资源描述
正方形
一周强化
一、一周知识概述
、正方形的定义与性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．
从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形和菱形的所有性质．
正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．
、正方形的判定
从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．
从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．
、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．
二、重难点知识归纳
正方形的判定和性质的综合运用是重点．
几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点．
三、例题解析
、利用正方形对角线的性质解题
例、如图，在正方形中，点、在上，且．请猜测四边形的形状，并对你的猜测给出合理的说明．
解：
四边形为菱形．理由如下：
连结交于点．
∵四边形为正方形，
∴，，
又，∴．
∴四边形是平行四边形．又∵⊥
∴四边形为菱形
点拨：
正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质，会为解题带来很多方便．
例、如图，正方形的对角线交于点，是上任一点，⊥于点，交于点．求证：．
证明：
∵四边形为正方形，
∴对角线、互相垂直平分于点，即，⊥．
又⊥，∴∠∠．
∴∠∠∠．
∴△≌△，∴．
点拨：
这里主要是应用正方形对角线互相垂直平分来破题的．
、利用正方形的轴对称性解题
例、如图，已知、分别是正方形的边、上的点，、分别与对角线相交于点、．若∠°，求∠＋∠的度数．
解：
在四边形中，
∵∠°，∠°，
∴∠＋∠°－（°＋°）°．
∵与、与均关于直线对称，
∴∠∠°，∴∠＋∠°．
又五边形内角和为°，
∴∠＋∠
°－(∠＋∠)－(∠＋∠)－∠
°－°－°－°°．
点拨：
利用正方形的对称性作角和线段的转化十分快捷，如图中∠∠，∠∠，，等．
例、已知，如图，在正方形中，点在上．
解：
（）∵点在上，点、关于对称，∴．
（）能用文字概括为“正方形一条对角线上的一点和另一条对角线的两端距离相等”．
（）能．证明：连结，由（）可知，
又∵⊥，⊥，∴∠∠°．
又∵∠°，∴四边形是矩形，
∴，∴．
点拨：
该题（）的结论是一个常用到的正方形的性质，也可用对称的知识或证△≌△得到，在例中该图已经出现过；第（）小题的证明思路是，抓住正方形是轴对称图形这一特点，把正方形沿对称轴翻折，使翻折到，把要证转化为只要证，从而达到把分散的条件集中到一块的目的．
、利用旋转法解决有关正方形问题
例、如图，正方形的边长，为上一点，连结，作⊥交的延长线于点，作⊥交于点．若，求的长．
解：
△绕点旋转°后可以得到△，
∴△≌△．
∴．
∴．
点拨：
分析条件⊥，⊥，，于是可以将△旋转，旋转实质还是两个三角形全等．
例、如图，在一正方形花池内需要装一只喷头，且满足︰︰︰︰．求∠的度数．
解：
将△绕点顺时针旋转°得△′，连结′．
∵︰︰︰︰，
∴可设′，′，．
又△′为等腰直角三角形，
∴′＋′()＋()．
又()， ∴′＋′．
∴∠′°．
故∠′°＋°°．
∴∠∠′°．
点拨：
这里是通过旋转，将分散的条件集中起来，再由三角形边与边的关系，求出有关角的大小．
、构造正方形解题
例、如图，⊥，⊥，是上一点，，，，∠°，∠°．求的长．
解：
过作的垂线交延长线于点，则
∵∠°，∠°，
∴∠°－(°＋°)°，
∠°－°°．
又，∴△是等边三角形，
∴．
又∠°－(°＋°)°，
∴∠∠，∴△≌△．
∴．
点拨：
此题是通过补图，构造正方形求解．
、利用正方形性质解选择题
例、如图，有两个正方形和一个等边三角形，则图中度数为°的角有（ ）
．个 ．个
．个 ．个
解：
如图．
∵△′为正三角形，四边形、四边形′′′均为正方形，
∴∠′∠′°．
在四边形′中，易知∠′°－°×－°°．
故∠′∠′°．
故选．
点评：本题极易误选．
梯形
一周强化
一、一周知识概述
、梯形的概念
梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，这两个条件缺一不可．换一种说法就是，一组对边平行且不相等的四边形是梯形．
等腰梯形和直角梯形是两种特殊梯形．
、等腰梯形的性质与判定
()等腰梯形的性质
①等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴；
②等腰梯形同一底边上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
()等腰梯形的判定
同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
