九年级数学下册相似三角形的性质及应用学生版知识点典型例题.doc

九年级数学下册相似三角形的性质及应用学生版知识点典型例题
相似三角形的性质及应用
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3. 相似三角形周长的比等于相似比
∽，则
由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽，则分别作出及的高和，则

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
要点二、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高及影长的比例相等”的原理解决.
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段、、的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出的长.
2．如乙图所示，可先测、及的长，再根据相似三角形的性质计算的长.

要点诠释：　
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线及水平方向的夹角．

【典型例题】
类型一、相似三角形的性质
1. △∽△，若△的边长分别为5、6、7，而4是△中一边的长度，你能求出△的另外两边的长度吗？试说明理由.

2.如图所示，已知△中，是高，矩形内接于△中，且长边在上，矩形相邻两边的比为1：2，若30，10.求矩形的面积.

举一反三
1、 如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.

2、 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图及乙地图的相似比和面积比.

3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A及点B重合，折痕为，则S△：S△等于（ ）
　　A. 2：5　　　 B．14:25　　　 C．16:25　　　 D. 4:21

4、在锐角△中，分别为边上的高，△和△的面积分别等于18和2，2,求边上的高.

5、已知：如图，在△及△中，∥，及相交于E点，
且︰1︰2，∥交于F点，△的面积为1，求△和△的面积．

6、 如图，已知中，，，，，点在上(及点不重合)，点在上.
(1)当的面积及四边形的面积相等时，求的长.
　　(2)当的周长及四边形的周长相等时，求的长.

类型二、相似三角形的应用
3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？

4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好及塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△及△是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．

举一反三
1、小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？

2、在斜坡的顶部有一铁塔，B是的中点，是水平的，在阳光的照射下，塔影留在坡面上。已知铁塔底座宽12m，塔影长18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高为（ ）
A.24m B.22m C.20m D.18m

3、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区.亮区一边到窗下的墙脚距离1.2m，窗口高1.8m，求窗口底边离地面的高度.

【巩固练习一】
一、选择题
1．如图1所示，△中∥，若∶＝1∶2，则下列结论中正确的是( )
　　A．　　　　　　　　　 B．
　　C．　　　　　D．

（图1） （图2）
2. 如图2, 在△中, D、E两点分别在、边上, ∥. 若 = 2:1, 则S△ : S△为 ( )　
A. 9:4 　　　B. 4:9 　　　C. 1:4 　　　D. 3:2 
3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）．
A．24米　 B．54米 　　C．24米或54米 　D．36米或54米
4. 图为△及△重叠的情形，其中E在上，交于F点，且 .若△及△的面积相等，且9，12，则( )
 A．3 　　　B．7 　　　C．12 　　　D．15 

5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知⊥，⊥，且测得1.2米，1.8米，12米， 那么该古城墙的高度是（ ）
　 A．6米 　　 B．8米 　 　 C．18米 　 　D．24米
6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（　　）倍.
　A.2　　 B.4　 　 C.2　 　D.64
二、填空题
7. 如图所示，为了测量一棵树的高度，测量者在D点立一高＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C及树顶A在同一条直线上，如果测得＝20m，＝4m，＝1.8m，则树的高度为．

8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为. 
9．如图，小明为了测量一座楼的高，在离点N为20m的A处放了一个平面镜，小明沿后退到点C，正好从镜中看到楼顶M，若＝1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度是.（精确到0.1m）

10. 梯形中，∥，交于点,若=4， =9，.
11.如图，在平行四边形中，点E为上一点，2:3，连接,且交于点F，则.

12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的倍.
三、解答题
13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？

14. 如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为，，并且∥，建筑物的一端所在的直线⊥于点M，交于点N，小亮从胜利街的A处，沿着方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮．
（1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）．
（2）已知：30m，12m，36m．求（1）中的点C到胜利街口的距离．

15. 在正方形中，是上一动点，(及不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.
(1)找出及相似的三角形.
(2)当位于的中点时，及相似的三角形周长为，则的周长为多少？

【巩固练习二】
一、选择题
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个及它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个　 B．可以有2个 　　C．有2个以上，但有限　　　 D．有无数个
2. 若平行四边形中，＝10，＝6，E是的中点，在上取一点F，使△∽△，则的长为（ ）．
A．1.8 　　　B．5 　　　C．6或4 　　　D．8或2
3. 如图，已知D、E分别是的、 边上的点，且 那么等于（ ）
A．1：9 　　　B．1：3 　　　C．1：8 　　　D．1：2

4．如图G是△的重心，直线过A点及平行.若直线分别及、交于D、E两点，直线及交于 F点，则△的面积 ：四边形的面积=( ) 
　　A．1：2 　　　B．2：1 　　　C．2：3 　　　D．3：2

5. 如图，将△的高四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（　　）
A.1︰2︰3︰4　 B.2︰3︰4︰5 　 C.1︰3︰5︰7 　 D.3︰5︰7︰9

6．.如图，在□中，E为上一点，：2：3，连结、、，且、交于点F，则
　　S△：S△：S△等于( )
A.4：10：25　　　 B.4：9：25　 　　C.2：3：5　 　　D.2：5：25

二、填空题
7.如图，梯形中，∥、相交于点E，.

8.如图，△中，点D在边上，满足∠∠,若2，1，则.

9.如图，在△中，M、N是上两点，且△是等边三角形，△∽△，则∠的度数是
.

10.如图，△中，∥交于点F，且=3，则：.

11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是

12.如图，锐角△中，分别为边上的高，△和△的面积分别等于18和2，2，
则边上的高为.

三、解答题
13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿的长为0.8米，其影长1米，树影长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？

14. （1）阅读下列材料，补全证明过程：
　　已知：如图，矩形中，、相交于点O，⊥于E，连结交于点F，作⊥于G．求证：点G是线段的一个三等分点．

　　证明：在矩形中，⊥，⊥，
　　　　　∴　∥．∵　＝，∴　＝＝．∴　＝．
　　　　　……

（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．　

15. 已知如图，在矩形中，12，6，点E自A点出发，以每秒1的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t为多少时，2；
（2）四边形的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否及△相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．

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