高一数学上期末试卷.doc

高一（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．若角α与角β终边相同，则一定有（　　）
A．α+β=180° B．α+β=0°
C．α﹣β=k360°，k∈Z D．α+β=k360°，k∈Z
2．已知集合M={x|≤1}，N={x|y=lg（1﹣x）}，则下列关系中正确的是（　　）
A．（∁RM）∩N=∅ B．M∪N=R C．M⊇N D．（∁RM）∪N=R
3．设α是第二象限角，且cos=﹣，则是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4．下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（　　）
A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|
5．已知tanα=﹣，且tan（α+β）=1，则tanβ的值为（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣ D．
6．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，向上平移1个单位，得到的函数解析式为（　　）A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1
C．y=sin（2x+）+1 D．y=sin（2x﹣）+1
7．函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（　　）
A．y=﹣4sin（x﹣） B．y=4sin（x﹣）
C．y=﹣4sin（x+） D．y=4sin（x+）
8．在△ABC中，已知lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
9．已知函数f（x）=loga（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=ax+b的大致图象是（　　）

A． B． C． D．
10．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上任意n个值x1，x2，…xn总满足 ≤f（），则称f（x）为D的凸函数，现已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．3
11．已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
12．已知函数且函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．[－1,0)
C．[－1，＋∞) D．[－2，＋∞)　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设是奇函数，则a+b的取值范围是　　　　　　．
14．函数y=3sin（x+10°）+5sin（x+70°）的最大值为　　　　　　．
15．已知奇函f（x）数满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=﹣2x，则f（log210）等于　　　　　　．
16．给出下列命题：
①存在实数x，使得sinx+cosx=；
②函数y=2sin（2x+）的图象关于点（，0）对称；
③若函数f（x）=ksinx+cosx的图象关于点（，0）对称，则k=﹣1；
④在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，则四边形ABCD的形状一定是矩形．
则其中正确的序号是　　　　　　（将正确的判断的序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知cos（α﹣）=，sin（+β）=，且β∈（0，），α∈（，），求sin（α+β）的值．
18．设幂函数f（x）=（a﹣1）xk（a∈R，k∈Q）的图象过点．
（1）求k，a的值；
（2）若函数h（x）=﹣f（x）+2b+1﹣b在上的最大值为3，求实数b的值．
19．已知函数f（x）=2﹣2cos2（+x）﹣cos2x
（1）求函数f（x）在x∈时的增区间；
（2）求函数f（x）的对称轴；
（3）若方程f（x）﹣k=0在x∈[，]上有解，求实数k的取值范围．
20．已知函数 的部分图像如图所示.
（1） 求函数的解析式.
（2） 求函数的单调递增区间.
（3） 若方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围，并写出所有根之和。

21.已知函数（，且为自然对数的底数）.
（1） 判断函数的单调性与奇偶性；
（2） 是否存在实数，使不等式对一切都成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
22.函数在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时，；当时，
(1)求出此函数的解析式；
(2)求该函数的单调递增区间；
(3)是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围(或值)，若不存在，请说明理由．

高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．若角α与角β终边相同，则一定有（　　）
A．α+β=180° B．α+β=0°
C．α﹣β=k360°，k∈Z D．α+β=k360°，k∈Z
【考点】终边相同的角．
【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值．
【分析】根据终边相同的角的表示方法，直接判断即可．
【解答】解：角α与角β终边相同，则α=β+k360°，k∈Z，
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查终边相同的角的表示方法，定义题．

2．已知集合M={x|≤1}，N={x|y=lg（1﹣x）}，则下列关系中正确的是（　　）
A．（∁RM）∩N=∅ B．M∪N=R C．M⊇N D．（∁RM）∪N=R
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，即可做出判断．
【解答】解：M中的不等式，当x＞0时，解得：x≥1；当x＜0时，解得：x≤1，即x＜0，
∴M=（﹣∞，0）∪=0，可得（﹣2）×+φ=kπ，k∈z，再结合|φ|＜，∴φ=，
∴y=4sin（x+），
故选：D．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．

