北京2013届高三数学文试题分类汇编专题7：立体几何.docx

【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题7：立体几何
一、选择题
．（2013届北京市延庆县一模数学文）一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是
（7题图）
（　　）
A． B． C． D．
．（2013届北京东城区一模数学文科）已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm), 那么这个几何体的侧面积是 （　　）
A． B．
C． D．

．（2013届北京丰台区一模文科）某四面体三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是 （　　）
A．2 B．4 C． D．

．（2013届北京门头沟区一模文科数学）如图所示,为一几何体的三视图,则该几何体的体积是 （　　）
A． B． C． D．
主视图
左视图
俯视图
1
1

．（2013届北京大兴区一模文科）已知平面,直线,下列命题中不正确的是 （　　）
A．若,,则∥
B．若∥,,则
C．若∥,,则∥
D．若,,则.
．（2013届北京西城区一模文科）某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为的正方形,该正三棱柱的表面积是 （　　）
A． B． C． D．

．（2013届北京西城区一模文科）如图,正方体中,是棱的中点,动点在底面内,且,则点运动形成的图形是 （　　）
A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分

．（2013届房山区一模文科数学）某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是 （　　）
A． B． C． D．

．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）若一个直六棱柱的三视图如图所示,则这个直六棱柱的体积为
（　　）
A． B． C． D．
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是 （　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则⊥ D．若，则
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 （　　）
A． B． C． D．

．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为 （　　）
A． B． C． D．
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为

1

正视图
正视图
俯视图
（　　）
A． B． C． D．
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在棱长为的正方体中，，分别为线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是 （　　）
A． B． C． D．
．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是 （　　）
A． B． C．4 D．8

．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面则线段长度的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．

．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是
（　　）
A． B． C．8 D．4
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） （　　）
A． B． C． D．
．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题
．（2013届北京海滨一模文）某几何体的三视图如图所示,则它的体积为______.
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为______.
三、解答题
．（2013届北京市延庆县一模数学文）如图,四棱锥的底面为菱形,,底面,,为的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)在侧棱上是否存在一点,满足平面,若存在,求的长;若不存在,说明理由.

．（2013届北京东城区一模数学文科）如图,已知平面,平面,为的中点,若
.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面平面.

A
B
C
D
E
F

．（2013届北京丰台区一模文科）如图,四棱锥P-ABCD中, BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:AC⊥PD;
(Ⅱ)在线段PA上,是否存在点E,使BE∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

．（2013届北京海滨一模文）在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,,点在线段上,且.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)设平面平面=,试问直线是否与直线平行,请说明理由.

．（2013届北京门头沟区一模文科数学）如图,已知平面,,且是垂足.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若,试判断平面与平面是否垂直,并证明你的结论.
A
P
C
D
B

．（2013届北京大兴区一模文科）如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,是等边三角形,D是BC的中点.
(Ⅰ)求证:直线A1D⊥B1C1;
(Ⅱ)判断A1B与平面ADC1的位置关系,并证明你的结论.

．（2013届北京西城区一模文科）在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,//,,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求四面体的体积;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使//平面?证明你的结论.

．（2013届房山区一模文科数学）在四棱锥中,底面为直角梯形,//,,,,
为的中点.
(Ⅰ)求证:PA//平面BEF; (Ⅱ)求证:.

．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）如图,四边形为矩形,平面,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)设是线段的中点,试在线段上确定一点,使得平面.

．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题） 如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）求证： 平面；
A
B
C
D
E
图1
图2
A1
B
C
D
E
（Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．

．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在长方体中，，是棱上的一点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若是棱的中点，在棱上是否存在点，使得∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
A1
B1
C
B
D1
C1
A
D
E

．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）如图，在菱形中， ⊥平面，且四边形是平行四边形．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）当点在的什么位置时，使得平面，并加以证明.
A
B
C
D
E
N
M

．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点.
(Ⅰ)求证：MN平面 BCC1B1;
(Ⅱ)求证：平面A1BC平面A1ABB1．

．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，在直三棱柱中，，，且是中点.
（I）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面.

．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分别为CC1，AB的中点，求证：CN //平面AB1M．

．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）如图，直三棱柱中，，，，分别
为，的中点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）求证：// 平面；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．

．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））（本小题满分14分）在长方体中，， 为棱上一点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题7：立体几何参考答案
一、选择题
D
C
C
D
C
C;
B.
C
A
【答案】C
解：C中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。
【答案】B
解：由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.
【答案】A
解：
根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥
其中ABCD是直角梯形，AB⊥AD， AB=AD=2，BC=4，即PA⊥平面ABCD，PA=2。且底面梯形的面积为，所以.选A.
【答案】C
解：由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.
【答案】A
解：过做底面于O,连结, 则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.

