高中数学总复习教学案09圆锥曲线与方程.docx

高中数学总复习题组法教学案编写体例
第9章 圆锥曲线与方程
双曲线
椭圆
本章知识结构
本章的重点难点聚焦
本章的重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程与标准方程表示的圆锥曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
本章的难点：求圆锥曲线的方程与利用几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系综合问题。
◆ 本章学习中应当着重注意的问题
　　理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，准确掌握标准方程所表示曲线的几何性质，特别注重函数与方程不等式的思想、转化思想、数形结合思想在本单元解题中的应用。
◆ 本章高考分析与预测
本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉与本章的知识，分值20分左右。主要呈现以下几个特点：
1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程与几何性质等知识与基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现；
2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；
3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；
4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题与最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。

§9.1 椭 圆
新课标要求
① 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程与简单性质．
重点难点聚焦
本节的重点是椭圆的定义、标准方程和几何性质。
本节的难点是椭圆标准方程两种形式的应用与解决椭圆问题所涉与的思想方法。
高考分析与预策
　　纵观近几年的高考试题，对椭圆的考查主要表现在：对概念、性质、方程直接考查，一般以选择题、填空题为主，其中与平面几何图形性质相结合的试题成为高考命题的亮点；解答题的常见题型为确定椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等，其中与向量、数列、不等式知识相结合的范围问题、最值与定值问题是高考的热点，尤其是平面向量、不等式与解析几何的综合问题，近几年最受命题者青睐。
题组设计
再现型题组
⒈（2008年浙江）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 ．
⒉椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k等于（ ）
(A)－1 (B)1 (C) (D) －
巩固型题组
⒊ 设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|P F1|：|P F2|＝4：3，求P F1F2的面积。

⒋求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆具有共同的焦点.

⒌（2008辽宁文科）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，－）、（0，）的距离之和等于4．设点P的轨迹为C．
(Ⅰ)写出C的方程；
(Ⅱ)设直线y=kx+1与C交于A、B两点，.k为何值时此时||的值是多少？

提高型题组
6、在中，BC=24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求的重心的轨迹方程。

7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。

反馈型题组
8、 椭圆上一点M到焦点F的距离为2，N是M F的中点，则等于（ ）
A、2 B、4 C、6 D、
9、如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A、（0，＋∞） B、（0，2） C、（1，＋∞） D、（0，1）
10、我们把由半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中）。如图，
设点是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、
B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边
长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（ ）
1,3,5
A． B．
C．5，3 D．5，4
11．（2008上海理科）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 ．
12．（2008全国Ⅰ）在△ABC中，∠A＝90°，tanB＝．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝ ．

13、如图，已知椭圆，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程.

14、如图，椭圆的方程为，其右焦点为F，把椭圆的长轴分成6等分，过每个点作x轴的垂线交椭圆上半部于点P1，P2，P3，P4，P5五个点，且|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5.

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l过F点（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m,0），试求m的取值范围.

§9.2 双曲线
新课标要求
① 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
重点难点聚焦
本节的重点是双曲线的定义、标准方程和几何性质。
本节的难点是理解双曲线参数a、b、c、e的关系与渐近线方程.
高考分析与预策
　　随着高考的逐年完善，科学规范，本节在要求上有所降低，但从知识的整体发展过程看，双曲线不失为一种重要曲线，故要引起重视估计仍以选择题或填空题的形式出现，注重对数学思想和数学语言的考查。
题组设计
再现型题组
1、（2008年海南卷）双曲线的焦距为（ ）
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
2、（2008年山东卷）已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
巩固型题组
3．设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。

4、直线的右支交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

.

提高型题组
5、已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：．
（3）求：的面积。

反馈型题组
6、方程表示双曲线,则的取值范围是( )
(A) k<2或k>5 (B) 2<k<5
(C) k>5或－2<k<2 (D) k<5或k>2
7.（2008年陕西卷）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
8、过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线l有 ( )
(A) 1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
9、点是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右两焦点，，则等于 （ ）

10、已知分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距，若方程无实数根，则此双曲线的离心率的取值范围是
11、（2008年江西卷）已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
12、（2007年上海浦东）已知曲线.
（1）画出曲线的图像，
（2）若直线与曲线有两个公共点，求的取值范围；
（3）若，为曲线上的点，求的最小值.