8．在△ABC中，已知lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题．
【分析】由对数的运算性质可得sinA=2cosBsinC，利用三角形的内角和A=π﹣（B+C）及诱导公式及和差角公式可得B，C的关系，从而可判断三角形的形状
【解答】解：由lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2可得
∴sinA=2cosBsinC
即sin（B+C）=2sinCcosB
展开可得，sinBcosC+sinCcosB=2sinCcosB
∴sinBcosC﹣sinCcosB=0
∴sin（B﹣C）=0
∴B=C
∴△ABC为等腰三角形
故选：A
【点评】本题主要考查了对数的运算性质及三角函数的诱导公式、和差角公式的综合应用，属于中档试题． 　
9．已知函数f（x）=loga（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=ax+b的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】压轴题．
【分析】由函数f（x）=loga（x+b）的图象可求出a和b的范围，再进一步判断g（x）=ax+b的图象即可．
【解答】解：由函数f（x）=loga（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，
f（x）=loga（x+b）的图象由f（x）=logax向左平移可知0＜b＜1，
故函数g（x）=ax+b的大致图象是B
故选B
【点评】本题考查指对函数的图象问题，是基本题．

10．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上任意n个值x1，x2，…xn总满足≤f（），则称f（x）为D的凸函数，现已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．3
【考点】函数的值．
【专题】转化思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；不等式的解法及应用．
【分析】由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC≤3，即可得出．
【解答】解：由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC≤3==，当且仅当A=B=C=时取等号．
∴sinA+sinB+sinC的最大值为．
故选：C．
【点评】本题考查了凸函数的性质、三角形内角和定理、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|﹣k|≥||，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】根据题意画出图形，在边BC上任取一点E，连接AE，根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得k=，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形．
【解答】
解：从几何图形考虑：
|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，
∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，
又点E不论在任何位置都有不等式成立，
∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，
则△ABC一定是直角三角形．
故选A
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量的减法的三角形法则的应用，及平面几何中两点之间垂线段最短的应用，利用了数形结合的思想，要注意数学图形的应用可以简化基本运算．

12．
故选：C．
【点评】本题主要考查了比例的性质，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的数量积的运算在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设是奇函数，则a+b的取值范围是　　．
【考点】奇函数．
【专题】计算题．
【分析】由题意和奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a+b的范围．
【解答】解：∵定义在区间（﹣b，b）内的函数f（x）=是奇函数，
∴任x∈（﹣b，b），f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，
∴=，则有，
即1﹣a2x2=1﹣4x2，解得a=±2，
又∵a≠2，∴a=﹣2；则函数f（x）=，
要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（1﹣2x）＞0
解得：﹣＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（﹣，），
∴（﹣b，b）⊆（﹣，），∴0＜b≤
∴﹣2＜a+b≤﹣，即所求的范围是；
故答案为：．
【点评】本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力．

14．函数y=3sin（x+10°）+5sin（x+70°）的最大值为　7　．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】分别把（x+10°）与（x+70°）化为（x+40°﹣30°）与（x+40°+30°），展开两角和与差的三角函数，整理后利用辅助角公式化积，则答案可求．
【解答】解：y=3sin（x+10°）+5sin（x+70°）
=3sin（x+40°﹣30°）+5sin（x+40°+30°）
=3+5
= [sin（x+40°）﹣cos（x+40°）]+ [ sin（x+40°）+cos（x+40°）]
=4sin（x+40°）+cos（x+40°）
=7[sin（x+40°）+cos（x+40°）]
=7sin≤7．
故答案为：7．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，训练了辅助角公式的应用，是中档题．

15．已知奇函f（x）数满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=﹣2x，则f（log210）等于　　．
【考点】函数的值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用奇偶性与条件得出f（x）的周期，根据函数奇偶性和周期计算．
【解答】解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的奇函数，
∵3＜log210＜4，∴﹣1＜﹣4+log210＜0，∴0＜4﹣log210＜1．
∴f（log210）=f（﹣4+log210）=﹣f（4﹣log210）=2==．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数奇偶性与周期性的应用，找到函数周期是解题关键．

