广西柳州市铁路一中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析.doc

2016-2017学年广西柳州市铁路一中高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（注意：在试卷上作答无效）
1．设U=R，P={x|x＞1}，Q={x|x（x﹣2）＜0}，则∁U（P∪Q）=（　　）
A．{x|x≤1或x≥2} B．{x|x≤1} C．{x|x≥2} D．{x|x≤0}
2．i为虚数单位，复平面内表示复数z=的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知a，b∈R，那么a+b≠0的一个必要而不充分条件是（　　）
A．ab＞0 B．a＞0且b＞0 C．a+b＞3 D．a≠0或b≠0
4．过抛物线x2=4y的焦点且与其对称轴垂直的弦AB的长度是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．已知sinx+cosx=（0≤x＜π），则tanx的值等于（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
6．如图是导函数y=f′（x）的图象，则原点的函数值是（　　）

A．导函数y=f′（x）的极大值 B．函数y=f（x）的极小值
C．函数y=f（x）的极大值 D．导函数y=f′（x）的极小值
7．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．1
8．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（　　）
A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C． D．
9．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
10．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（　　）

A．34+6 B．6+6+4 C．6+6+4 D．17+6
11．已知双曲线方程为，离心率为2，F1、F2分别是它的左、右焦点，A是它的右顶点，过F1作一条斜率为k（k≠0）的直线与双曲线交于两个点M、N，则∠MAN为（　　）
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．锐角、直角、钝角都有可能
12．函数f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx（a∈R），则下列说法不正确的命题个数是（　　）
①当a＜0时，函数y=f（x）有零点；
②若函数y=f（x）有零点，则a＜0；
③存在a＞0，函数y=f（x）有唯一的零点；
④若a≤1，则函数y=f（x）有唯一的零点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无效）
13．函数f（x）=的值域为　　．
14．若不等式组，所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是　　．
15．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，求a的取值范围．
16．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为　　．

三、解答题：本大题共6题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（注意：在试卷上作答无效）
17．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB
（Ⅰ）求∠B的大小
（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．
18．在等差数列{an}中，a4=﹣12，a8=﹣4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）从数列{an}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，，构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前n项和．
19．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x（°C）
10
11
13
12
8
6
就诊人数y（个）
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想？
参考公式：b==，a=．
20．在梯形ABCD中AB∥CD，AD=CD=CB=2，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．

21．（Ⅰ） 在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，当P在圆上运动时，求线段PD的中点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为曲线为C，斜率为k（k≠0）的直线l交曲线C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，记直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，当3（k1+k2）=8k时，证明：直线l过定点．
22．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；
（2）设函数y=f（x）的图象被点P（2，f（2））分成的两部分为c1，c2（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，且c1，c2分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．

2016-2017学年广西柳州市铁路一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（注意：在试卷上作答无效）
1．设U=R，P={x|x＞1}，Q={x|x（x﹣2）＜0}，则∁U（P∪Q）=（　　）
A．{x|x≤1或x≥2} B．{x|x≤1} C．{x|x≥2} D．{x|x≤0}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由集合P={x|x＞1}，Q={x|x（x﹣2）＜0}，知P∪Q，再由全集U=R，能求出∁U（P∪Q）．
【解答】解：∵P={x|x＞1}，Q={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，
∴P∪Q={x|x＞0}，
又U=R，
∴∁U（P∪Q）={x|x≤0}．
故选：D．

2．i为虚数单位，复平面内表示复数z=的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成最简形式，写出在复平面上对应的点的坐标，确定点的位置．
【解答】解：复数z====﹣﹣i，
∴复数对应的点的坐标是（﹣，﹣）
∴复数在复平面中对应的点在第三象限，
故选C．