§9.3 抛物线
新课标要求
① 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
② 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程与简单性质．
④ 了解抛物线的简单应用．
重点难点聚焦
本节的重点是抛物线的定义、标准方程和几何性质。
本节的难点是抛物线定义的应用，标准方程的应用与直线与抛物线的综合问题。
高考分析与预策
　 纵观近几年的高考试题，今后高考会以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义，标准方程与简单几何性质的基础知识，也会以解答题的形式考查抛物线的综合问题。有关抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系综合问题，更加注重对数学思想方法与数学语言的考查，估计题目的运算量不会很大，难度趋于中低档。
题组设计
再现型题组
⒈抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
(A)． (B)． (C)． (D)．0
2．设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为 ( )
(A)（a，0） (B)（0，a） (C)（0，） (D)随a符号而定
巩固型题组
⒊设是抛物线上的一动点，
(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值.

4、已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，设是抛物线上的两个动点(不垂直于轴)，但，线段的垂直平分恒经过定点，求抛物线的方程。

提高型题组
⒌设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O.

反馈型题组
6．焦点坐标为的抛物线的标准方程为( )
(A) (B) (C) (D)
7.（2008年海南卷）已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点
P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ）
A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2）
8．抛物线上有一点，它的横坐标是3，它到焦点的距离为5，则抛物线的方程为( )
(A) (B) (C) (D)
9．已知为抛物线上任一动点，记点到轴的距离为，对于给定点，则的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
10．已知圆与抛物线的准线相切，则
11．（2007年山东卷）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为 .
12、 已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M.
（1）求抛物线方程；
（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.

§9.4 直线与圆锥曲线的位置关系
新课标要求
① 在理解和掌握两种圆锥曲线（双曲线只要求理解）的定义和标准方程的基础上，能熟练的解决直线和圆锥曲线的位置关系的一些问题。
② 会判断、解决直线与圆锥曲线的位置关系、交点个数、参数范围与对称问题。
③熟练运用所学知识，解决有关弦长、面积、中点的问题。
重点难点聚焦
本节的重点是直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线的位置关系，直线与抛物线的位置关系；数形结合、分类讨论、方程思想方法的应用。
本节的难点是弦长问题与中点弦问题。
高考分析与预策
　 纵观近几年的高考试题，直线与圆锥曲线的简单问题一般在选择题、填空题中考查，比较容易；解答题中的直线与圆锥曲线的问题难度较大，为中难档次，时常作为压轴题出现。直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了解析几何中直线、圆锥曲线两部分的知识内容，还涉与到函数方程、不等式、向量、平面几何、数列等许多知识，形成了轨迹、最值、范围、定值、弦长等多种问题，因而为解析几何中综合性最强 ，能力要求最高的内容，也成为高考命题的重点和热点。
题组设计
再现型题组
１.过点（２，４）作直线与抛物线＝８ｘ只有一个公共点，这样的直线有（　　）
Ａ．一条　Ｂ．两条　Ｃ．三条　Ｄ．四条
２.双曲线＝１的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点）则直线ＰＦ的斜率的变化范围是 ( )
Ａ．(∞，0) B. （1，＋∞）
C.（－∞，0）∪（1，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
3.直线y=kx+1与焦点在ｘ轴上的椭圆＝1恒有公共点，则m的取值范围是（ ）
A. （０，１） B.　（０，５） C. ［１，＋∞） D. ［１，５）
巩固型题组
4、过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，求直线所在的直线方程和线段的长度.

5、已知椭圆，试确定的取值范围，便得椭圆上存在不同的两点关于直线对称。

提高型题组
6、设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程； （2）的最小值与最大值.

