第34届全国中学生物理竞赛模拟试题及详细解答.doc

第34届全国中学生物理竞赛模拟试题及详细解答
第34届全国中学生物理竞赛试题模拟
★ 理论部分
y
C
D
v0
l
α
O
x
A l B
一、
A ，B ，C三个刚性小球静止在光滑的水平面上．它们的质量皆为m ，用不可伸长的长度皆为l的柔软轻线相连，AB的延长线与BC的夹角α = π / 3 ，如图所示．在此平面内取正交坐标系Oxy ，原点O与B球所在处重合，x轴正方向和y轴正方向如图．另一质量也是m的刚性小球D位于y轴上，沿y轴负方向以速度v0（如图）与B球发生弹性正碰，碰撞时间极短．设刚碰完后，连接A ，B ，C的连线都立即断了．求碰后经多少时间，D球距A ，B ，C三球组成的系统的质心最近．

二、
为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU（AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 ×1011 m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径Re = 6.37 ×106 m ，地面处的重力加速度g = 9.80 m / s2 ，不考虑空气的阻力．

三、
如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H 、内壁横截面积为S的绝热气缸内，有一质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部分．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸内顶部与A之间串联着两个劲度系数分别为k1和k2（k1≠k2）的轻质弹簧．A的上方为真空；A的下方盛有一定质量的理想气体．已知系统处于平衡状态，A所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为h1 = H / 4 ．现给电炉丝R通电流对气体加热，使A从高度h1开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h2 = 3H / 4 ．求此过程中气体吸收的热量△Q ．已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1 K吸收的热量为3R / 2 ，R为普适气体恒量．在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律．
H

四、
为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式．在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B．绝缘子的结构如图乙所示：在半径为R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R2的半球形导体球壳．已知当导体球与导体球壳间的电压为U时，介质中离球心O的距离为r处的场强为E = ，场强方向沿径向．
A
B
图甲

半球形导体球壳
绝缘层
导体球
图乙

1．已知绝缘子导体球壳的内半径R2 = 4.6 cm ，陶瓷介质的击穿强度Ek = 135 kV / cm ．当介质中任一点的场强E ＞Ek时，介质即被击穿，失去绝缘性能．为使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R1应取什么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？
2．一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有电容C0 ．每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C1（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）；每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容C2 ．若高压输电线对地电压的有效值为U0 ．试画出该系统等效电路图．
3．若C0 = 70 pF = 7 × 10－11 F ，C1 = 5 pF ，C2 = 1 pF ，试计算该系统所能承受的最大电压（指有效值）．

y
G
P
O
d
A
x
五、
如图所示，G为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O为原点，建立一直角坐标系Oxy ，y轴与玻璃管的轴线重合．在x轴上与原点O的距离为d处固定放置一电荷量为Q的正点电荷A ，一个电荷量为q（q＞0）的粒子P位于管内，可沿y轴无摩擦地运动．设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响．
1．求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条件时，可以在y＞0的区域内存在平衡位置．
2．上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量m ．以y（m）表示质量为m的粒子P处于平衡位置时的y坐标．当粒子P处于稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_________________；当粒子P处于不稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_________________（请将填空答案写在答题纸上）．
3．已知质量为m1的粒子P处于稳定平衡位置，其y坐标为y1 ．现给P沿y轴一微小扰动．试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期．
4．已知质量为m2的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为y2 ，现设想把P放在坐标y3 处，然后从静止开始释放P．求释放后P能到达玻璃管底部的所有可能的y3（只要列出y3满足的关系式，不必求解）．

P O1 O2
s
六、
如图所示，一半径为R 、折射率为ng的透明球体置于折射率n0 =1的空气中，其球心位于图中光轴的O处，左、右球面与光轴的交点为O1与O2 ．球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射器．光轴上O1点左侧有一发光物点P ，P点到球面顶点O1的距离为s ．由P点发出的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射．
1．问发光物点P经此反射器，最后的像点位于何处？
2．当P点沿光轴以大小为v的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的速度运动？并说明当球体的折射率ng 取何值时像点亦做匀速运动．

