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九年级数学期末复习-压轴题

1．如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数图象经过点B，C和点A〔﹣1，0〕．
〔1〕求B，C两点坐标；
〔2〕求该二次函数关系式；
〔3〕假设抛物线对称轴与x轴交点为点D，点E是线段BC上一个动点，过点E作x轴垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF面积最大？求出四边形CDBF最大面积及此时E点坐标；
〔4〕在抛物线对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰等腰三角形？如果存在，直接写出P点坐标；如果不存在，请说明问题．

2．如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数图象经过点B、C和点A〔﹣1，0〕．
〔1〕求B、C两点坐标；
〔2〕求该二次函数关系式；
〔3〕假设抛物线对称轴与x轴交点为点D，那么在抛物线对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰等腰三角形？如果存在，直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由；
〔4〕点E是线段BC上一个动点，过点E作x轴垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF面积最大？求出四边形CDBF最大面积及此时E点坐标．

3．如图①，抛物线y=ax2+bx+3〔a≠0〕与x轴交于点A〔1，0〕和点B〔﹣3，0〕，与y轴交于点C．

〔1〕求抛物线解析式；
〔2〕设抛物线对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件点P坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕如图②，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求此时E点坐标．

4．如图1，抛物线y=ax2+bx+6〔a≠0〕与x轴交于点A〔2，0〕和点B〔﹣6，0〕，与y轴交于点C．
〔1〕求抛物线解析式；
〔2〕设抛物线对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件点P坐标；
〔3〕设点Q是抛物线对称轴上一个动点，当点Q满足AC+QC最小时，求出Q点坐标；
〔4〕如图2，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求此时E点坐标．

5．如图1，抛物线y=ax2+bx+6〔a≠0〕与x轴交于点A〔2，0〕和点B〔﹣6，0〕，与y轴交于点C．
〔1〕求抛物线解析式；
〔2〕设抛物线对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件点P坐标；
〔3〕设点Q是抛物线对称轴上一个动点，当点Q满足|QB﹣QC|最大时，求出Q点坐标；
〔4〕如图2，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求此时E点坐标．

九年级数学期末复习-压轴题
参考答案与试题解析

1．〔2021 •乳山市一模〕如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数图象经过点B，C和点A〔﹣1，0〕．
〔1〕求B，C两点坐标；
〔2〕求该二次函数关系式；
〔3〕假设抛物线对称轴与x轴交点为点D，点E是线段BC上一个动点，过点E作x轴垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF面积最大？求出四边形CDBF最大面积及此时E点坐标；
〔4〕在抛物线对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰等腰三角形？如果存在，直接写出P点坐标；如果不存在，请说明问题．

【解答】解：〔1〕令x=0，那么y=﹣x+2=2；令y=0，那么0=﹣x+2，解得x=4，
所以B〔4，0〕，C〔0，2〕；

〔2〕设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B坐标代入得，
，
解得．
∴该二次函数关系式为y=﹣x2+x+2；

〔3〕如图2，过C点作CM⊥EF于M，
设E〔a，﹣a+2〕，F〔a，﹣a2+a+2〕
∴EF=﹣a2+a+2﹣〔﹣a+2〕=﹣a2+2a，〔0≤a≤4〕，
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN
=+a〔﹣a2+2a〕+〔4﹣a〕〔﹣a2+2a〕
=﹣a2+4a+
=﹣〔a﹣2〕2+，〔0≤a≤4〕，
∴a=2时，S四边形CDBF最大值为；
∴E〔2，1〕；

〔4〕存在，
如图3，∵抛物线y=﹣x2+x+2对称轴x=﹣==，
∴OD=，
∵C〔0，2〕，
∴OC=2，
在RT△OCD中，由勾股定理得CD=，
∵△CDP是以CD为腰等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD，
如下图，作CE⊥对称轴于E，
∴EP1=ED=2，
∴DP1=4，
∴P1〔，4〕，P2〔，〕，P3〔，﹣〕．