反馈型题组
7．设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于两点，则( )
(A) (B) (C) (D)
8．不论取值何值，直线与曲线总有公共点，则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
9．点Ｐ在椭圆上，则点Ｐ到直线３ｘ－２ｙ－１６＝０的距离的最大值是（　　）　
Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
10．过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_______
11．点是椭圆的焦点，Ｐ是其上的一动点，当为钝角时，点Ｐ的横坐标的取值范围是　　　　　
12．椭圆中过点的弦恰好被点平分，则此弦所在的直线方程是
13、（2007年山东省枣庄市模拟考试）如图，已知直线l与抛物线相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.
（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；

（II）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

§9.5 曲线与方程
新课标要求
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
重点难点聚焦
本节的重点是曲线的方程与方程的曲线的概念与求曲线方程的步骤，坐标法思想的本质理解与应用.
本节的难点是曲线的方程和方程的曲线的理解.
高考分析与预策
　《普通高中数学课程标准》与《考试说明》要求“能够根据所给条件选择合适的坐标系，求曲线方程，并由方程研究曲线的性质”。这里既有思想，又有方法。本节考查会以选择或填空的形式求常见曲线的方程或研究常见曲线的性质。求曲线的性质也会在 解答题中出现，属于中低档题，常见的方法有直接法、定义法、待定系数法、动点转移法，求曲线的方程是高考中的热点，常见方法应熟练掌握并能灵活应用。

题组设计
再现型题组
1．已知点、，动点，则点P的轨迹是（ ）
圆 椭圆 双曲线 抛物线
2．已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得｜PQ｜＝｜F2P｜，求Q的轨迹方程是
巩固型题组
⒊在△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=－2，且△PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程.

4、如下图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.

提高型题组
5、如图，在平面直角坐标系中，N为圆A上的一动点，点B（1，0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且
（1）求动点P的轨迹方程；

（2）试判断以PB为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由。

反馈型题组
6．x=表示的曲线是（ ）
A.双曲线 B.椭圆
C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分
7．在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ Ｄ ）

8．设k＞1，则关于x、y的方程（1－k）x2+y2=k2－1所表示的曲线是（ ）
A.长轴在y轴上的椭圆 B.长轴在x轴上的椭圆
C.实轴在y轴上的双曲线 D.实轴在x轴上的双曲线
9．（2007江西）一动点到两坐标轴的距离之和的2倍等于动点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程为（　　　）
A. B.
C. D.
10．直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.
11．已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成公差小于零的等差数列，
（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P坐标为，为的夹角，求tanθ。

第九章 圆锥曲线与方程45分钟单元综合检测题
一、 选择题
1．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ）
A． B． C． D．
3．已知P是椭圆上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为 （ ）
A． B． C． D．0
4．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是
20080418
（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．从双曲线的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|—|MT|等于 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为_ ________
8．抛物线的焦点恰好为双曲线的一个焦点，则
9、与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是 .
10．过抛物线与抛物线交于A、B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为= .
11．已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P做PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且
（Ⅰ）求点N的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l与点N的轨迹交于A、B不同两点，若，且求直线l的斜率k的取值范围.

12．椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为与y轴交于P点（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且
（1）求椭圆方程；
（2）若的取值范围。