3．已知a，b∈R，那么a+b≠0的一个必要而不充分条件是（　　）
A．ab＞0 B．a＞0且b＞0 C．a+b＞3 D．a≠0或b≠0
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据题意，结合充分、必要条件的定义，依次分析选项，分析使a+b≠0成立的必要不充分条件，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、若ab＞0，则a、b同号且都不为0，则有a+b≠0，
若a+b≠0，a、b可以异号，则ab＞0不一定成立，
即ab＞0是a+b≠0的充分不必要条件，不合题意；
对于B、若a＞0且b＞0，则必有a+b≠0，
若a+b≠0，a、b可以异号，则a＞0且b＞0不一定成立，
即a＞0且b＞0是a+b≠0的充分不必要条件，不合题意；
对于C、若a+b＞3，则必有a+b≠0，
若a+b≠0，a+b可能为负值，则a+b＞3不一定成立，
即a+b＞3是a+b≠0的必要不充分条件，符合题意；
对于D、若a≠0或b≠0，则a+b≠0不一定成立，
反之a+b≠0，a≠0或b≠0不一定成立，
则a≠0或b≠0是a+b≠0成立的既不充分也不必要条件，不合题意；
故选：C．

4．过抛物线x2=4y的焦点且与其对称轴垂直的弦AB的长度是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，y=1时，x=±2，即可得出结论．
【解答】解：由题意，抛物线的焦点坐标为（0，1）．
y=1时，x=±2，∴过抛物线x2=4y的焦点且与其对称轴垂直的弦AB的长度是4，
故选C．

5．已知sinx+cosx=（0≤x＜π），则tanx的值等于（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】先根据sinx+cosx的值和二者的平方关系联立求得cosx的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得sinx的值，最后利用商数关系求得tanx的值．
【解答】解：由sinx+cosx=，得sinx=﹣cosx，代入sin2x+cos2x=1，
得：（5cosx﹣4）（5cosx+3）=0，
∴cosx=或cosx=﹣，当cosx=时，得sinx=﹣，
又∵0≤x＜π，
∴sinx≥0，故这组解舍去；
∴当cosx=﹣时，sinx=，tanx=﹣．
故选：B．

6．如图是导函数y=f′（x）的图象，则原点的函数值是（　　）

A．导函数y=f′（x）的极大值 B．函数y=f（x）的极小值
C．函数y=f（x）的极大值 D．导函数y=f′（x）的极小值
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】由导函数y=f′（x）的图象，可知函数在0处导数为0，且左正右负，所以原函数在0的左边单调增，右边单调递减，从而可得结论．
【解答】解：由导函数y=f′（x）的图象，可知函数在0处导数为0，且左正右负，所以原函数在0的左边单调增，右边单调递减，
所以原点的函数值是函数y=f（x）的极大值．
故选C．

7．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．
【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x
∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2
∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0
令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=
∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=
故选A

8．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（　　）
A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】先根据a2=2，a5=，求出公比q，再根据{anan+1}为等比数列，根据求和公式得到答案．
【解答】解：∵{an}是等比数列，a2=2，a5=a2q3=2•q3=，
∴则q=，a1=4，a1a2=8，
∵=q2=，
∴数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列，
∴a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1==（1﹣4﹣n）．
故选：C．

9．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】奇函数；函数的周期性．
【分析】由题意得 =f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．
【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），
∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，
故选：A．

10．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（　　）

A．34+6 B．6+6+4 C．6+6+4 D．17+6
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果．
【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，
矩形的长和宽分别是6，2
底面上的高与底面交于底面一条边的中点，
四棱锥的高是4，
∴四棱锥的表面积是2×6++=34+6，
故选A．

11．已知双曲线方程为，离心率为2，F1、F2分别是它的左、右焦点，A是它的右顶点，过F1作一条斜率为k（k≠0）的直线与双曲线交于两个点M、N，则∠MAN为（　　）
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．锐角、直角、钝角都有可能
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由于，可得c2=4a2=a2+b2，得到b2=3a2．双曲线方程，可表示为3x2﹣y2=3a2．设点M（x1，y1），N（x2，y2）．直线MN的方程为y=k（x+c），与双曲线的方程联立得到根与系数的关系，再利用数量积即可得出．
【解答】解：∵，∴c2=4a2=a2+b2，得到b2=3a2．双曲线方程，可表示为3x2﹣y2=3a2．
设点M（x1，y1），N（x2，y2）．直线MN的方程为y=k（x+c），联立，化为（3﹣k2）x2﹣2k2cx﹣k2c2﹣3a2=0．
∵3﹣k2≠0，△＞0，∴，．
∴=（x1﹣a，y1）•（x2﹣a，y2）=（x1﹣a）（x2﹣a）+y1y2=+k2（x1+c）（x2+c）
=（1+k2）x1x2+（k2c﹣a）（x1+x2）+c2k2+a2
=++c2k2+a2
=+=0．
∴．
∴∠MAN=90°．
故选B．