2．〔2021 •曲靖一模〕如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数图象经过点B、C和点A〔﹣1，0〕．
〔1〕求B、C两点坐标；
〔2〕求该二次函数关系式；
〔3〕假设抛物线对称轴与x轴交点为点D，那么在抛物线对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰等腰三角形？如果存在，直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由；
〔4〕点E是线段BC上一个动点，过点E作x轴垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF面积最大？求出四边形CDBF最大面积及此时E点坐标．

【解答】解：〔1〕令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x=4，
即点B〔4，0〕，C〔0，2〕；

〔2〕设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
将点A、B、C坐标代入解析式得，
，
解得：，
即该二次函数关系式为y=﹣x2+x+2；

〔3〕∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣〔x﹣〕2+，
∴抛物线对称轴是x=．
∴OD=．
∵C〔0，2〕，
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD．
如图1所示，作CE⊥对称轴于E，
∴EP1=ED=2，
∴DP1=4．
∴P1〔，4〕，P2〔，〕，P3〔，﹣〕；

〔4〕当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B〔4，0〕．
∵直线BC解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E〔a，﹣a+2〕，F〔a，﹣a2+a+2〕，
∴EF=﹣a2+a+2﹣〔﹣a+2〕=﹣a2+2a〔0≤a≤4〕．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=+a〔﹣a2+2a〕+〔4﹣a〕〔﹣a2+2a〕，
=﹣a2+4a+〔0≤a≤4〕．
=﹣〔a﹣2〕2+
∴a=2时，S四边形CDBF面积最大=，
∴E〔2，1〕．

3．〔2021•十堰〕如图①，抛物线y=ax2+bx+3〔a≠0〕与x轴交于点A〔1，0〕和点B〔﹣3，0〕，与y轴交于点C．

〔1〕求抛物线解析式；
〔2〕设抛物线对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件点P坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕如图②，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求此时E点坐标．
【解答】解：
〔1〕∵抛物线y=ax2+bx+3〔a≠0〕与x轴交于点A〔1，0〕和点B〔﹣3，0〕，
∴
解得：
∴所求抛物线解析式为：
y=﹣x2﹣2x+3；

〔2〕∵抛物线解析式为：
y=﹣x2﹣2x+3，
∴其对称轴为x==﹣1，
∴设P点坐标为〔﹣1，a〕，当x=0时，y=3，
∴C〔0，3〕，M〔﹣1，0〕
∴当CP=PM时，〔﹣1〕2+〔3﹣a〕2=a2，解得a=，
∴P点坐标为：P1〔﹣1，〕；
∴当CM=PM时，〔﹣1〕2+32=a2，解得a=±，
∴P点坐标为：P2〔﹣1，〕或P3〔﹣1，﹣〕；
∴当CM=CP时，由勾股定理得：〔﹣1〕2+32=〔﹣1〕2+〔3﹣a〕2，解得a=6，
∴P点坐标为：P4〔﹣1，6〕
综上所述存在符合条件点P，其坐标为P〔﹣1，〕或P〔﹣1，﹣〕
或P〔﹣1，6〕或P〔﹣1，〕；

〔3〕过点E作EF⊥x轴于点F，设E〔a，﹣a2﹣2a+3〕〔﹣3＜a＜0〕
∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a
∴S四边形BOCE=BF•EF+〔OC+EF〕•OF
=〔a+3〕•〔﹣a2﹣2a+3〕+〔﹣a2﹣2a+6〕•〔﹣a〕
=
=﹣+
∴当a=﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为〔﹣，〕．

4．〔2021秋•富顺县月考〕如图1，抛物线y=ax2+bx+6〔a≠0〕与x轴交于点A〔2，0〕和点B〔﹣6，0〕，与y轴交于点C．
〔1〕求抛物线解析式；
〔2〕设抛物线对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件点P坐标；
〔3〕设点Q是抛物线对称轴上一个动点，当点Q满足AC+QC最小时，求出Q点坐标；
〔4〕如图2，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求此时E点坐标．

