f(x)=10x图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.

图2-1-2-9
答案：①③④
另解：④
∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴>∴>,
即>∴>.
三、解答题
1． 设0<a<1,解关于x的不等式a>a。
解：
∵0<a<2,∴ y=ax在（-，+）上为减函数，∵ a>a, ∴2x2-3x+1<x2+2x-5,解得2<x<3,

2． 已知x[-3,2]，求f(x)=的最小值与最大值。

解：
.f(x)=, ∵x[-3,2], ∴.则当2-x=,即x=1时,f(x)有最小值；当2-x=8,即x=-3时，f(x)有最大值57。
3.已知函数f(x)=, (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R上的增函数。

解：．（1）∵定义域为x,且f(-x)=是奇函数；
（2）f(x)=即f(x)的值域为（-1，1）；
（3）设x1,x2,且x1<x2,f(x1)-f(x2)=(∵分母大于零，且a<a) ∴f(x)是R上的增函数。
8.（1）求函数y=()的单调区间,并证明.
（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.
活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=()x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.
解法一：设x1<x2,则=()(),
因为x1<x2,所以x2-x1>0.
当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,
即>1,所以y2>y1,函数单调递增;
当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,
即<1,所以y2<y1,函数单调递减;
所以函数y在（-∞,1］上单调递增,在［1,+∞）上单调递减.
解法二：（用复合函数的单调性）：
设u=x2-2x,则y=()u,
对任意的1<x1<x2,有u1<u2,又因为y=()u是减函数,
所以y1<y2,所以y=()在［1,+∞）是减函数.
对任意的x1<x2≤1,有u1>u2,又因为y=()u是减函数,
所以y1<y2.所以y=()在（-∞,1］上是增函数.
引申：求函数y=()的值域（0<y≤2）.
点评：(1)求复合函数的单调区间时,利用口诀“同增异减”.
（2）此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同题型的解答方法.
证明：设x1,x2∈R,且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)===.
由于指数函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,
所以2x1<2x2,即2x1-2x2<0.
又由2x>0得2x1+1>0,2x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,f(x)为增函数.

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摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。