【答案】A
解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以，选A.
【答案】B
解：取的中点M,的中点N,连结，可以证明平面平面，所以点P 位于线段上，把三角形拿到平面上，则有,所以当点P位于时，最大，当P位于中点O时，最小，此时，所以，即，所以线段长度的取值范围是，选B.
【答案】D
解：由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为，选D.
【答案】C
解：由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中,所以四棱锥的体积为，选C.
答案D由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为，两底面积为，所以表面积为，选D.
二、填空题

【答案】
解：由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，所以该几何体的体积为。
【答案】
解：取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。
三、解答题
(Ⅰ)证明:设、相交于点,连结,
底面为菱形,为的中点,
又为的中点,
又平面,平面,

平面
(Ⅱ)解:因为底面为菱形,,所以是边长为正三角形,
又因为底面,所以为三棱锥的高,

(Ⅲ)解:因为底面,所以,
又底面为菱形,,
,平面,平面,
平面,
在内,易求,,
在平面内,作,垂足为,
设,则有,解得
连结,,,,平面,
平面,平面.
所以满足条件的点存在,此时的长为
A
B
C
D
E
F
G
(共14分)
证明:(Ⅰ)取的中点,连结,.
因为是的中点,
则为△的中位线.
所以,.
因为平面,平面,
所以.
又因为,
所以.
所以四边形为平行四边形.
所以.
因为平面,平面,
所以平面.
(Ⅱ)因为,为的中点,
所以.
因为,平面,
所以平面.
又平面,
所以.
因为,
所以平面.
因为,
所以平面.
又平面,
所以平面平面.
如图,四棱锥P-ABCD中, BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:AC⊥PD;
(Ⅱ)在线段PA上,是否存在点E,使BE∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD, AC⊥CD , AC⊂平面ABCD ,
∴AC⊥平面PCD,
∵PD⊂平面PCD ,
∴AC⊥PD
(Ⅱ)线段PA上,存在点E,使BE∥平面PCD,
∵AD=3,
∴在△PAD中,存在EF//AD(E,F分别在AP,PD上),且使EF=1,
又∵ BC∥AD,∴BC∥EF,且BC=EF,
∴四边形BCFE是平行四边形,
∴BE//CF, ,
∴BE∥平面PCD,
∵EF =1,AD=3,
∴
解:(I)证明:(I) 因为是正三角形,是中点,
所以,即
又因为,平面,
又,所以平面
又平面,所以
(Ⅱ)在正三角形中,
在,因为为中点,,所以
,所以,,所以
所以,所以
又平面,平面,所 以平面
(Ⅲ)假设直线,因为平面,平面,
所以平面
又平面,平面平面,所以
这与与不平行,矛盾
所以直线与直线不平行

(Ⅰ)证明:因为,所以.
同理.
又,故平面
(Ⅱ)平面与平面垂直
证明:设与平面的交点为,连结、.
因为,所以,
在中,,
所以,即
在平面四边形中,,所以
又,所以,
所以平面平面

解: (Ⅰ)在直三棱柱中,,所以,
在等边中,D是BC中点,所以
因为 在平面中,,所以
又因为,所以,
在直三棱柱中,四边形是平行四边形,所以
所以,
(Ⅱ) 在直三棱柱中,四边形是平行四边形,
在平行四边形中联结,交于点O,联结DO.
故O为中点.
在三角形中,D 为BC中点,O为中点,故.
因为,所以,
故,平行
(Ⅰ)证明:在△中,
因为 ,,,
所以
又因为 ,
所以 平面
(Ⅱ)解:因为平面,所以.
因为,所以平面
在等腰梯形中可得 ,所以.
所以△的面积为
所以四面体的体积为:
(Ⅲ)解:线段上存在点,且为中点时,有// 平面,证明如下:
连结,与交于点,连接.
因为 为正方形,所以为中点
所以 //
因为 平面,平面,
所以 //平面.
所以线段上存在点,使得//平面成立

(Ⅰ)证明:连接AC交BE于O,并连接EC,FO
// ,, 为中点
AE//BC,且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形
O为AC中点 又 F为AD中点 //
//

(Ⅱ)连接

......12 分
.14 分
(共13分)
证明:(Ⅰ)∵,
∴,
∴
∵平面,
∴,又,
∴,
又,
∴平面,
∴
(Ⅱ)设的中点为,的中点为,连接,
又是的中点,
∴,.
∵平面,平面,
∴平面
同理可证平面,
又,
∴平面平面,
∴平面
所以,当为中点时,平面
（Ⅰ）证明：
…………………………4分
（Ⅱ）证明： 在△中，
.又.
由
. …………………………9分
（Ⅲ）设则
由（Ⅱ）知，△，△均为直角三角形．

