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高二周末检测题
一、选择题
1．下面四个命题：
①分别在两个平面内的两直线是异面直线；
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．
其中正确的命题是( )
A．①② B．②④ C．①③ D．②③
2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能
3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )
A．三条交线为异面直线 B．三条交线两两平行
C．三条交线交于一点 D．三条交线两两平行或交于一点
4. 在空间四边形各边上分别取四点，如果与 能相交于点，那么 （ ）
A、点必在直线上 B、点必在直线BD上
C、点必在平面内 D、点必在平面外
5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题是( )
A．过点P且垂直于α的直线平行于β B．过点P且垂直于l的直线在α内
C．过点P且垂直于β的直线在α内 D．过点P且垂直于l的平面垂直于β
6．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )
A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：
①EF⊥AA1； ②EF∥AC； ③EF与AC异面； ④EF∥平面ABCD.
其中一定正确的有( )
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( )
A．5 B．8
C．10 D．6
9．如右图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD 的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( )
A．与AC、MN均垂直相交
B．与AC垂直，与MN不垂直
C．与MN垂直，与AC不垂直
D．与AC、MN均不垂直
10、如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1 和
CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为( )
A、 B、 C、 D、
11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点 E、F，且EF＝，则下列结论错误的是( )
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A—BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
13、已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形
一定是 .
14．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的平面角大小为 .
15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．
使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：
(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.
16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面
交AA′于E，交CC′于F，则
①四边形BFD′E一定是平行四边形．
②四边形BFD′E有可能是正方形．
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)
三、解答题
17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，
点E、F分别是AB、BD的中点．
求证：(1)直线EF∥面ACD.
(2)平面EFC⊥平面BCD.
18．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形
ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角P－AM－D的大小．
19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角
形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
20．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，
P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
21．如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是边长为1的正方
形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥底面ABC；
(2)求证：AC⊥平面EBC；
(3)求几何体ADEBC的体积V.
高二周末检测题答
一、选择题 1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC
二、填空题
13、菱形 14、90° 15、(1)BD⊥CD (2)60° 16、①③④
三、解答题
17、证明：(1)∵E、F分别是AB、BD的中点，
∴EF∥AD.
又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，
∴直线EF∥面ACD.
(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，
∴EF⊥BD.
在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.
∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，
又∵BD⊂平面BCD，
∴平面EFC⊥平面BCD.
18、[解析] (1)证明：如图所示，取CD的中点E，
连接PE，EM，EA，
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝.
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝，AM＝，AE＝3，
∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.
又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.
(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．
∴tan∠PME＝＝＝1，∴∠PME＝45°.
∴二面角P－AM－D的大小为45°.
19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．
[证明] (1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.
又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
20.(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，
所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，
又PQ⊄平面ACD，
从而PQ∥平面ACD.
(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.
因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，
所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.
故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，
所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，
因此DP⊥平面ABE，
∠DAP为AD和平面ABE所成的角，
在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，
sin∠DAP＝，
因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.
21[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.
[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．
∵ADEB为正方形，
∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，
又G是EC的中点，
∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.
又∵AC＝BC＝AB，
∴CA2＋CB2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.
(3)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝AB＝，
∴CH⊥AB，且CH＝，又平面ABED⊥平面ABC
∴GH⊥平面ABCD，∴V＝×1×＝.
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