排列组合1.doc

做得更准，写得更快，知之更高，方法更多，工整有序，学中生趣，是之数学之思也！
专题二十三 排列组合
知识概要
P-Probability 排列 C-Combination 组合
排列公式是指，从n个元素取m个进行排列(即有次序排序)。组合公式是指，从n个元素取m个，不进行排列（即无次序分别，不排序）。 C—组合数； P—排列数；
n—元素的总个数；m—参与选择的元素个数；!—阶乘 ，如5！=5×4×3×2×1=120 ;3!=3×2×1=6。
=n×(n-1)×(n-2)×…×(n－m＋1)
=÷m!
排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。
排列组合解题策略
排列组合问题的一般解题规律: 1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”。要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”（加法原理），需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”（乘法原理）；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。3）复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。 4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。 5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
一．相临问题——捆绑法。例，7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有2种。
二．不相临问题——选空插入法例，7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为5种。
三．复杂问题——总体排除法。在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例，正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3个。
四．特殊元素——优先考虑法。对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例， 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，所以共有3种不同的排法.
五、多元问题——分类讨论法，对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例，某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么有多少种不同插法。解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有种；2.相临：共有×种。故不同插法的种数为：＋×种。
六．混合问题——先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．例，从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）。解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: 种,不同的排法有: ×,故不同的种植方法共有××种。
总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。
基本训练
一．计算
= =
= =
= =
－= 2＋3= ÷= ×=
= =
= =
= =
－= 2＋3= ÷= ×=
二．填空
1．完成一项任务有两类不同的方法，在第一类方法中有4种方法完成，在第二类方法中有5种方法完成，那么完成这项任务，共有（ ）种方法。
2．在书架上有4本不同的科技书，5本不同的故事书，3本不同的连环画，如果从中任取1本（ ）种不同的拿法；任取两本有（ ）种不同的拿法。
3．直线上有4个点，以每两点为端点的线段有（ ）条。
4．两次投掷一枚色子，两次出现的数字之和为偶数的情况有（ ）种。
5．某人到食堂去买饭，主食有四种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有（ ）种不同的买法。
6．用0，l，2，3这四个数，可以组成（ ）个没有重复数字的四位数。
7．学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本。那么，小明借一本书可以有（ ）种不同的选法。
8．如下图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走。那么，从甲地到丙地共有（ ）种走法。

乙

甲 丙

9．从1到500的所有自然数中，不含有数字5的自然数有（ ）个。
10．如下图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有（ ）种走法。
甲 乙

丁 丙

11．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有（ ）种不同的拿法。
12．在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出（ ）条直线。（ ）个三角形。（ ）个四边形。

13．右图中有（ ）个锐角。

提高训练
1．某铁路局共有20个客车站，这条铁路共需要（ ）种不同的票价；这条铁路共需要（ ）种不同的车票。
2．如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有（ ）（ ）种走法。
B B

A A
3．在1~~1000的自然数中，一共有（ ）个数字0。
4．在1~~500的自然数中，不含数字0和1的数有（ ）个。
5．书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有（ ）种不同的取法。
6．由数字3、4、5、6、7、8共可组成（ ）个没有重复数字的四位奇数。
7．从分别写有2、4、6、8的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法。如果其中的“6”可以看做“9”，那么共有（ ）种不同的乘积。
8．从分别写有3、4、5、6、7、8的六张卡片中任取三张，做三个一位数的乘法。如果其中的“6”不能看做9，那么共有（ ）种不同的乘积。
9．有数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个：
①三位数？（ ）
②三位偶数？（ ）
③没有重复数字的三位偶数？（ ）
④百位为8的没有重复数字的三位数？（ ）
⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？（ ）
10．有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队，各组先进行单循环赛（即每队都要与其他各队赛一场），然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军。问：共需要（ ）场比赛。
11．一个口袋中有4个球，另一个口袋中有6个球，这些球颜色各不相同。从两个口袋中各取2个球，共有（ ）种不同的结果。
12．10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有（ ）种不同的选法。
13．10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两个人相邻，共有（ ）种不同选法。
14．直线a，b上分别有4个点和5个点（如下图），以这些点为顶点，可以画出（ ）个三角形；（ ）个四边形。

15．三条平行线上分别有2、4、3个点（右图），已知在不同直线上的任意三个点都不共线。问：以这些点为顶点可以画出（ ）个不同的三角形。
16．4个人站成一排合影留念，有（ ）种不同的排法。
拓展训练
1．王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛。问报名的结果会出现（ ）种不同的情形。
2．在前100个自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有（ ）种不同的取法。
3．张华、李明等七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法：
（1） 七个人排成一排；
（2） 七个人排成一排，张华必须站在中间；
（3） 七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间；
（4） 七个人排成一排，张华、李明必须站在两边；
（5） 七个人排成一排，张华、李明都没站在边上；
（6） 七个人排成两排，前排三人，后排四人；
（7） 七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华、李明不在同一排。
4．甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。问：
（1） 甲拿到自己作业本的拿法有多少种？
（2） 恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？
（3） 至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？
（4）谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？
5．从15名同学中选5名参加数学竞赛，分别满足下列条件的选法各有多少种？
（1） 某两人必须入选；（ ）
（2） 某两人中至少有一人入选；（ ）
（3） 某三人中入选一人；（ ）
（4） 某三人不能同时都入选。（ ）
6．学校乒乓球队有10名男生，8名女生，现在要选8人参加区里的比赛，在下列条件下，分别有多少种选法？
（1） 恰有3名女生入选；（ ）
（2） 至少有两名女生入选；（ ）
（3） 某两名女生、某两名男生必须入选；（ ）
（4） 某两名女生、某两名男生不能同时都入选；（ ）
（5） 某两名女生、某两名男生最多入选两人。（ ）
7．学校合唱团要从五年级6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有（ ）种不同的抽调方法。
8．将三个同样的红球和四个同样的白球拍成一排，要求三个红球互不相邻，共有多少种不同的排法？
9．某沿海城市管辖7个县如下示意图，这7个县的位置如下图。现用红、绿、蓝、黑、紫五种颜色给下图染色，要求任意相邻的两个县图不同颜色，共有（ ）不同的染色方法。

