高二数学选修2223综合测试题二.docx

高二数学选修2-2、2-3测试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．过函数图象上点O（0，0），作切线，则切线方程为 （ ）
A． B． C． D．
2．设,则 ( )
A．256 B．0 C． D．1
3．定义运算，则(是虚数单位)为 ( )
A．3 B． C． D．
4．任何进制数均可转换为十进制数,如八进制转换成十进制数，是这样转换的：,十六进制数,那么将二进制数转换成十进制数，这个十进制数是 （ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的条直线把平面分为部分，则。”在证明第二步归纳递推的过程中，用到+ 。( )
A． B． C． D．
6.记函数表示对函数连续两次求导,即先对求导得,再对求导得,下列函数中满足的是（ ）
A. B. C. D.
7．甲、乙速度及时间的关系如下图，是时的加速度，是从到的路程，则及，及的大小关系是 ( )
A．， B．，
C．， D．，
8．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以 的方向行走至B，不同的行走路线有( )
第7题图图
b
t
v
甲
乙
A
B
第8题图

A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
9．如下图，左边的是导数的图象，则函数的图象是 （ ）

10.设，由到上的一一映射中，有7个数字和自身对应的映射个数是 ( )
A.120 B.240 C. D.360
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二.填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）

11．公式 揭示了微积分学中导数和定积分之间的内在联系;提供了求定积分的一种有效方法。
12．若有一组数据的总偏差平方和为100，相关指数=0.75，则其残差平方和为 。
13．已知数列为等差数列，则有

类似上三行,第四行的结论为__________________________。
14．已知长轴长为，短轴长为椭圆的面积为，则= 。
三.解答题（本大题6个小题，共80分）
y
x
第1题图
15．（10分）如图，阴影部分区域是由函数图象，直线围成，求这阴影部分区域面积。

16．(12分)据研究,甲磁盘受到病毒感染，感染的量y(单位: 比特数)及时间x(单位:秒)的函数关系是,乙磁盘受到病毒感染，感染的量y(单位: 比特数)及时间x(单位:秒)的函数关系是,显然当时，甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式,并证明之.

17．(13分)(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量

试写出随机变量的分布列(用表格格式);
(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．

18．（15分）已知函数
（1）求的极值；
（2）请填好下表(在答卷),并画出的图象(不必写出作图步骤)；
（3）设函数的图象及轴有两个交点，求的值。

…
-2
-1
0
1
2
3
…

…

…

19．（15分）编辑一个运算程序：，，．
（1）设，求；
（2）由（1）猜想的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想。

20．（15分）为研究“在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率的和”这个课题，我们可以分三步进行研究：（I）取特殊事件进行研究;(Ⅱ)观察分析上述结果得到研究结论；（Ⅲ）试证明你得到的结论。现在，请你完成:
(1)抛掷硬币4次,设分别表示正面向上次数为0次,1次,2次,3次,4次的概率,求(用分数表示),并求;
(2)抛掷一颗骰子三次,设分别表示向上一面点数是3恰好出现0次,1次,2次,3次的概率,求(用分数表示),并求;
(3)由(1)、(2)写出结论,并对得到的结论给予解释或给予证明.

答案
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
B
C
C
C
A
D
B

二.填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分，只填结果，不要过程，把答案填写在答题卡上）
11．
12．25
13．
14．

三.解答题（本大题6个小题，共80分，必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，把答案填写在答题卡上）
y
x
15．（10分）如图，阴影部分区域是由函数图象，直线围成，求这阴影部分区域面积。
解法一：所求图形面积为
----------（5分）
-----------------（9分）
------------------------------（10分）
解法二：所求面积是以长为，宽为了2的矩形的面积的一半，所以所求的面积为。
--------------------------------------（10分）
16．(12分)据研究,甲磁盘受到病毒感染，感染的量y(单位: 比特数)及时间x(单位:秒)的函数关系是,乙磁盘受到病毒感染，感染的量y(单位: 比特数)及时间x(单位:秒)的函数关系是,显然当时,甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式,并证明之.

解:因为甲磁盘受到感染的感染增长率是的导数,乙磁盘受到病毒感染增长率为的导数
又因为当时,甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大
------------------------------------(8分)
下面证明:
,,,所以在上是增函数, 即.-----------------------(12分)

17．(13分)(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量
试写出随机变量的分布列(用表格格式);
(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．
解(1)解法1:当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时,有6种情况,所以
,由互斥事件概率公式得, -------(5分)
所以所求分布列是

0
1
P

--------------------------------------------------------------------------------------------------------(8分)
解法2:
(2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为
或------------(13分)
18．（15分）已知函数
（1）求的极值；
（2）请填好下表,并画出的图象(不必写出作图步骤)；
（3）设函数的图象及轴有两个交点，求的值。
解：
（1），令得-（2分）

-1

2

+
0
-
0
+

增函数+
7
减函数-
-20
增函数+
--------------------------------------------------------------------------------------------------------（4分）
由表知,当时有极大值7, 当时有极小值-20。--------------（5分）
（2）

…
-2
-1
0
1
2
3
…

…
-4
7
0
-13
-20
-9
…
--------------------------------------------------------------------------------------------------------（7分）
画对图-----------------------------------------------------------------------------------------------（10分）

（3）由（1）知当时有极大值, 当时有极小值，
---------------------------------------------------------------------------------------------------（12分）
再由（2）知，当的极大值或极小值为0时，函数的图象及轴有两个交点，即。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------（15分）
19．（15分）编辑一个运算程序：，，．
（1）设，求； （2）由（1）猜想的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想。
解：（1），令，则----------------------（1分）
由，，得--------------------（2分）
再令，则，得--------------------------------（4分）
再令，则，得
-------------------------------------------------（5分）
（2）由（1）猜想：------------------------------------（8分）
（3）证明：①当时，，另一方面，，所以当时等式成立。-------------------------------------------------------（10分）
②假设当时，等式成立，即，此时，---------（12分）
那么，当时

所以当时等式也成立。-----------------------------------------（14分）
由①②知，等式对都成立。--------------------------------------（15分）
20．（15分）为研究“在n次独立重复试验中,事件A恰好发生次的概率的和”这个课题，我们可以分三步进行研究：（I）取特殊事件进行研究;(Ⅱ)观察分析上述结果得到研究结论；（Ⅲ）试证明你得到的结论。现在，请你完成:
(1)抛掷硬币4次,设分别表示正面向上次数为0次,1次,2次,3次,4次的概率,求,并求;
(2)抛掷一颗骰子三次,设分别表示向上一面点数是3恰好出现0次,1次,2次,3次的概率,求,并求;
(3)由(1)、(2)写出结论,并对得到的结论给予解释或给予证明.
解(1)用表示第次抛掷硬币掷得正面向上的事件,则发生的次数
服从二项分布,即∽----------------------------------------(1分)
所以
所以
------------------------------------------------------------------(6分)
(2)用表示第次抛掷骰子掷得向上一面点数是3的事件,则发生的次数服从二项分布,即∽,所以
所以
----------------------------------------------------------------------(10分)
(3)在n次独立重复试验中,事件A恰好发生次的概率的和为1
----------------------------------------------------------------------------------------------------(12分)
证明:在n次独立重复试验中,事件A每一次发生的概率为,
则∽,,
---------------------------------------------------------------------------------------------------(15分)
或这样解释:是必然事件,所以在n次独立重复试验中,事件A恰好发生次的概率的和为1.--------------------------------(15分)
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