反证法典型例题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,韩城,象中,毋宁,选修,1-2,：,第三章 推理与证明,反证法典例,例,1.,已知：一个整数的平方能被,2,整除，,求证：这个数是偶数。,证明：,设整数,a,的平方能被,2,整除,.,假设,a,不是偶数，,则,a,是奇数，不妨设,a=2m+1(m,是整数,),a,2,=(2m+1),2,=4m,2,+4m+1=4m(m+1)+1,a,2,是奇数，与已知矛盾。,假设不成立，所以,a,是偶数。,例,2.,证明：如果,ab0,，那么,例,3.,已知,a0,，求证关于,x,的方程,ax=b,有且只有一个根。,P,已知：在,O,中,弦,AB,、,CD,相交于,P,，且,AB,、,CD,不全是直径,求证：,AB,、,CD,不能互相平分。,A,B,C,D,O,例,4.,求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分,.,例,5.,求证：是无理数,.,(4),结论为“唯一”类的命题。,正难则反,!,应用反证法的情形：,(1),直接证明困难,;,(2),需分成很多类进行讨论；,(3),结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”,这一类的命题；,例,6.,已知,a,+,b,+,c,0,ab,+,bc,+,ca,0,abc,0.,求证,:,a,b,c,0,证明,:,假设,c,0,ab,0,.,ab,+,bc,+,ca,=,ab,+(,a,+,b,),c,0.,矛盾,!,假设不成立,.,例,7.,已知,0,a,b,c,0,矛盾,!,假设不成立,.,所以,(1-,a,),b,(1-,b,),c,(1-,c,),a,不可能同时大于,1/4.,例,7.,已知,0,a,b,c,1,求证,:(1-,a,),b,(1-,b,),c,(1-,c,),a,不可能同时大于,1/4.,证明,:,假设,(1-,a,),b,(1-,b,),c,(1-,c,),a,同时大于,1/4.,则,(1)+(2)+(3),得,:,矛盾,!,假设不成立,.,原结论成立,.,例,8.,已知,:,f,(,x,)=,x,2,+,px,+,q.,求证,:|,f,(1)|,|,f,(2)|,|,f,(3)|,中至少有一个不小于,.,例,9.,已知,A,B,C,为三个正角,.,且,sin,2,A+sin,2,B+sin,2,C=1.,求证,:A+B+C90,0,.,解,:,假设,A+B+C 90,0,由于,A,B,C,为三个正角,所以它们都为锐角,且有,cos(A+B)cos(A-B).,1=sin,2,A+sin,2,B+sin,2,C=1-cos(A+B)cos(A-B),1-cos,2,(A-B)1.,矛盾,!,假设不成立,.,从而,A+B+C90,0,.,推理,合情推理 演绎推理,（归纳、类比）（三段论）,证明,直接证明 间接证明,（分析法、综合法）（反证法）,数学,公理化思想,