微积分(数学分析)练习题及答案doc.doc

统计专业和数学专业数学分练习题
计算题
1. 试求极限
2. 试求极限
3. 试求极限
4. 试讨论
5. 试求极限
6. ,有连续的偏导数，求
7. 求
8. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程.
9. 求在处的泰勒公式.
10. 求函数的极值.
11. 叙述隐函数的定义.
12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
13. 叙述隐函数可微性定理的内容.
14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
15. 讨论笛卡儿叶形线

所确定的隐函数的一阶与二阶导数.
16. 讨论方程

在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.
17. 设函数, 方程
.
(1)验证在点附近由上面的方程能确定可微的隐函数和;
(2)试求和,以及它们在点处的值.
18. 讨论方程组

在点近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。
19. 设方程组

问在什么条件下,
(1)由方程组可以唯一确定是的可微函数?
(2)由方程组可以唯一确定是的可微函数?
20. 求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。
21. 求曲面在点处的切平面与法线方程.
22. 抛物面被平面截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
23. 叙述含参量的正常积分定义.
24. 叙述含参量的正常积分的连续性定理的内容.
25. 叙述含参量的无穷限反常积分定义.
26. 叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛性定义.
27. 叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.
28. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.
29. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.
30. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容.
31. 求
32. 计算积分 .
33. 计算

并由此计算

34. 利用公式, 计算
.
35. 利用可微性计算关于参数的含参量反常积分
.
并由此计算

36. 计算，其中L为单位圆周.
37.计算，其中L为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.
38.求积分,其中曲线与轴围成的面积为.

39.求,其中.
40.求全微分的原函数.
41.求其中由围成.
42.求,其中由,所围成的有界闭区域.
43.求与所围成区域的面积.
44.求,其中是.
45.求,其中由所围成的有界闭区域.
46.求,其中.
47.求,S是,取球面的外侧为正侧.
48.设具有连续导数,求
.
其中为所围立体的表面的外侧.
49.求,其中是的表面,取外侧为正侧.
50.计算积分，其中S是椭球面的
外侧.

1. 试求极限
解
.
2. 试求极限
解 由
.
3. 试求极限
解 由于
,
又 ,
所以
， ,

所以
.
4. 试讨论
解 当点沿直线趋于原点时，
.
当点沿抛物线线趋于原点时，
.
因为二者不等，所以极限不存在.
5. 试求极限
解 由

= .
6. ,有连续的偏导数，求
解 令
则

7. 求
解 由

.
8. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程。
解 由于
,
在处 ，
所以, 切平面方程为
.
即

法线方程为
.
9. 求在处的泰勒公式.
解 由

.
得
.
10. 求函数的极值.
解 由于

解得驻点，

所以 是极小值点, 极小值为
11. 叙述隐函数的定义.
答: 设，，函数 对于方程, 若存在集合与，使得对于任何，恒有唯一确定的，使得满足方程 ,则称由方程确定了一个定义在上，值域含于的隐函数。一般可记为 且成立恒等式

12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
答: 若满足下列条件:
（i）函数F在以为内点的某一区域上连续;
（ii）（通常称为初始条件）;
（iii）在D内存在连续的偏导数;
（iv）0,
则在点的某邻域内，方程=0唯一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得
1º ,时且；
2° 在内连续.
13. 叙述隐函数可微性定理的内容.
答: 若满足下列条件:
（i）函数F在以为内点的某一区域上连续;
（ii）（通常称为初始条件）;
（iii）在D内存在连续的偏导数;
（iv）0,
又设在D内还存在连续的偏导数，则由方程所确定的隐函数在在其定义域内有连续导函数，且

14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
答: 设在的某邻域内有连续的导函数，且; 考虑方程

由于
, ,
所以只要，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程能确定出在的某邻域内的连续可微隐函数，并称它为函数的反函数.反函数的导数是

15. 解: 显然及在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得的点附近，方程都能确定隐函数；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对方程求关于的导数（其中是的函数）并以3除之，得
,
或
（1）
于是
（2）
再对（1）式求导，得： 即
（3）
把（2）式代入（3）式的右边，得

再利用方程就得到

16. 解: 由于处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点附近能惟一确定连续可微得隐函数，且可求得它得偏导数如下：

17. 解: (1)令, 则有
.
由于均连续,且
,
故在点附近由上述方程能确定隐函数和.
(2)当时, 由定理知
;
同理, 当时, 由定理知
.
于是求得

并且有
, .
18. 解: 首先，即满足初始条件. 再求出F，G的所有一阶偏导数

容易验算，在点处的所有六个雅可比行列式中只有

因此，只有难以肯定能否作为以为自变量的隐函数. 除此之外，在的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.
如果我们想求得的偏导数，只需对方程组分别关于求偏导数，得到
（1）
（2）
由（1）解出