………………12分
当时, 的最小值是．
即当为中点时, 的长度最小,最小值为．…………………14分
解：（I）连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点，
所以∥………………….2分
又
所以∥平面………….4分
(II) 证明：由
所以
由是正方形可知,
又
所以………………………………..8分
又
所以…………………………………………..9分
(III) 在线段上存在点，使. 理由如下：
如图，取中点，连接.
在四棱锥中，，
所以.…………………………………………………………………..11分
由（II）可知，而
所以，
因为
所以…………………………………………………………. 13分
故在线段上存在点，使.
由为中点，得…………………………………………… 14分
解：（Ⅰ）在长方体中，
因为面，
所以． ………………………………………………………………2分
在矩形中，因为，所以．……………………4分
所以面. ………………………………………………………5分
（Ⅱ）因为，所以面，
由（Ⅰ）可知，面， …………………………………………7分
所以． …………………………………………………………………8分
（Ⅲ）当点是棱的中点时，有∥平面． ………………………9分
理由如下：
在上取中点，连接．
A1
B1
C
B
D1
C1
A
D
E
P
M
因为是棱的中点，是的中点，
所以∥，且．……10分
又∥，且．
所以∥，且，
所以四边形是平行四边形，
所以∥．…………………………11分
又面，面，
所以∥平面． …………………………………………………………13分
此时，． …………………………………………………………14分
解：（Ⅰ）连结，则.
由已知平面，
因为，
所以平面.
又因为平面，
所以. ………………………………………………6分
A
B
C
D
E
N
M
F
（Ⅱ）当为的中点时，有平面.……7分
与交于，连结.
由已知可得四边形是平行四边形，
是的中点，
因为是的中点，
所以.……………………10分
又平面，
平面，
所以平面.……………………13分
解：(Ⅰ)连结BC1
∵点M , N分别为A1C1与A1B的中点，
∴∥BC1．........................................................4分
∵，
∴MN∥平面BCC1B1．.................................... ....6分
(Ⅱ)∵，
平面，
∴．...................................................................................................... 9分
又∵ABBC，
，
∴．....................................................................................... 12分
∵，
∴平面A1BC平面A1ABB1．............................................................................... 13分
解：(I) 连接交于点，连接
因为为正方形，所以为中点
又为中点，所以为的中位线，
所以 ………………3分
又平面，平面
所以平面 ………………6分
(Ⅱ)因为，又为中点，所以 ………………8分
又因为在直三棱柱中，底面，
又底面, 所以,
又因为，所以平面，
又平面，所以 ………………10分
在矩形中, ,所以，
所以，即 ………………12分
又，所以平面 ………………14分
证明：（Ⅰ）因为　三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，
所以　CC1⊥BC． …………………………………………1分
因为　AC=BC=2，，
所以　由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． ……………………………2分
又因为AC∩CC1=C，
所以　BC⊥平面ACC1A1． ……………………4分
因为　AM平面ACC1A1，
所以　BC⊥AM． ……………………6分
（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP ，则NP∥CC1． ………………8分
因为　M,N分别为CC1, AB中点，
所以　，． …………9分
因为　BB1=CC1，
所以　NP=CM． ……………………10分
所以　四边形MCNP是平行四边形．…………11分
所以　CN//MP． ……………………12分
因为　CN平面AB1M，MP平面AB1M， 　 ……………………13分
所以　CN //平面AB1 M．　　　　 ……………………14分
（Ⅰ）证明：连接．
因为 是直三棱柱，
所以 平面， ………………1分
所以 ． ………………2分
因为 ， 所以 平面． ………………3分
因为 ，，
所以 ． ………………4分
（Ⅱ）证明：取中点，连接，． ………………5分
在△中，因为 为中点，所以，．
在矩形中，因为 为中点，所以，．
所以 ，．
所以 四边形为平行四边形，所以 ． ………………7分
因为 平面，平面， ………………8分
所以 // 平面． ………………9分
（Ⅲ）解：线段上存在点，且为中点时，有平面． ………11分
证明如下：连接．
在正方形中易证 ．
又平面，所以 ，从而平面．…………12分
所以 ． ………………13分
同理可得 ，所以平面．
故线段上存在点，使得平面． ………………14分
（本小题满分14）
（Ⅰ）证明：连接
∵是长方体，
∴平面，………………1分
又平面
∴ ………………2分
在长方形中，
∴ ……………3分
又 ………………4分
∴平面，………………5分
而平面 ………………6分
∴ ………………7分
（Ⅱ）存在一点，使得∥平面，此时. ………………8分
当时，为中点
设交于点,则为中点
连接,在三角形中, ∥ ………………10分
平面,平面 ………………13分
∴∥平面 ………………14分

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