、梯形中常见辅助线作法
()平移一腰，使两腰、两底角集中于同一个三角形中，并且得出两底之差(如图())；
()平移一条对角线，使两条对角线与两底之和构成一个三角形，并且能得出两底之和(如图())；
()延长两腰交于一点，将梯形转化为三角形(如图())；
()作梯形的高，将梯形转化为矩形与直角三角形(如图())；
()延长顶点与一腰中点的连线交底边于一点，将梯形转化为三角形，并且集中了两底(如图())；
()将梯形割补为平行四边形(如图())；
二、重难点知识归纳
、掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等有关概念，并了解它们之间的关系．
、探索等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用它们进行有关的证明和计算．
、通过对梯形辅助线的探索，学会将未知问题转化为已知问题，培养化归意识．
三、典型例题剖析
、直接利用等腰梯形的性质或判定解题
例、如图，为等腰梯形的下底上一点，⊥，⊥，，为垂足，⊥，为垂足．求证：＋．
证明：
过点作⊥于点．
∵⊥，⊥，∴四边形是矩形．
∴，∥．∴∠∠．
∵四边形为等腰梯形，∴∠∠．
∴∠∠．
又⊥，公共，∴△≌△．∴．
∴＋＋．
点拨：要证线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，本例采用的是“截长法”．
例、如图，已知矩形中，、分别是、的中点．求证：四边形是等腰梯形．
证明：
∵四边形是矩形，
∴，∥．
又、分别是、中点，
∴∥，．
∴∥．又，
∴四边形是梯形．
又，∴△≌△()．∴∠∠
又∠∠，∴∠∠
∴梯形是等腰梯形．
点拨：
这里是先根据梯形定义，判定四边形是梯形，再证同一底上两底角相等．
例、如图，已知四边形中，，，≠．求证：四边形是等腰梯形．
证明：
过点作∥交边于点．∵，，，
∴△≌△，∴∠∠
又∥，∴∠∠
∴∠∠ ，∴，∴．
∴四边形是平行四边形．∴∥．
又，且≠，
∴四边形为等腰梯形．
点拨：
判定一个任意四边形为等腰梯形，如果不能直接运用等腰梯形的判定定理，一般的方法是通过作辅助线，将此四边形分解为熟悉的多边形，此例就是通过作平行线，将四边形分解成为一个平行四边形和一个等腰三角形．
、梯形辅助线的作法
例、如图，在等腰梯形中，∥，，，．求∠的度数．
解：
过点作∥交于点，
∵∥，∴四边形是平行四边形．
∴，．
∴－，∴
又，∴
∴△是等边三角形．∴∠°
点拨：
过顶点作一腰的平行线，把梯形化为平行四边形和三角形，转化的目的是把条件都集中到以∠为内角的三角形中．
例、如图，在梯形中，∥，且＋，为的中点．求证：⊥．
证明：
延长交的延长线于点．
∵为中点，∥，∴△≌△．
∴，．∴＋．
由等腰三角形“三线合一”知，⊥．
点拨：根据证题的需要，集中梯形的两底也是常用的添加辅助线的方法．本例也可以先延长至，使，再证、、共线．
例、如图，梯形中，∥，对角线⊥，且，，求该梯形上下底的和．
解：
过作∥交的延长线于点．∵∥，∴，．
∵⊥，∴⊥．
在△中，
∴＋＋．
点拨：过顶点作一条对角线的平行线，把两条对角线的数量关系和位置关系集中到一个三角形中，将求梯形上下底的长转化为求直角三角形斜边的长．
例、如图，在等腰梯形中，∥，，且⊥，是梯形的高，梯形的面积是．求梯形的高．
解法：
如图(甲)，过作∥交的延长线于点．
∵⊥，∴⊥．
∵∥，∴，．
又∵四边形是等腰梯形，∴．∴．
∴△是等腰直角三角形．
又是斜边上的高，故也为斜边上的中线．
∴
∴∴
解法：设梯形的两条对角线相交于点，过作⊥于点，延长交于点(如图(乙))．
∵∥，∴⊥．
∵，，公共，
∴△≌△．∴∠∠．
又∵⊥，∴△是等腰直角三角形．
∴．同理．
∴．
以下解答过程与解法相同．
解法：过作⊥于点(如图(丙))．
∵梯形是等腰梯形，∴，∠∠．
又∵，∴△≌△，∴∠∠．
又∵⊥，∴∠∠°．
∴△和△都是等腰直角三角形．∴，，
∴．
以下解答过程与解法相同．
点拨：本题的三种解法都是利用等腰直角三角形的性质或全等三角形的性质来证明该梯形的高就等于该梯形的中位线的长．因此，在等腰梯形中，若两条对角线垂直，则这个梯形的高就等于中位线的长，梯形的面积就等于高的平方．
例、如图，已知在等腰梯形中，∥．()若，，梯形的高是，求梯形的周长；
()若，，梯形的高是，梯形的周长为，则；(请用含的代数式表示；答案直接写在横线上，不要求证明)
()若，，，求证：⊥．
解：
()分别过点、作⊥，⊥，垂足分别为、，则．
又，∴
∴梯形的周长为＋＋×．
()．
()过点作∥，交的延长线于点．
∵∥，∴四边形是平行四边形．
∴．
而＋＋＋，
∵，∴＋．
∴⊥．∴⊥．
点评：
()是作等腰梯形的两条高，构造直角三角形，运用勾股定理求腰长；由()知在等腰梯形中，已知对角线互相垂直或要证对角线互相垂直，一般的方法就是平移一腰．
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