高中数学函数最值问题地常见求解方法.docx

一、 配方法
例１：当时，求函数最大值和最小值．
解析：，当时，．显然由二次函数性质可得，．
二、 判别式法
对于所求最值问题，如果能将函数式经适当代数变形转化为一元二次方程有无实根问题，那么常可利用判别式求得函数最值．
例２：，求最值．
解析：由，变形得，，那么，即有
故 ．
因此 ，无最小值．
例3：假设、且满足：，那么= =
解析：由，变形得：，，那么，即有
，于是，即 ．即　．
同理，，，那么，即有
，于是，即 ．即　．
注意：关于、有穿插项二元二次方程，通常用此法
例4：函数，求最值．
解析：函数式变形为：，，由得，
，即：，即：．
因此 ，．
例5：函数值域为，求常数
解析：
∵ ∴，即
由题意：
所以，，即，
注意：判别式求函数值域或值域求参数，把转化为关于二次函数，通过方程有实根，判别式(、不同时为0)，常用此法求得
例6：在条件下，求最大值．
解析：设，因，，故 ，那么
即
因为 ，故，于是 即
将代入方程得 ，，所以
注意：因仅为方程有实根，必要条件，因此，必须将代入方程中检验，看等号是否可取．
三、 代换法
(一)局部换元法
例7：求函数最值．
解析：令，那么，函数
当时，，当时取等号
当时，令，那么＝
＝，因为 ，，即有
，所以在[2，内递增．
故
所以 当时，，无最大值；
　　 当时，，无最大值．
例8：求函数最值．
解析：设 ()，那么由原式得当且仅当 即时取等号．故，无最小值．
例9：,求函数最值．
解析：　令
那么 且，于是
当时，；当时，．
注意：假设函数含有和，可考虑用换元法解．
(二)三角代换法(有时也称参数方程法)
例10：、，．求最值．
解析：设，，(为参数)
因 ，故

故当且时，；当且时，．
例11：实数、适合：，设，那么+=____
解析：令，，那么

当时，；当时，．
所以 ．
例12：求函数 ()最值．
解析：令，那么
又令，那么

　即有
所以，
注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等〞
例13：、且，求最值．
解析：化为，得参数方程为

故 ，．
(三)均值换元法
例14：，求证：最小值为．
解析：由于此题中、取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可以令，，()，那么

∴最小值为．在即时取等号
四、 三角函数有界法
对于，总有，
例15：求函数最值．
解析：
因为 ，故
当时，；当时，．
五、 均值不等式法
例16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大．
解析：设三角形三边长分别为、、，面积为，三角形内一点到三边距离分别为、、
(定值)　
即 (时取等号)
因此，当此点为三角形重心时(这时、、面积相等)，它到三边之积为最大．
例17：有矩形铁皮，其长为30，宽为14，要从四角上剪掉边长为 四个小正方形，将剩余局部折成一个无盖矩形盒子，问为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？
解析：依题意，矩形盒子底边长为 ，底边宽为 ，高为 ．
盒子容积 (显然：、、)
设 ，　要用均值不等式．那么
　　解得：，，．从而

故矩形盒子最大容积为576 ．
也可：令或
注意：均值不等式应用时，要注意等号成立条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求．
例18：(、、均为锐角)，那么最大值等于__________
解析：因、、均为锐角，所以

当且仅当时取等号，故最大值为．
例19：求函数最小值(、)．
解析：

当且仅当 即 时，函数取得最小值
六、 单调性法
(一)利用假设干次“〞(或“〞)求函数最值
例20：求函数在，内最小值．
解析：
当时，，．上式中两个 “〞中等号同时成立，所以是 “准确〞不等式．因而
另：此题还可用换元以及函数单调性来判断
(二)形如函数最值
(1)　，时，函数在，］内递增，在，内递减，
　　　　　　　　　　　　在，］内递减，在，内递增．
(2)　，时，函数在，］内递减，在，内递增，
　　　　　　　　　　　　在，］内递增，在，内递减．
(3)　，时，函数在，内递减，在，内递减．
(4)　，时，函数在，内递增，在，内递增．
例21：求函数最值．
解析：函数
令，那么，，于是 在，内递减，在，内递增．
所以当，即时，；无最大值．
例22：求函数最大值．
解析：
令，那么，函数在，内递增．所以在，内也是递增．当，即时，．
七、 平方开方法
例23：、是不相等正数，求函数最值．
解析：因、是不相等正数，与不能同时为０，故．

当时，，
当时，，
八、 数形结合法
有些代数和三角问题，假设能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易成效．
例24：求函数最值．
解析：将函数式变形为，只需求函数最值．
把看成两点，，，连线斜率，(即为单位圆上点)，
那么当直线为单位圆切线时，其斜率为最大或最小．
设过点单位圆切线方程为，即 ．
那么圆心到切线距离为，解得：，．从而函数
最大值为；最小值为．
九、 利用二次函数性质
例25：设，且，求当、为何值时，取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值．
解析：由，得

由，且可得，从而(当时左边取“=〞号，时右边取“＝〞号)，由对数函数图象及其性质，即
当、时，；当、时，．
例26：求函数最值．
解析：
要使有意义，必须有，即 ．
故 当时， ；当(或)时，.
例27：求函数最值．
解析：
因为，结合二次函数图象及其性质：
当，时，，．
当，时，，．
当，时，，．
当，时，，．
十、 放缩法
例28：假设、、，且，那么最大值是〔　　〕
解析：
同理，，．
三式相加，
即　
当且仅当　即时取等号．
十一、导数法
例29：求函数在上最值
解析：，得
，，，
所以函数最大值为36，最小值为
注意：要求三次及三次以上函数最值，以及利用其他方法很难求函数最值，通常都用该方法，导数法往往就是最简便方法，应该引起足够重视．
例30：求函数最值
解析：函数定义域为,
；，又是上连续函数
故有在上递增，在上递减．，，
故函数最大值为，最小值为