12．函数f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx（a∈R），则下列说法不正确的命题个数是（　　）
①当a＜0时，函数y=f（x）有零点；
②若函数y=f（x）有零点，则a＜0；
③存在a＞0，函数y=f（x）有唯一的零点；
④若a≤1，则函数y=f（x）有唯一的零点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】利用导数研究函数的单调性；命题的真假判断与应用；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．
【分析】先将函数进行参变量分离，得到2a=，令g（x）=，转化成y=2a与y=g（x）的图象的交点个数，利用导数得到函数的单调性，结合函数的图象可得结论．
【解答】解：令f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx=0，则2a（x+lnx）=x2，
∴2a=，令g（x）=，
则g′（x）==
令h（x）=x+lnx，通过作出两个函数y=lnx及y=﹣x的图象（如右图）
发现h（x）有唯一零点在（0，1）上，
设这个零点为x0，当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上单调递减，x=x0是渐近线，
当x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，则g（x）在（x0，1）上单调递减，
当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，
∴g（1）=1，可以作出g（x）=的大致图象，
结合图象可知，当a＜0时，y=2a与y=g（x）的图象只有一个交点，
则函数y=f（x）只有一个零点，故①正确；
若函数y=f（x）有零点，则a＜0或a≥，故②不正确；
存在a=＞0，函数y=f（x）有唯一零点，故③正确；
若函数y=f（x）有唯一零点，则a＜0，或a=，则a≤1，故④正确．
故选：B．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无效）
13．函数f（x）=的值域为　（﹣∞，2）　．
【考点】对数函数的值域与最值；函数的值域．
【分析】通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域，然后取并集得到原函数的值域．
【解答】解：当x≥1时，f（x）=；
当x＜1时，0＜f（x）=2x＜21=2．
所以函数的值域为（﹣∞，2）．
故答案为（﹣∞，2）．

14．若不等式组，所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是　　．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可
【解答】解：不等式组，所表示的平面区域如图示：
由图可知，直线y=kx+恒经过点A（0，），当直线y=kx+再经过BC的中点D（，）时，平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，
当x=，y=时，代入直线y=kx+的方程得：
k=；
故答案为：

15．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，求a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据函数的奇偶性，求出函数的解析式，根据不等式恒成立即可得到结论．
【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）≥a+1对一切x≥0成立，
∴f（0）=0≥a+1，即a≤﹣1，
当x＞0，则﹣x＜0，
∵当x＜0时，f（x）=9x++7，
∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=﹣9x﹣+7=﹣f（x），
则f（x）=9x+﹣7，
∵f（x）=9x+﹣7≥，
∴由6|a|﹣7≥a+1，即6|a|﹣a≥8
当a≥0，则不等式等价为5a≥8，即a≥，成立．
当a＜0，则不等式等价为﹣7a≥8，即a≤﹣，
综上：a≥或a≤﹣．
∵a≤﹣1，
∴a≤﹣．

16．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为　13π　．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题．
【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．
【解答】解：∵圆M的面积为4π
∴圆M的半径为2
根据勾股定理可知OM=2
∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N
∴∠OMN=30°，
在直角三角形OMN中，ON=，∴圆N的半径为
∴圆的面积为13π
故答案为：13π

三、解答题：本大题共6题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（注意：在试卷上作答无效）
17．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB
（Ⅰ）求∠B的大小
（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）根据正弦定理得： ===2R解出a、b、c代入到已知条件中，利用两角和的正弦函数的公式及三角形的内角和定理化简，得到cosB的值，然后利用特殊角的三角函数值求出B即可；
（Ⅱ）要求三角形的面积，由三角形的面积公式S=acsinB知道就是要求ac的积及sinB，由前一问的cosA的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinA，可根据余弦定理及、a+c=4可得到ac的值，即可求出三角形的面积．
【解答】解（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB﹣cosBsinC
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）
又在三角形ABC中，sin（B+C）=sinA≠0
∴2sinAcosB=sinA，即，得
（Ⅱ）∵b2=7=a2+c2﹣2accosB
∴7=a2+c2﹣ac
又∵（a+c）2=16=a2+c2+2ac
∴ac=3
∴
即

