高中数学总复习教学案D：数列的求和.doc

高中数学总复习教学案D：数列的求和
高中数学总复习题组法教学案编写体例
§7.4 数列的求和
新课标要求
1、了解数列求和的意义，主要利用等差、等比数列的前n项和公式解决数列的求和问题；
2、掌握常见数列的求和方法，尤其是要掌握用公式法、分组结合法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法求解一些特殊的数列的前n项和。
重点难点聚焦
　　数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和。
高考分析与预策
　　数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点。估计在以后的高考中不会有太大的改变。
题组设计
再现型题组
1.求数列的前n项和
2.
3.
4.求和
5.（05天津）中
巩固型题组
6.（福建文）“数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）求数列的前项和．
7. 设等差数列的前项和为，
（1）求通项与前项和；
（2）求数列前项和.

8.大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
提高型题组
9.（06湖北)已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为。数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。
10.已知数列的各项为正数，其前n项和，
（I）求之间的关系式，并求的通项公式；
（II）求证
反馈型题组
11.．在数列中，，则项数n为 （ ）
A．9 B．10 C．99 D．100
12．数列的前n项和等于 （ ）
A． B． C． D．
13．设= （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
14．数列1， （ ）
A． B． C． D．
15．数列{}的前n项和 （ ）
A． B． C． D．
16．数列{}的通项公式为则数列{}的前n项和为
（ ）
A． B． C． D．
17. 已知{}的前n项和的值为
18.求下面数列的前n项和
（1） 数列
（2）数列.
（3）数列。
19．数列{}的前n项和为，且满足
（I）求与的关系式，并求{}的通项公式；
（II）求和

§7.4 数列的求和(解答部分)

再现型题组
⒈【提示或答案】设数列的通项为，前项和为，
则

当时，
当时，
【基础知识聚焦】当数列的通项由两部分组成，每一部分都是易于求和的特殊数列，可以用拆项求和的方法。注意在应用等比数列的求和公式时，要对公比分类讨论。
2.【提示或答案】

两式做差得
【基础知识聚焦】解题的关键是抓住式子的结构特征，选择合适的求和方法。若数列为等差数列，为等比数列，则求的和用拆项法，用错位相减，用裂项相消。
【变式与拓展】
【答案】
3.【提示或答案】设数列的通项为，则

【基础知识聚焦】本题用的是裂项相消，这是高考中经常考察的方法，即把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.
【变式与拓展】求数列前n项和
【答案】

4. 【提示或答案】 ①，

②，
①+②得

【基础知识聚焦】选择数列求和的方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然后选定一种求和方法，并作出相应的变换.题目中，又而运用反序求和方法是比较好的想法
【变式与拓展】
已知函数函数。
（1）求m的值；
（2）已知数列满足求
【答案】，.
5.【提示或答案】当为奇数时，；
当为偶数时，.
.
【基础知识聚焦】对通项公式中含有的一类数列，在求时，要注意讨论的奇偶性。
【变式与拓展】试求.
【答案】.
巩固型题组
6.解：（１）
　　　数列是首项为１，公比为３的等比数列：
　　　当时，
（２）当时，；当时，

，又当时，上式也成立。
【点评】本题的求和主要考察了错位相减的方法，这种方法的实质是转化为等比数列求和，这是高考命题的热点，在复习中务必引起充分的重视。
7. 解（1）由，得，
（2）由，得 . 所以当时
，当时

从而
【点评】解题的关键时分清从那一项开始，然后再对讨论。本题容易忽略对的讨论，而直接得出出错。
【变式】则
【答案】
8. 解：设相邻两层楼梯长为a，则

当为奇数时，取时，S达到最小值.
当为偶数时，取时， S达到最大值.
【点评】最值问题转化为函数问题，是解决问题的基本解法，在解题过程中要注意取值的实际意义，即应取正整数，所以对应分情况讨论。

提高型题组
9.解：（I）依题意可设则
由 得 所以
又由点 均在函数的图像上得
当 时
当 时
所以
（II）由（I）得
故，=
因此使得成立的m必须且必须满足即
故满足最小的正整数m为10
【点评】本小题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。
10.（I）①，而②，
①—②得
的等差数列，

（II）

【点评】本题是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，作出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.
课堂小结
数列求和的基本方法：
基本公式法：等差数列求和公式：
等比数列求和公式：
.
错位相消法：一般适应于数列的前向求和，其中成等差数列，成等比数列。
分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.
常见的拆项公式有：
若是公差为的等差数列，则；
；
；
；.
倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。
反馈型题组
11．C 12．B 13．C 14．B 15．D 16．B 17.
18.（1）当n为奇数时，；当n为偶数时，；
（2）
（3）
19. （I）

（II）

- 11 - / 11