（解答部分）
§9.1 椭 圆
再现型题组
⒈ 【提示或答案】8
　 【基础知识聚焦】本小题考查椭圆的定义；即平面内一动点与两定点F1，F2的距离之和为常数2a，当2a＞| F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当2a=| F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<| F1F2|时，动点的轨迹不存在。
⒉ 【提示或答案】B
　 【基础知识聚焦】本小题考查椭圆的标准方程与几何性质，焦点位置决定椭圆标准方
程的类型，是椭圆的定位条件，参数a,b决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定性条件。
巩固型题组
⒊［解］由于|P F1|＋|P F2|＝7，且|P F1|：|P F2|＝4：3，得|P F1|＝4，|P F2|＝3，又| F1F2|＝2c＝，显然|P F1|2 ＋|P F2|2＝| F1F2|2，所以P F1F2是以P F1，P F2为直角边的直角三角形，从而所求P F1F2的面积为S＝|P F1||P F2|＝43＝6.
【点评】本题运用了椭圆的定义来解题。椭圆定义是用椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和来描述的，定义中|P F1|＋|P F2|＝2a＞| F1F2|.定义能够对一些距离进行相关的转化，简化解题过程。因此在解题过程中，遇到涉与椭圆上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够使椭圆的定义来解决。
【变式与拓展】
已知点A(3,0)，B(－2,1)是椭圆 内的点，M是椭圆上的一动点，试求|MA|+|MB|的最大值与最小值。
解：易知A点为椭圆的右焦点，设左焦点为F1，由a2=25，知|MF1|+|MA|=10，因此|MA|+|MB|=10+|MB|－|MF1|；如图所示，连结BF1并延长BF1交椭圆于C、D两点；当M位于C点时，|MB|－|MF1|最大，当M位于D点时|MB|－|MF1|最小，计算得最大值为，最小值为.
⒋ 【解法一】
［解］（1）①当所求椭圆的焦点在轴上时，设它的标准方程为，依题意应有，解得，因为从而方程组无解；
　　　　　　②当所求椭圆的焦点在轴上时，设它的标准方程为，
依题意应有，解得，所以所求椭圆的标准方程为.
故所求的椭圆的标准方程为
【解法二】
［解］（1）设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)，
依题意得，解得，从而所求椭圆的标准方程为.
（2）因为椭圆的焦点坐标为，，从而可设所求的椭圆的方程为，将又因为经过点(2，－3)，从而得，解得或（舍去），故所求椭圆的标准方程为：.
【点评】对于（1），由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一坐标轴上，因此应分别设出焦点在x轴、y轴上的标准方程，进行讨论求解；或采用椭圆方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)直接求解，避免讨论；对于（2）由于椭圆的焦点坐标为，因而可设所求的椭圆方程为，只要由题设条件确定的值即可. 由于题（1）中的椭圆是唯一存在的，为了运算方便，可设其方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)，而不必考虑焦点的位置，直接求得椭圆的方程；题（2）中椭圆变形为，其焦点坐标为，，所设的方程是具有共同焦点的，的椭圆系方程。遇到与本题类似的问题，我们可以采用类似的方法来求解椭圆的方程。另外本题还可以设方程，等解决。一般说来，与椭圆具有相同焦点的椭圆方程可设为，其中。本题实质上运用的也是待定系数法。
⒌解：（Ⅰ）设P（x，y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦距，长半轴为2的椭圆.它的短半轴 故曲线C的方程为
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得—3=0，
故
若即
则
化简得所以
【点评】本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程与直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.
提高型题组
6、［解］如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。 设M为的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知，，
M
B
O
E
y
D
A
C
x
于是==.
根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆.
26，，又，，，故所求的椭圆方程为.
【点评】有一定长线段BC，两边上的中线长也均与定点B、C和的重心有关，因此需考虑以BC的中点为坐标原点建立直角坐标系，但需注意点A不能在BC的所在的直线上。在求点的轨迹时，要特点注意所求点轨迹的几何意义，在本题中，所求的椭圆方程为，应考虑若时，A、B、C三点在同一条直线上，不可能构成三角形，所以应将去掉。另外，平面内一动点与两定点F1，F2的距离之和为常数2a，当2a＞| F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当2a=| F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<| F1F2|时，动点的轨迹不存在。
7、解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，
椭圆的标准方程为
（2）设
联立 得，则

又
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即

解得：，且均满足
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点
所以，直线过定点，定点坐标为
【点评】本小题主要考查椭圆的定义、标准方程与直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。
课堂小结
1．本部分的重点是掌握椭圆的定义，离心率与a,b,c之间的关系和椭圆方程的求法，定义和性质的应用是椭圆知识的重点。突破重点的关键，一是要掌握好定义的几何条件，即椭圆＝是常数；二是要熟练掌握椭圆标准方程的求法与其特点，运用定义时要注意隐含条件，明确离心率确定椭圆的形状。
2．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点（顶点、焦点、中心）、准线、对称轴与其它特性的讨论从整体上把握椭圆的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质。因此在复习中就注意图形与性质对照，方程与性质对照来理解，只有通过数形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质。由椭圆的定义得到椭圆上任意一点到焦点的距离（即焦半径）公式（或）在解题中有着重要的作用。
3．涉与到直线与椭圆的位置关系问题时，可以通过讨论椭圆方程与直线方程组的实数解的个数来确定，通常来说消元后得到一个关于x或y的一元二次方程，要注意判别式与韦达定理的运用，特别是方程思想、整体思想在解题过程中的应用。
4．求椭圆标准方程的常用方法是待定系数法和轨迹方程法。直线与椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程则由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中的重要方法之一。另外，利用直线、弦长、圆锥曲线三者间的关系组成各类试题是解析几何中长盛不衰的主题。
反馈型题组
8、B
9、D
10、A
11．h1cotθ1+ h2cotθ2≤2a．
12、．不妨设2c＝AB＝4，AC＝3，则CB＝5，由椭圆定义可得2a＝AC＋CB＝8，于是