七、
已知钠原子从激发态（记做 P3 / 2）跃迁到基态（记做 S1 / 2）所发出的光谱线波长 λ0 =588.9965 nm ．现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考虑相对论效应），被一束沿z轴负方向传播的波长为 λ = 589.0080 nm 的激光照射．以 θ 表示钠原子运动方向与z轴正方向之间的夹角（如图所示）．问在 30° ＜ θ ＜45° 角度区间内的钠原子中速率u在什么范围内能产生共振吸收，从S1 / 2 态激发到P3 / 2 态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）变化的大小．已知钠原子质量为M = 3.79 × 10－26 kg ，普朗克常量h = 6.626069 × 10－34 J • s ，真空中的光速c = 2.997925 × 108 m • s－1 ．
钠原子
激光束
u
z
θ

第34届全国中学生物理竞赛参考解答
一、
1．分析刚碰后各球速度的方向．由于D与B球发生弹性正碰，所以碰后D球的速度方向仍在y轴上；设其方向沿y轴正方向，大小为v ．由于线不可伸长，所以在D ，B两球相碰的过程中，A ，C两球都将受到线给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对A ，C两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚碰后，A球的速度沿AB方向，C球的速度沿CB方向．用θ表示B球的速度方向与x轴的夹角，则各球速度方向将如图所示．因为此时连接A ，B ，C三球的两根线立即断了，所以此后各球将做匀速直线运动．
2．研究碰撞后各球速度的大小．以v1 ，v2 ，v3 分别表示刚碰后A ，B ，C三球速度的大小，如图所示．因为碰撞过程中动量守恒，所以沿x方向有
mv1－mv3 cosα + mv2 cosθ = 0 ； （1）
沿y方向有
－mv0 = mv － mv2 sinθ －mv3 sinα ． （2）
根据能量守恒有
mv = mv + mv + mv + mv2 ． （3）
因为碰撞过程中线不可伸长，B ，C两球沿BC方向的速度分量相等，A ，B两球沿AB方向的速度分量相等，有
v2 cosθ = v1 ， （4）
v2 cos [ π － ( α + θ ) ] = v3 ． （5）
将α = π / 3代入，由以上各式可解得
v1 = v0 ， （6）
v2 = v0 ， （7）
v3 = v0 ， （8）
v = v0 ． （9）
3．确定刚碰完后，A ，B ，C三球组成的系统质心的位置和速度．由于碰撞时间极短，刚碰后A ，B ，C三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以（xc ，yc）表示此时质心的坐标，根据质心的定义，有
xc = ， （10）
yc = ． （11）
代入数据，得
xc = － l ， （12）
yc = l ． （13）
根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度vc的分量为
vcx = ， （14）
vcy = ． （15）
由（4）～（7）和（14），（15）各式与α值可得
vcx = 0 ， （16）
vcy = － v0 ． （17）
4．讨论碰后A ，B ，C三球组成的系统的质心和D球的运动．刚碰后A ，B ，C三球组成的系统的质心将从坐标（xc = －l / 6 ，yc = l / 6）处出发，沿y轴负方向以大小为5 v0 / 12的速度做匀速直线运动；而D球则从坐标原点O出发，沿y轴正方向以大小为v0 / 4的速度做匀速直线运动．A ，B ，C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动，只要D球与C球不发生碰撞，则vC ，vD不变，质心与D球之间的距离逐渐减少．到y坐标相同处时，它们相距最近．用t表示所求的时间，则有
vt = yc + vcy t （18）
将vcy ，v ，yc的值代入，得
t = ． （19）
此时，D球与A ，B ，C三球组成系统的质心两者相距l / 6 ．在求出（19）式的过程中，假设了在t = l / 4v0时间内C球未与D球发生碰撞．下面说明此假设是正确的；因为v3 = v0 / 3 ，它在x方向分量的大小为v0 / 6．经过t时间，它沿x轴负方向经过的距离为l / 8 ．而C球的起始位置的x坐标为l / 2 ．经t时间后，C球尚未到达y轴，不会与D球相碰．
图1
B
ve