10．4男2女6个人站成一排合影留念，要求两个女的紧挨着排在中间，有（ ）种不同的排法。
11．小名的两个衣服口袋里有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3……，13如果从这两个口袋中各拿出一张来计算它们所写两位数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被六整除的乘积共有（ ）个。
12．用0、1、2、3、7、8六个数字可以组成（ ）个能被9整除的没有重复数字的四位数。
13．这是4×5格一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上，问有（ ）种不同的放法。

14．甲乙丙丁四个同学排成一排，从左往有右数如果甲不排在第一，乙不排在第二，丙不排在第三，丁不排在第四，那么不同的排法有（ ）种。
15．用一台天平和重1、3、9克的砝码各一个，可称出（ ）种不同的重量。
16．如图，正方形ACEG的边界上共有7个点A、B、C、D、E、F、G，其中B、D、F分别在AC、CE、EG上，以这七个点的4个顶点组成的不同的四边形有（ ）个。

17．有四张卡片分别写着3、5、9、8它们可以组成（ ）个不同的四位数。
18．有四张3分邮票与三张5分邮票，用这些邮票中的一张或若干张能得出（ ）种不同的邮资。
19．甲乙丙三个组，甲组有6人，乙组有5人，丙组4人，现每组各选一人一起参加会议，一共有多少种选法；如果三组共同推选一个代表，有（ ）种选法。
20．分母是39的最简真分数有（ ）个。
21．分母是1001的最简真分数有（ ）个。
计算训练
50+50÷5= 120÷6—6= 40+6×5= 18×2+20=
48÷8—4= 150—50÷5= 36×2÷8= 20×5÷25=
95+10÷5= 50÷2÷5= 90÷10+10= 80—20×4=
60+50÷5= 450—150÷3= 42÷14+6= 33×3—3=
750÷3+7= 26×4÷8= 6×994+36= 96+188×8=
945×8+55×9= 180+98×90= 16+9876×9= 34×5×7=
18×5×4= 34×5×7= 84×2×7= 56×2×15=
95×2×5= 26×5×6= 32×3×4= 48×6×20=
38×4×9= 45×5×4= 76×4×2= 65×6×11=
50×4×6= 36×8×9= 74×8×11 37×6×30=
综合训练
一、填空题
1．用简便方法计算下列各题：

（2）1997×19961996-1996×19971997=______；
（3）100+99-98-97+…+4+3-2-1=______．
2．右面算式中A代表______，B代表______，C代表______，D代表______（A、B、C、D各代表一个数字，且互不相同）．

3．今年弟弟6岁，哥哥15岁，当两人的年龄和为65时，弟弟______岁．
4．在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗______面，黄旗______面．
5．在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有______个零．
6．如图中，能看到的方砖有______块，看不到的方砖有______块．

7．右图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为______平方厘米．

8．在已考的4次考试中，张明的平均成绩为90分（每次考试的满分是100分），为了使平均成绩尽快达到95分以上，他至少还要连考______次满分．
9．现有一叠纸币，分别是贰元和伍元的纸币．把它分成钱数相等的两堆．第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等；第二堆中伍元与贰元的钱数相等．则这叠纸币至少有______元．
10．甲、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行．甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米．与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了______千米．
二、解答题
1．右图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸
（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？
（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由．
2． 将1～3000的整数按照下表的方式排列．用一长方形框出九个数，要使九个数的和等于（1）1997（2）2160（3）2142能否办到？若办不到，简单说明理由．若办得到，写出正方框里的最大数和最小数．
3．甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？
4．有四条弧线都是半径为3厘米的圆的一部分，它们成一个花瓶（如图）．请你把这个花瓶切成几块，再重新组成一个正方形，并求这个正方形的面积．
参考答案
基本训练
一．120、120、9900、24、30240、2730、3360、60498、20、12、5、20、4950、1、252、455、140、507、1、8；
二．1．9；2．12、66；3．6；4．12；5．20；6．18；7．450；8．11；9．404；10．17；11．91；12．45、120、210；13．21；
提高训练
1．190；2．6、10；3．192；4．264；5．24；6．180；7．9；8．18；9．512、256、168、42、18；10．42；11．90；12．35；13．27；14．60；15．79；16．24；
拓展训练
1．81；2．768；3．（1）（结果略）；（2）（结果略）；（3）（结果略）（结果略）；（4）（结果略）；（5）（结果略）；（6）（结果略）；（7）2880；4．（1）6；（2）8；（3）24；（4）9；5．（1）（结果略）；（2）（结果略）；
（3）（结果略）；（4）（结果略）；6．（1）（结果略）；（2）（结果略）；
（3）（结果略）；（4）（结果略）；（5）（结果略）；7．36；8．60；9．4860；10．48；11．23；12．42；13．240；14．9；15．13；16．（结果略）；17．24；18．19；19．15；20．24；21．720
综合训练
一．1．（1）24；（2）；0（3）100；2．1、0、9、8；3．28；4．50、150；5．24；6．36，55；7．25；8．5；9．28010．25
二．1．（1）在水中；（2）在岸上；2．1997不可能，2160不可能．2142能．3．0场；4．只切两刀、36cm2

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勤能补拙，练可达通，学而广博