13、解：（1）若为等腰直角三角形，
所以有OA=OF2，即b=c
所以
（2）由题知，
由
代入，
解得 ，所以椭圆方程为
14、解：（1）由题意，知
设椭圆的左焦点为F1，则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a，同时|P2F|+|P3F|=2a而|P3F|=a
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=5

（2）由题意，F（1，0），设l的方程为
整理，得
因为l过椭圆的右焦点，

设，
则

令
由于

§9.2 双曲线
再现型题组
⒈ 【提示或答案】D
　 【基础知识聚焦】本小题考查双曲线的标准方程与焦距的概念。
⒉ 【提示或答案】
　 【基础知识聚焦】本小题考查圆的一般方程和双曲线的标准方程，解题时一定要抓住题设所给出的条件建立之间的等量关系，再利用运用方程的思想来求解，从而得到的值.
巩固型题组
⒊【解法一】
［解］：由椭圆，得其焦点为或，双曲线的焦点在轴上，设所求的双曲线方程为(). 由已知得双曲线两焦点分别为，且与椭圆相交其中一个交点的纵坐标为4，设交点坐标为，从而得，解得，
则
解得，由于，得，因此方程即为所求.
【解法二】
［解］：由题意设双曲线方程为，将A()代入求得，故所求双曲线方程为.
【点评】由于椭圆的焦点坐标为，解法一利用双曲线与椭圆具有相同的焦点，知双曲线的焦点也为，从而知所设双曲线的形式应为；围绕定义产生的问题，要注意的三个量之间的关系；解法二利用双曲线与椭圆具有相同的焦点直接设出双曲线的方程；本题抓住“交点”在双曲线上，必须满足定义，从而应用定义求出双曲线方程中的基本量。利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给出的独立条件建立之间的等量关系，再利用运用方程的思想来求解，从而得到的值。但需注意首先应判断焦点的位置，以便于采用哪种形式的方程。
【变式与拓展】
根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；
（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.
解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，由题意得
解得a2=，b2=4.所以双曲线的方程为－=1.
（2）设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），∴－=1.
又∵a2+b2=，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝（≠0），
将点（－3，2）代入得＝，所以双曲线方程为－＝.
（2）设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
⒋［解］：（Ⅰ）将直线
……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得
……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.
则由FA⊥FB得：

整理得……③
把②式与代入③式化简得

【点评】判断直线与双曲线的位置关系可通常将直线的方程不同时为代入双曲线的方程，消去(也可以消去)得到一个关于变量(或)的一元方程，即消去后得，
(1)当时，则有，直线与双曲线相交；，直线与曲线相切；，直线与曲线相离；
(2)当时，即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行的.

提高型题组
5、解：（1） 离心率为，设所求双曲线方程为
将代入，得，双曲线方程是．
（2）【解法一】易知，，所以，
所以。＝
因为点（3，m）在双曲线上，所以9－＝6，＝3
故。＝－1， ，
【解法二】

M点在双曲线上,即，
（3）的底=4,其高为h＝＝
所以=6
【点评】双曲线的标准方程和几何性质涉与到很多基本量，如“”等，树立基本量的思想对确定曲线方程和认识其几何性质有很大帮助，另外渐近线是双曲线特有的，双曲线－=1的渐近线可记为－=0，同时以－=0为渐近线的双曲线方程可设为－=（），特别等轴双曲线可设为；另外垂直关系证明可以通过来证明，也可以通过来证明，它体现了证明解析几何问题的多样性.
课堂小结
本节的关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想与等价转化的思想.为此在复习中注意以下几点：
1.双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c.易见c2=a2+b2，若记∠AOB=θ，则e==.

2.双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：
（1）距离之差的绝对值.
（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
3.参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程.
4.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是±=0，则可把双曲线方程表示为－=（≠0