P
rse
A
二、
从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后，仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道．此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的距离可视为不变，仍为日地距离．飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E表示两轨道的交点，如图1所示．图中半径为rse的圆A是地球绕太阳运行的轨道，太阳S位于圆心．设椭圆B是飞船绕日运行的轨道，P为椭圆轨道的近日点．
由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半长轴a应与日地距离rse相等，即有
a = rse （1）
根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a ，由此可以断定，两轨道的交点E必为椭圆短轴的一个顶点，E与椭圆长轴和短轴的交点Q（即椭圆的中心）的连线垂直于椭圆的长轴．由△ESQ ，可以求出半短轴
b = ． （2）
由（1），（2）两式，并将a = rse = 1AU ，= 0.01 AU代入，得
b = 0.141AU ． （3）
在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒的．设飞船在E点的速度为v ，在近日点的速度为vp ，飞船的质量为m ，太阳的质量为Ms ，则有
mva sinθ = mvp ， （4）
式中θ为速度v的方向与E ，S两点连线间的夹角：
sinθ = ． （5）
由机械能守恒，得
mv2 －G = mv － ． （6）
因地球绕太阳运行的周期T是已知的（T = 365 d），若地球的质量为Me ，则有
G = Me ( )2a ． （7）
解（3）～（7）式，并代入有关数据，得
v = 29.8 km / s ． （8）
（8）式给出的v是飞船在E点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从E点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度．若在E点飞船相对地球的速度为u ，因地球相对于太阳的公转速度为
ve = = 29.8 km / s ， （9）
方向如图1所示．由速度合成公式，可知
v = u + ve ， （10）
图2
速度合成的矢量图如图2所示，注意到ve与垂直，有

u = ， （11）
代入数据，得
u = 39.1 km / s ． （12）
u是飞船在E点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度u0 ．为了求得u0 ，可以从与地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动．因飞船相对于地球的发射速度为u0时，飞船离地心的距离等于地球半径Re ．当飞船相对于地球的速度为u时，地球引力作用可以忽略．由能量守恒，有
mu －G = mu2 ． （13）
地面处的重力加速度为
g = G ， （14）
解（13），（14）两式，得
u0 = ． （15）
由（15）式与有关数据，得
u0 = 40.7 km / s ． （16）
如果飞船在E点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，则（11）式要做相应的改变．此时，它应为
u = ， （17）
相应计算，可得另一解
u = 45.0 km / s ， u0 = 46.4 km / s ． （18）
如果飞船进入椭圆轨道的地点改在E点的对称点处（即地球绕日轨道与飞船绕日轨道的另一个交点上），则计算过程相同，结果不变．
三、
两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数
k = ． （1）
设活塞A下面有νmol气体．当A的高度为h1时，气体的压强为p1 ，温度为T1 ．由理想气体状态方程和平衡条件，可知
p1Sh1 = vRT1 ， （2）
p1S = kh1 + mg ． （3）
对气体加热后，当A的高度为h2时，设气体压强为p2 ，温度为T2 ．由理想气体状态方程和平衡条件，可知
p2Sh2 = vRT2 ， （4）
p2S = kh2 + mg ． （5）
在A从高度h1上升到h2的过程中，气体内能的增量
△U = vR ( T2－T1 ) ． （6）
气体对弹簧、活塞系统做的功W等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即
W = k ( h－h ) + mg (h2－h1 ) ． （7）
根据热力学第一定律，有
△Q =△U + W ． （8）
由以上各式与已知数据可求得
△Q = H2 + mgH ． （9）
四、
1．根据题意，当导体球与导体球壳间的电压为U时，在距球心r（R1＜ r ＜R2）处，电场强度的大小为
E = ． （1）
在r = R1 ，即导体球表面处，电场强度最大．以E（R1）表示此场强，有
E ( R1) = ． （2）
因为根据题意，E（R1）的最大值不得超过Ek ，R2为已知，故（2）式可写为
Ek = （3）
或
U = Ek ． （4）
由此可知，选择适当的R1值，使(R2－R1) R1最大，就可使绝缘子的耐压U为最大．不难看出，当
R1 = （5）
时，U便是绝缘子能承受的电压的最大值Uk ．由（4），（5）两式得
Uk = ， （6）
代入有关数据，得
Uk = 155 kV ． （7）
当交流电压的峰值等于Uk时，绝缘介质即被击穿．这时，对应的交流电压的有效值
Ue = 110 kV ． （8）
2．系统的等效电路如图所示．
U0
C2
C2
C2
C2
C1
C1
C1
C1
C0
C0
C0
C0