【解答】解：〔1〕把A〔2，0〕和B〔﹣6，0〕代入y=ax2+bx+6得，
解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+6．

〔2〕如图1中，

由题意C〔0，6〕，M〔﹣2，0〕，
∴CM==2，
①当P1C=CM时，可得P1〔﹣2，12〕，
②当MP2=MC时，P2〔﹣2，2〕，
③当MP3=MC时，P3〔﹣2．﹣2〕．
综上所述满足条件点P坐标〔﹣2，12〕或〔﹣2，2〕或〔﹣2，﹣2〕．

〔3〕如图2中，连接BC交对称轴于Q，此时QA+QC最小．

∵B〔﹣6，0〕，C〔0，6〕，
∴直线BC解析式为y=x+6，
∴点Q〔﹣2，4〕．

〔4〕如图3中，设E〔m，﹣m2﹣2m+6〕．连接EO．

∵S四边形BOCE=S△BOE+S△COE=×6×〔﹣m2﹣2m+6〕+×6×〔﹣m〕=﹣〔m+3〕2+，
∵a=﹣＜0，
∴m=﹣3时，四边形BOCE面积最大，最大值为，此时点E〔﹣3，〕．

5．〔2021秋•江津区期中〕如图1，抛物线y=ax2+bx+6〔a≠0〕与x轴交于点A〔2，0〕和点B〔﹣6，0〕，与y轴交于点C．
〔1〕求抛物线解析式；
〔2〕设抛物线对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件点P坐标；
〔3〕设点Q是抛物线对称轴上一个动点，当点Q满足|QB﹣QC|最大时，求出Q点坐标；
〔4〕如图2，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求此时E点坐标．

【解答】解：〔1〕由题知：，
解得：，
故所求抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+6；

〔2〕∵抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+6，
∴对称轴为x==﹣2，
设P点坐标为〔﹣2，t〕，
∵当x=0时，y=6，
∴C〔0，6〕，M〔﹣2，0〕，
∴CM2=〔﹣2﹣0〕2+〔0﹣6〕2=40．
①当CP=PM时，〔﹣2〕2+〔t﹣6〕2=t2，解得t=，
∴P点坐标为：P1〔﹣2，〕；
②当CM=PM时，40=t2，解得t=±2，
∴P点坐标为：P2〔﹣2，2〕或P3〔﹣2，﹣2〕；
③当CM=CP时，由勾股定理得：40=〔﹣2〕2+〔t﹣6〕2，解得t=12，
∴P点坐标为：P4〔﹣2，12〕．
综上所述，存在符合条件点P，其坐标为P〔﹣2，〕或P〔﹣2，2〕或P〔﹣2，﹣2〕或P〔﹣2，12〕；

〔3〕∵点A〔2，0〕和点B〔﹣6，0〕关于抛物线对称轴x=﹣2对称，
∴QB=QA，
∴|QB﹣QC|=|QA﹣QC|，
要使|QB﹣QC|最大，那么连结AC并延长，与直线x=﹣2相交于点Q，即点Q为直线AC与直线x=﹣2交点，
设直线AC解析式为y=kx+m，
∵A〔2，0〕，C〔0，6〕，
∴，
解得，
∴y=﹣3x+6，
当x=﹣2时，y=﹣3×〔﹣2〕+6=12，
故当Q在〔﹣2，12〕位置时，|QB﹣QC|最大；

〔4〕过点E作EF⊥x轴于点F，设E〔n，﹣n2﹣2n+6〕〔﹣6＜n＜0〕，
那么EF=﹣n2﹣2n+6，BF=n+6，OF=﹣n，
S四边形BOCE=BF•EF+〔OC+EF〕•OF
=〔n+6〕•〔﹣n2﹣2n+6〕+〔6﹣n2﹣2n+6〕•〔﹣n〕
=﹣n2﹣9n+18=﹣〔n+3〕2+，
所以当n=﹣3时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为〔﹣3，〕．