高中数学极坐标及参数方程大题详解.doc

高中数学极坐标及参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系
解答题
1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作及l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及最小值．

考点：
参数方程化成普通方程；直线及圆锥曲线的关系．
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值及最小值．
解答：
解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．
对于直线l：，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为．
则，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．
点评：
本题考查普通方程及参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．

2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴及x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．
（I）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

考点：
参数方程化成普通方程．
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；
（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线及圆的位置关系进行转化求解．
解答：
解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，
∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，
∴，
∴x﹣y+1=0．
（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．
得
（x﹣2）2+y2=4，
它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，
圆心到直线的距离为：
d=，
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．
点评：
本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．

3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．

考点：
圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．
专题：
计算题；压轴题；转化思想．
分析：
（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；
（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．
解答：
解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，
所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；
把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；
（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），
把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，
设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）
所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）
从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．
点评：
此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求圆心的极坐标；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．

考点：
参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．
（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．
解答：
解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，
把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．
∴圆心坐标为（1，﹣1），
∴圆心极坐标为；
（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，
∴圆心到直线l的距离，
∴|AB|=2==，
点P直线AB距离的最大值为，
．
点评：
本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力及计算能力，属于中档题．

5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

考点：
椭圆的参数方程；椭圆的应用．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
解答：
解：将化为普通方程为（4分）
点到直线的距离（6分）
所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）
点评：
此题考查参数方程、极坐标方程及普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为 （t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．
（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；
（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．

考点：
参数方程化成普通方程．
专题：
计算题；直线及圆；坐标系和参数方程．
分析：
（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．
（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．
解答：
解：（1）直线I的参数方程为 （t为参数），消去t，
可得，3x+4y+1=0；
由于ρ=cos（θ+）=（），
即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，
圆心到直线的距离d==，
故弦长为2=2=；
（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），
则设M（，），
则x+y==sin（），
由于θ∈R，则x+y的最大值为1．
点评：
本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

7．选修4﹣4：参数方程选讲
已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．

考点：
参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，
解答：
解 （1）∵P点的极坐标为，
∴=3，=．
∴点P的直角坐标
把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得，即
∴曲线C的直角坐标方程为．
（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0
设，则线段PQ的中点．
那么点M到直线l的距离.，
∴点M到直线l的最小距离为．
点评：
本题考查了极坐标及直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识及基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．

8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=及圆C的交点为O，P，及直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

考点：
简单曲线的极坐标方程；直线及圆的位置关系．
专题：
直线及圆．
分析：
（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．
（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别及圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．
解答：
解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．
（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．
可得普通方程：直线l，射线OM．
联立，解得，即Q．
联立，解得或．
∴P．
∴|PQ|==2．

点评：
本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点及方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识及基本方法，属于中档题．

9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．
（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．

考点：
简单曲线的极坐标方程．
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．
（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．
解答：
解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，
即曲线C1的普通方程为：．
由曲线C2：得：，
即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，
即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．
（2）由（1）知椭圆C1及直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，
∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．
点评：
本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．

10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

考点：
简单曲线的极坐标方程．
专题：
计算题．
分析：
（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标及极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．
（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．
解答：
解：（I）∵，∴，
∴圆C的直角坐标方程为，
即，∴圆心直角坐标为．（5分）
（II）∵直线l的普通方程为，
圆心C到直线l距离是，
∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）
点评：
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．
（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l及直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．

考点：
简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．
解答：
解：（1）根据题意，得
曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，
设点P（x′，y′），Q（x，y），
根据中点坐标公式，得
，代入x2+y2﹣4y=12，
得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，
（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得
，

解得实数a的取值范围为：[0，]．
点评：
本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线及圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．

12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C1及C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1及C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．

考点：
点的极坐标和直角坐标的互化；直线及圆的位置关系；参数方程化成普通方程．
专题：
压轴题；直线及圆．
分析：
（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；
（II）由（I）得，P及Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．
解答：
解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，
解得或，
∴C1及C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．
（II）由（I）得，P及Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），
故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，
由参数方程可得y=x﹣+1，
∴，
解得a=﹣1，b=2．
点评：
本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．
13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ
（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C及直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．

解答：
解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．
曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．
（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．
∵曲线C及直线相交于不同的两点M、N，
∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，
∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），
∴．
又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．
∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，
∵，∴，
∴．
∴|PM|+|PN|的取值范围是．
点评：
本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线及圆相交弦长问题，属于中档题．

14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

考点：
点的极坐标和直角坐标的互化．
专题：
坐标系和参数方程．
分析：
（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．
（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．
解答：
解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
∴ρ2=2，化为x2+y2=，
配方为=3．
（II）设P，又C．
∴|PC|==≥2，
因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．
点评：
本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力及计算能力，属于中档题．

15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．
（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求弦AB的长度．

考点：
简单曲线的极坐标方程．
专题：
计算题．
分析：
（Ⅰ）利用直角坐标及极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程．
（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度．
解答：
解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）
表示直线y=x，
曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ
所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9
（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，
r=3所以弦长AB==．
∴弦AB的长度．
点评：
本小题主要考查圆和直线的极坐标方程及直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．

16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）
（Ⅰ）求圆心C的极坐标；
（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．

考点：
简单曲线的极坐标方程；直线及圆的位置关系．
专题：
计算题．
分析：
（1）利用两角差的余弦公式及极坐标及直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，
消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．
（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．
解答：
解：（1）由 ρsin（θ+）=，得 ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．
由 得C：圆心（﹣，﹣）．
∴圆心C的极坐标（1，）．
（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：

∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，
∴．
r=2﹣
∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．
点评：
本小题主要考查坐标系及参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程及普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．

17．选修4﹣4：坐标系及参数方程
在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．
（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；
（Ⅱ）求圆C1及C2的公共弦的参数方程．

考点：
简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；
（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1及C2的公共弦的参数方程．
解法二利用直角坐标及极坐标的关系求出，然后求出圆C1及C2的公共弦的参数方程．
解答：
解：（I）由，x2+y2=ρ2，
可知圆，的极坐标方程为ρ=2，
圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，
解得：ρ=2，，
故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．
（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．
故圆C1，C2的公共弦的参数方程为
（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）
（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1
从而于
是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．
点评：
本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标及直角坐标的互化，考查计算能力．

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