3．设绝缘子串中间三点的电势分别为U1 ，U2 ，U3 ，如图所示．由等效电路可知，与每个中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零，即有
（9）
U0
C2
C2
C2
C2
C1
C1
C1
C1
C0
C0
C0
C0
U1
U2
U3

四个绝缘子上的电压之和应等于U0 ，即
( U0－U1 ) + ( U1－U2 ) + ( U2－U3 ) + U3 = U0 ． （10）
设
△U1 = U0－U1 ， △U2 = U1－U2 ，△U3 = U2－U3 ，△U4 = U3 ， （11）
则可由（9）式整理得

代入数据，得
（12）
解（12）式，可得
△U1 = 0.298 U0 ， △U2 = 0.252 U0 ，△U3 =0.228 U0 ． （13）
由（10）～（12）式可得
△U4 =U3 = 0.222 U0 ． （14）
以上结果表明，各个绝缘子承受的电压不是均匀的；最靠近输电线的绝缘子承受的电压最大，此绝缘子最容易被击穿．当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值
△U1 =Ue （15）
时，此绝缘子被击穿，整个绝缘子串损坏．由（8），（13）和（15）三式可知，绝缘子串承受的最大电压
U0max = = 369 kV ． （16）
y
G
P
mg
r
O
d
x
A
FEy
五、
1．如图所示，位于坐标y处的带电粒子P受到库仑力FE为斥力，其y分量为
FEy = k sinθ = k ， （1）
式中r为P到A的距离，θ为r与x轴的夹角．可以看出，FEy与y有关：当y较小时，（1）式分子中的y起主要作用，FEy随y的增大而增大；当y较大时，（1）式分母中的y起主要作用，FEy随y的增大而减小．可见，FEy在随y由小变大的过程中会出现一个极大值．通过数值计算法，可求得FEy随y变化的情况．令= y / d ，得
FEy = k ． （2）
当取不同数值时，对应的( 1 +2)－3 / 2的值不同．经数值计算，整理出的数据如表1所示．
表1

0.100
0.500
0.600
0.650
0.700
0.707
0.710
0.750
0.800
( 1 +2)－3 / 2
0.0985
0.356
0.378
0.382
0.385
0.385
0.385
0.384
0.381

