平方根和立方根经典讲义.doc

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平方根和立方根

中考要求

内容
基本要求
略高要求
较高要求
平方根、算术平方根
了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根
会用平方运算求某些非负数的平方根

立方根
了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根
会用立方根运算求某些数的立方根

实数
了解实数的概念
会进行简单的实数运算

知识点睛

实数可按下图进行详细分类：

实数与数轴上的点一一对应.

(以下概念均在实数域范围内讨论)
平方根的定义及表示方法：
如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．
也就是说，若，则就叫做的平方根．
一个非负数的平方根可用符号表示为“”．

算术平方根：
一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）
一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若，则.

平方根的计算：
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．
开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．

通过验算我们可以知道：
⑴ 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()．
⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
①若，则；②不管为何值，总有
注意二者之间的区别及联系．
⑶若一个非负数介于另外两个非负数、之间，即时，它的算术平方根也介于、 之间，即：利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．

立方根的定义及表示方法：
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根，
一个数的立方根可用符号表“”，其中“”叫做根指数，不能省略.
前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为.
读作“三次根号”，读作“二次根号”，读作“根号”.
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为.

立方根的计算：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．

通过归纳我们可以知道：
⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍．
⑵，
⑶若一个数介于另外两个数、之间，即，
它的立方根也介于和之间，即
利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．

重、难点

重点：平方根和立方根的基本概念，以及灵活应用
难点：平方根的性质

例题精讲

【例1】 判断下列各题，并说明理由
⑴的平方根是． ( )
⑵一定是正数． ( )
⑶的算术平方根是． ( )
⑷ 若，则. ( )
⑸. ( )
⑹ 是的平方根． ( )
⑺ 的平方根是． ( )
⑻ 若，则. ( )
⑼ 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( )
⑽ 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( )
⑾ 算术平方根一定是正数． ( )
⑿ 没有算术平方根． ( )
⒀ 的立方根是． ( )
⒁ 是的立方根． ( )
⒂ ． ( )
⒃ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ( )
⒄ 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( )

【例2】 ⑴ 若，则 ；若，则 .
⑵ 若，则的平方根是 ；若，则 .
⑶ 若，则 ；若，则 .
⑷ 当，的算术平方根是 .
⑸ 算术平方根是，则 .
⑹ 若一个自然数的一个平方根是，那么比它大的自然数的平方根是 .
⑺ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .

【例3】 计算下列各题
⑴； ⑵
⑶； 　　⑷

【例4】 已知某正数的两个平方根是与，求这个正数．

【例5】 已知，，求的值(为正整数).

【例6】 求的平方根.

【例7】 (人大附单元测试)已知为实数，且满足，求的值.

课堂作业

【练习1】若，，求所有可能值．

【练习2】一个数的平方根是和，求这个数．

【练习3】(101数学实验班单元练习)
已知的平方根是，的立方根是，求的平方根．

【练习4】(2007年成都)已知，那么的值为 .

【练习5】，求，的值.

【练习6】若、为实数，且，
求的值.

家庭作业

1． ⑴ (安顺市中考题)
的平方根是 ；的平方根是 ；的平方根是 .
⑵ (威海中考题)的相反数是 ；的立方根是 .
⑶ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根
等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .
⑷ (江西省中考题)已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
⑸ (上海市中考题)方程的根是 .
⑹若，则 _____.
2． 若一正数的平方根是与，求这个正数．

3． 已知的负的平方根是，的立方根是，求的平方根.

4． 是的算术平方根，是的立方根，求的立方根.

5． 已知：．求：的立方根．

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