18．在等差数列{an}中，a4=﹣12，a8=﹣4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）从数列{an}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，，构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前n项和．
【考点】等差数列的性质；数列的求和．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解；
（2）确定数列{bn}的通项，利用等比数列的求和公式，即可求解．
【解答】解：（1）设公差为d，则
∵等差数列{an}中，a4=﹣12，a8=﹣4，
∴公差d==2，
∴an=a4+2（n﹣4）=2n﹣20；
（2）记数列{bn}的前n项和为Tn，由题意可知bn==2n﹣20
∴Tn=（2+22+…+2n）﹣20n
=﹣20n=2n+1﹣20n﹣2．

19．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x（°C）
10
11
13
12
8
6
就诊人数y（个）
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想？
参考公式：b==，a=．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．
（2）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．
（3）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．
【解答】解：（1）设柚到相邻两个月的教据为事件A．因为从6组教据中选取2组教据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月份的教据的情况有5种，所以．
（2）由教据求得，由公式求得，再由．
所以y关于x的线性回归方程为．
（3）当x=10时，；同样，当x=6时，，
所以该小组所得线性回归方程是理想的．

20．在梯形ABCD中AB∥CD，AD=CD=CB=2，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，推导出∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角，由此能求出二面角B﹣EF﹣D的平面角余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=a，∠ABC=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=90°，∴AC⊥BC，
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．
解：（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，
由题意得DE=DF，∴DG⊥EF，
∵BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，
又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，
又∵GH∥FB，∴EF⊥GH，
∴∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角．
在△BDE中，DE=2，DB=2，BE==2，
∴BE2=DE2+DB2，∴∠EDB=90°，∴DH=，
又DG=，GH=，∴在△DGH中，由余弦定理得cos∠DGH==，
即二面角B﹣EF﹣D的平面角余弦值为．

21．（Ⅰ） 在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，当P在圆上运动时，求线段PD的中点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为曲线为C，斜率为k（k≠0）的直线l交曲线C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，记直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，当3（k1+k2）=8k时，证明：直线l过定点．
【考点】直线与椭圆的位置关系；轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）设点Q（x，y），P（x0，y0），则x=x0，y=，由x0+y0=4可得x2+4y2=4，即可得答案；
（Ⅱ）依题意可设直线l的方程为x=my+n，代入椭圆方程得：（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出结论．
【解答】（Ⅰ）解：设点Q（x，y），P（x0，y0），
则x=x0，y=．
由x0+y0=4可得x2+4y2=4，即．
∴线段PD的中点Q的轨迹方程为：．
（Ⅱ）证明：依题意可设直线l的方程为x=my+n，
代入椭圆方程得：（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，
则，
∴==
=，
由条件有，得．
则直线l的方程为，从而直线l过定点（0，）或（0，）．

22．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；
（2）设函数y=f（x）的图象被点P（2，f（2））分成的两部分为c1，c2（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，且c1，c2分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数只需要2ax2+x﹣1≤0对任意的x》0恒成立⇔成立，利用二次函数的性质可求得a的取值范围；
（2）依题意可求得f（x）在点x=2处的切线l方程，假设满足条件的a存在，令，对a分类讨论，利用导数工具研究它的性质，利用g′（x）的单调性即可分析判断a是否存在．
【解答】解：（1），…
只需要2ax2+x﹣1≤0，即，
所以．…
（2）因为．
所以切线l的方程为．
令，则g（2）=0.．…
若a=0，则，
当x∈（0，2）时，g'（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，
所以g（x）≤g（2）=0，c1，c2在直线l同侧，不合题意；…
若a≠0，，
若，，g（x）是单调增函数，
当x∈（2，+∞）时，g（x）＞g（2）=0；当x∈（0，2）时，g（x）＜g（2）=0，符合题意；…
若，当时，g'（x）＜0，g（x）＞g（2）=0，
当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）＞g（2）=0，不合题意； …
若，当时，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，
当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，不合题意； …
若a＞0，当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，
当x∈（2．+∞）时，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，不合题意．
故只有符合题意． …

2017年2月22日