由表中的数据可知，当= 0.707，即
y = y0 = 0.707d （3）
时，库仑力的y分量有极大值，此极大值为
FEymax = 0.385k ． （4）
由于带电粒子P在竖直方向除了受到竖直向上的FEy 作用外，还受到竖直向下的重力mg作用．只有当重力的大小mg与库仑力的y分量相等时，P才能平衡．当P所受的重力mg大于FEymax时，P不可能达到平衡．故质量为m的粒子存在平衡位置的条件是
mg ≤FEymax ．
由（4）式得
m ≤ k ． （5）
2．y (m) ＞ 0.707d ；0＜y (m)≤0.707d ．
3．根据题意，当粒子P静止在y = y1处时，处于稳定平衡位置，故有
－m1g = 0 ． （6）
设想给粒子P沿y轴的一小扰动△y ，则P在y方向所受的合力为
Fy = FEy －m1g = k －m1g ． （7）
由于△y为一小量，可进行近似处理，忽略高阶小量，有
Fy = k －m1g
= k ( 1 － )－m1g
= k + k － k － m1g ．
注意到（6）式，得
Fy = － △y ． （8）
因y = y1是粒子P的稳定平衡位置，故y1＞0.707d ，2y－d2＞0 ．由（8）式可知，粒子P在y方向受到合力具有恢复力的性质，故在其稳定平衡位置附近的微小振动是简谐运动；其圆频率为
ω= ， （9）
周期为
T = =2π． （10）
4．粒子P处在重力场中，具有重力势能；它又处在点电荷A的静电场中，具有静电势能．当P的坐标为y时，其重力势能
Wg = m2gy ，
式中取坐标原点O处的重力势能为零；静电势能
WE = k ．
粒子的总势能
W = Wg + WE = m2gy + k ． （11）
势能也与P的y坐标有关：当y较小时，静电势能起主要作用，当y较大时，重力势能起主要作用．在P的稳定平衡位置处，势能具有极小值；在P的不稳定平衡位置处，势能具有极大值．根据题意，y = y2处是质量为m2的粒子的不稳定平衡位置，故y = y2处，势能具有极大值，即
W ( y2 ) = Wmax = m2gy2 + k ． （12）
当粒子P的坐标为y3时，粒子的势能为
W ( y3 ) = m2gy3 + k ．
当y3 ＜ y2时，不论y3取何值，粒子从静止释放都能到达管底．若y3 ＞ y2 ，粒子从静止释放能够到达管底，则有
W ( y3 ) ＞ W ( y2 ) ．
所以，y3满足的关系式为
y3 ＜ y2 ； （13）
或者
y3 ＞ y2 且 m2gy3 + k ＞ m2gy2 + k ． （14）
附：（1）式可表示为
FEy = k sinθ = k cos2θsinθ ，
式中θ为P，A之间的连线和x轴的夹角．由上式可知，带电粒子P在 θ = 0 ，π / 2时，FEy = 0 ．在0 ≤ θ ≤ π / 2区间，随着θ的增大，sinθ是递增函数，cos2θ是递减函数．在此区间内，FEy必存在一个极大值FEymax ；用数值法求解，可求得极大值所对应得角度θ0 ．经数个计算整理出的数据如表2所示．
表2
θ / rad
0. 010
0.464
0.540
0.576
0.611
0.615
0.617
0.644
0.675
cos2θsinθ
0.029
0.367
0.378
0.383
0.385
0.385
0.385
0.384
0.381

由表中数值可知，当θ = θ0≈0.615 rad（即35.26°）时，FEy取极大值
FEymax = k cos2θ0sinθ0 = 0.385 k ．
带电粒子P在竖直方向上还受到重力G的作用，其方向与FEy相反．故带电粒子P受到的合力
F = FEy －G = k cos2θsinθ －mg ．
当F = 0 ，即FEy = G 时，P处于平衡状态．由此可见，当带电粒子的质量
m ≤ =
时，可以在y轴上找到平衡点．
六、
1．单球面折射成像公式可写成
+ = ， （1）
式中s为物距，s′ 为像距，r为球面半径，n和n′ 分别为入射光和折射光所在介质的折射率．
在本题中，物点P经反射器的成像过程是：先经过左球面折射成像（第一次成像）；再经右球面反射成像（第二次成像）；最后再经左球面折射成像（第三次成像）．
（1）第一次成像．令s1和s′1分别表示物距和像距．因s1 = s ，n = n0 = 1 ，n′ = ng ，r = R ，有
+ = ， （2）
即
s′1 = ． （3）
（2）第二次成像．用s2 表示物距，s′2 表示像距，有
+ = ． （4）
因s2 = 2R －s′1 ，r = R ，由（3），（4）两式得
s′2 = ． （5）
（3）第三次成像．用s3 表示物距，s′3 表示像距，有
+ = ． （6）
因s3 = 2R －s′2 ，n0 = 1 ，r = －R ，由（5），（6）两式得
s′3 = ． （7）
2．以 v′ 表示像的速度，则
（8）
由于△s 很小，分母中含有△s的项可以略去，因而有
v′ = ． （9）
根据题意，P从左向右运动，速度大小为 v ，则有
v = － ． （10）
由此可得，像的速度
v′ = ． （11）
可见，像的速度与 s 有关，一般不做匀速直线运动，而做变速直线运动．当
n =2 （12）
时，（11）式分母括号中的头两项相消，v′ 将与 s 无关．这表明像也将做匀速直线运动；而且（11）式变为 v′ = v ，即像的速度和P的速度大小相等．
七、
解法一．根据已知条件，射向钠原子的激光的频率

