9-6多元函数微分学的几何应用PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,四川大学数学学院,邓瑾,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,四川大学数学学院,邓瑾,9.6,多元函数微分学的几何应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,复习,:,平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,2,3,空间平面和直线的方程,已知平面上一点,和它的法向量,则该平面,的,方程为,则该直线方程为,已知直线上一点,和它的方向向量,4,一、一元向量值函数及其导数,空间曲线,的参数方程为,记,则,的参数方程可记为,定义,设,D,R,则称映射,f,:D,R,n,为一元向量值函数,记为,5,关于向量值函数的概念和性质,6,向量值函数的运算法则,7,导向量的几何意义,8,导向量的物理意义,表示质点的位移向量,表示质点的速度向量,表示质点的加速度向量,二、,空间曲线的切线与法平面,过点,M,与切线垂直的平面称为曲线在该点的,法,位置,.,空间光滑曲线在点,M,处的,切线,为此点处割线的极限,平面,.,9,1.,曲线方程为参数方程的情况,切线方程,10,切向量,此处要求,(,t,0,),(,t,0,),(,t,0,),不全为,0,如个别为,0,则理解为分子为,0.,也是法平面的法向量,因此得,法平面方程,解,点 对应的参数为,切线方程,法平面方程,11,(1).,空间曲线方程为,法平面方程为,2.,曲线为一般式的情况,12,2.,空间曲线方程为,当,曲线上一点,且有,时,可表示为,处的切向量为,13,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,14,也可表为,法平面方程,15,解法,1,直接利用公式,解法,2,将所给方程的两边对,x,求导并移项,得,16,所求切线方程为,法平面方程为,17,三、,曲面的切平面与法线,设,有,光滑曲面,通过其上定点,对应点,M,切线方程为,不全为,0.,则,在,且,点,M,的,切向量,为,任意,引一条光滑曲线,下面证明,:,此平面称为,在该点的,切平面,.,上过点,M,的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上,.,18,证,:,在,上,得,令,由于曲线,的任意性,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上,从而切平面存在,.,19,曲面,在点,M,的,法向量,法线方程,切平面方程,20,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面,的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,21,切平面上点的竖坐标的增量,全微分的几何意义,22,因为曲面 在,M,处的切平面方程为,法向量,用,将,法向量的,方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,23,例,3,.,求球面,在点,(1,2,3),处的切,平面及法线方程,.,解,:,所以球面在点,(1,2,3),处有,:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,24,解,切平面方程为,法线方程为,25,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,26,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程,(1),切平面方程,(2),27,例,.,确定正数,使曲面,在点,解,:,二曲面在,M,点的法向量分别为,二曲面在点,M,相切,故,又点,M,在球面上,于是有,相切,.,与球面,因此有,28,2.,空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1),参数式情况,.,切向量,内容小结,29,1.,向量值函数及其导数,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2),一般式情况,.,30,空间光滑曲面,曲面,在点,法线方程,1),隐式情况,.,的,法向量,切平面方程,3.,曲面的切平面与法线,31,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2),显式情况,.,法线的,方向余弦,法向量,32,1.,证明曲面,与定直线平行,证,:,曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(,定向量,),故结论成立,.,的所有切平面恒,备用题,33,2.,求曲线,在点,(1,1,1),的切线,解,:,点,(1,1,1),处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线,:,法平面,:,即,与法平面,.,34,思考与练习,1.,如果平面,与椭球面,相切,提示,:,设切点为,则,(,二法向量平行,),(,切点在平面上,),(,切点在椭球面上,),35,证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点,.,提示,:,在曲面上任意取一点,则通过此,2.,设,f,(,u,),可微,证明原点坐标满足上述方程,.,点的切平面为,36,例,1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程,.,切线方程,法平面方程,即,即,解,:,由于,对应的切向量为,在,故,37,