由（2）解出

19. 解: 设
,
.
(1) 关于的雅可比行列式是
,
当时, 在满足方程组的任何一点的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定是的可微函数;
(2) 关于的雅可比行列式是
,
当时, 在满足方程组的任何一点的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定是的可微函数.
20. 解: 设 ，. 它们在处的偏导数和雅可比行列式之值为：

和
， ， .
所以曲线在处的切线方程为：
，
即

法平面方程为
，
即
.
21. 解: 令, 则
,
故, 因此曲面在点处的法向量为
,
所求切平面方程为
,
即
.
法线方程为

即

22. 解: 这个问题实质上就是要求函数
（空间点到原点的距离函数的平方）
在条件及下的最大、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，令
.
对求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有

求得这方程组的解为

与 （1）
（1）就是拉格朗日函数的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集上连续，从而必存在最大值与最小值），故由

所求得的两个值，正是该椭圆到原点的最长距离与最短距离.
23. 叙述含参量的正常积分定义.
答: 用积分形式所定义的这两个函数
（1）
与 , （2）
通称为定义在上含参量的（正常）积分，或简称含参量积分.
（1）式的意义如下：设是定义在矩形区域上的二元函数。当取上某定值时，函数则是定义在上以y为自变量的一元函数.倘若这时在可积，则其积分值是在上取值的函数，记它为，就有.
（2）式的意义如下：一般地，设为定义在区域上的二元函数，其中为定义在上的连续函数，若对于上每一固定的值，作为的函数在闭区间上可积，则其积分值是在上取值的函数，记作时，就有
24. 叙述含参量的正常积分的连续性定理的内容.
答: 设二元函数在区域

上连续，其中为上的连续函数，则函数
（6）
在上连续.
25. 叙述含参量的无穷限反常积分定义.
答: 设二元函数定义在无界区域上，若对于上每一固定的值，反常积分
(1)
都收敛, 则它的值是在上取值的函数, 当记这个函数为时, 则有
,
称(1)式为定义在上的含参量的无穷限反常积分, 或简称含参量反常积分.
26. 叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛性定义.
答: 若含参量反常积分 与函数对任给的正数，总存在某一实数使得当时，对一切，都有

即

则称含参量反常积分 在上一致收敛于，或简单地说含参量积分 在上一致收敛.

27. 叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.
答: 含参量反常积分 在上一致收敛的充要条件是：对任给正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有
.
28. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.
答: 设
对一切实数N>c，含参量正常积分对参量在上一致有界，即存在正数M，对一切N>c及一切，都有

对每一个，函数关于y是单调递减且当时，对参量一致地收敛于0.
则含参量反常积分

在上一致收敛．
29. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.
答: 设
在上一致收敛；
对每一个，函数为的单调函数，且对参量，在上一致有界，则含参量反常积分

在上一致收敛。
30. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容.
答: 设在上连续，若在上一致收敛，则在上可积，且

设在上连续.若
关于在任何闭区间上一致收敛，
关于在任何区间上一致收敛；
积分 （18）
中有一个收敛，
则（18）中另一个积分也收敛，且

31. 解: 因为所以 由于函数在上满足定理的条件，所以交换积分顺序得到

32. 解: 因为
,

所以该积分是正常积分.
交换积分次序, 得
.
在上面的内层积分中作变换,有
,
于是
.
解法二: 取为参量, 利用积分号下求导数的方法,有

积分上式,可得

由于,即有,于是有
.
33. 解: 因为，所以

（21）
由于及反常积分收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量反常积分

在上一致收敛.由于在上连续，根据定理19.11交换积分（21）的顺序，积分I的值不变.于是

在上述证明中，令，则有
, (22)
由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在上一致收敛.于是由定理19.9，在上连续，且

又由（22）式

在上式中，令，则有.
34. 解: 由于对任一实数成立及反常积分收敛①，所以原积分在上收敛.
考察含参量反常积分
, (24)
由于对一切成立及反常积分收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量积分（24）在上一致收敛.
综合上述结果由定理19.10即得

于是有
,
.
从而，又由原积分，，所以，因此得到

35. 解: 把含参数的反常积分
.
中的被积函数关于求偏导数, 可得
,
当时, 有
,
因此,由M判别法, 关于参量是一致收敛的,因此对可以在积分号下求导,即
.
因为,所以
.
于是
.
令,有.
36.解：.
37.解： 直线段的参数方程是：
，
于是，
.
38.解:原式

39.解:
.
40.解： 由于
，因此，全微分的原函数是.

41.解:(Ⅰ).画出积分区域

(Ⅱ)..
42.解:
.
43.解:

(Ⅰ). 由,得.
于是,故是抛物线.令,得
.故与轴相交于.
(Ⅱ).令 ,则，故 .
(Ⅲ).
.
44.解:
.
45.解:
.
.
46.解：因为,故,
.
于是 .
47.解：S是分解为两部分:
,
.
故

.
48.解：原式=

.

49.解:(Ⅰ).画出积分区域

(Ⅱ).原式=.
50.解：由Gauss公式，得，由广义球坐标变换 , ，得

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