v = ． （1）
对运动方向与 z 轴正方向的夹角为 θ 、速率为 u 的钠原子，由于多普勒效应，它接收的激光频率
v′ = v ( 1 + cosθ )； （2）
改用波长表示，有
λ′ = ． （3）
发生共振吸收时，应有 λ′ = λ0 ，即
= λ0 ． （4）
解（4）式，得
ucosθ = c ； （5）
代入有关数据，得
ucosθ = 5.85 × 103 m • s－1 ． （6）
由（6）式，对 θ =30° 的钠原子，其速率
u1 = 6.76 × 103 m • s－1 ；
对 θ = 45° 的钠原子，其速率
u2 = 8.28 × 103 m • s－1 ．
运动方向与 z 轴的夹角在 30°～45° 区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为
6.76 × 103 m • s－1 ＜ u ＜8.28 × 103 m • s－1 ． （7）
共振吸收前后，动量守恒．设钠原子的反冲速率为 V ，则有
Mu － ez = MV ． （8）
其中 ez 为 z 轴方向的单位矢量．由（8）式得
u －V = ez ． （9）
钠原子速度（矢量）变化的大小为
| u －V | = ； （10）
代入数据，得
| u －V | = 2.9 × 10－2 m • s－1 ． （11）
解法二．根据已知条件，钠原子从激发态 P3 / 2 跃迁到基态 S1 / 2 发出的光谱线的频率
v0 = ； （1）
入射激光的频率
v = ． （2）
考查运动方向与 z 轴的正方向成 θ 角的某个钠原子．它在共振吸收过程中动量守恒，能量守恒．以 u 表示该钠原子在共振吸收前的速度，V 表示该钠原子共振吸收后的速度，则有
Mu － ez = MV ， （3）
Mu2 + hv = MV2 + hv0 ． （4）
把（3）式写成分量形式，并注意到共振吸收前后钠原子在垂直于 z 轴方向的动量不变，有
Musinθ = MVsinθ′ ， （5）
Mucosθ － = MVcosθ′ ， （6）
式中θ′ 为激发态钠原子速度方向与 z 轴正方向的夹角．从（5），（6）两式中消去θ′ ，得
M2u2 －M2V2 = － () 2 + 2Mucosθ ． （7）
由（4），（7）两式可得
2hv0 －2hv = － ()2 + 2hvcosθ ． （8）
注意到( hv / c )2M ，得
v0 = v ( 1 + cosθ )； （9）
改用波长表示，有
λ0 = ． （10）
解（10）式，得
ucosθ = c ； （11）
代入有关数据，得
ucosθ = 5.85 × 103 m • s－1 ． （12）
由（12）式，对 θ =30° 的钠原子，其速率
u1 = 6.76 × 103 m • s－1 ；
对 θ = 45° 的钠原子，其速率
u2 = 8.28 × 103 m • s－1 ．
运动方向与 z 轴的夹角在 30°～45° 区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为
6.76 × 103 m • s－1 ＜ u ＜8.28 × 103 m • s－1 ． （13）
由（3）式可知，钠原子共振吸收前后速度（矢量）的变化为
u －V = ez ， （14）
速度（矢量）大小的变化为
| u －V | = ； （15）
代入数据，得
| u －V | = 2.9 × 10－2 m • s－1 ． （16）
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