16．给出下列命题：
①存在实数x，使得sinx+cosx=；
②函数y=2sin（2x+）的图象关于点（，0）对称；
③若函数f（x）=ksinx+cosx的图象关于点（，0）对称，则k=﹣1；
④在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，则四边形ABCD的形状一定是矩形．
则其中正确的序号是　③④　（将正确的判断的序号都填上）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明．
【分析】根据正弦型函数的图象和性质，可判断①②③，根据向量模的几何意义，可判断④．
【解答】解：sinx+cosx=sin（x+）∈， ∉，故①为假命题；
当x=时，2x+=，此时函数取最大值，故函数y=2sin（2x+）的图象关于直线x=对称，故②为假命题；
若函数f（x）=ksinx+cosx的图象关于点（，0）对称，则，解得：k=﹣1，故③为真命题；
在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，即平行四边形ABCD的两条对角线长度相等，则四边形ABCD的形状一定是矩形，故④为真命题；
故答案为：③④
【点评】本题考查的知识点是和差角（辅助角）公式，三角函数的对称性，向量的模，向量加法的三角形法则，难度中档．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知cos（α﹣）=，sin（+β）=，且β∈（0，），α∈（，），求sin（α+β）的值．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】计算题；整体思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．
【分析】由α、β的范围求出的范围，结合已知求出sin（α﹣）和cos（+β）的值，则sin（α+β）的值可求．
【解答】解：∵α∈（，），∴
又cos（α﹣）=，∴，
又∵β∈（0，），∴，
sin（+β）=，∴，
则sin（α+β）=sin
=sin（）cos（）+cos（）sin（）
=．
【点评】本题考查两角和与差正弦、余弦，关键是“拆角、配角”思想方法的运用，是中档题．

18．设幂函数f（x）=（a﹣1）xk（a∈R，k∈Q）的图象过点．
（1）求k，a的值；
（2）若函数h（x）=﹣f（x）+2b+1﹣b在上的最大值为3，求实数b的值．
【考点】二次函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质进行求解即可求k，a的值；
（2）若函数h（x）=﹣f（x）+2b+1﹣b在上的最大值为3，利用换元法转化一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求实数b的值．
【解答】解：（1）设幂函数f（x）=（a﹣1）xk（a∈R，k∈Q）的图象过点．
则a﹣1=1，即a=2，此时f（x）=xk，
即=2，即=2，解得k=4；
（2）∵a=2，k=4，
∴f（x）=x4，
则h（x）=﹣f（x）+2b+1﹣b=﹣x4+2bx2+1﹣b
=﹣（x2﹣b）2+1﹣b+b2，
设t=x2，则0≤t≤4，
则函数等价为g（t）=﹣（t﹣b）2+1﹣b+b2，
若b≤0，则函数g（t）在上单调递减，最大值为g（0）=1﹣b=3，即b=﹣2，满足条件．
若0＜b≤4，此时当t=b时，最大值为g（b）=1﹣b+b2=3，
即b2﹣b﹣2=0，解得b=2或b=﹣1（舍）．
若b＞4，则函数g（t）在上单调递增，最大值为g（4）=3b﹣15=3，即3b=18，b=6，满足条件
综上b=﹣2或b=2或b=6．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质的应用以及一元二次函数的性质，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．

19．已知函数f（x）=2﹣2cos2（+x）﹣cos2x
（1）求函数f（x）在x∈时的增区间；
（2）求函数f（x）的对称轴；
（3）若方程f（x）﹣k=0在x∈[，]上有解，求实数k的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】计算题；函数思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）由条件化简得到f（x）=1+2sin（2x﹣），求出f（x）的单调递增区间，得出结论．
（2）根据对称轴的定义即可求出．
（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=k在x∈[，]上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出f（x）的值域，可得k的范围．
【解答】解：（1）f（x）=2﹣2cos2（+x）﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），
由2x﹣∈，k∈Z，
得x∈，k∈Z，
可得函数f（x）在x∈时的增区间为，[，π]，
（2）由2x﹣=kπ+，k∈Z，
∴得函数f（x）的对称轴为x=+，k∈Z，
（3）∵x∈[，]，
∴≤2x﹣≤，
即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，
要使方程f（x）﹣k=0在x∈[，]上有解，只有k∈．
【点评】本题主要考查三角函数的化简，正弦函数的图象的对称性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
20.解：（1）
（2）
（3） 所有根之和为
21、 （12分）
解：(1)∵，
函数为增函数，函数为增函数∴f(x)在R上是增函数．
（亦可用定义证明）
∵的定义域为R，且，∴是奇函数．
(2)存在．由(1)知在R上是增函数和奇函数，则
对一切都成立
对一切都成立
对一切都成立
对一切都成立
，
又，∴，，
∴存在，使不等式对一切都成立．
22. （12分）　
解：(1)由题意得，.∴.
由于点在此函数图象上，则有，∵，∴.∴．
(2)当时，即时，原函数单调递增．∴原函数的单调递增区间为．
(3)满足解得.
∵，∴，
同理.由(2)知函数在上递增，若有：
，只需要：
，即成立即可，所以存在，使成立．

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