初中数学竞赛标准教程及练习02：倍数、约数.doc

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初 中数学竞赛精品标准教程及练习（2）
倍数　　约数
一、内容提要
1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。
3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7在有余数的除法中，
　被除数＝除数×商数＋余数　　若用字母表示可记作：
　A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2　　则23－2能被3整除。
二、例题　
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以
应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32　。
　解：列表如下
正整数

正约数
个
数
计
正整数

正约数
个数计
正
整
数

正约数
个数计

2
1，2

2

3
1，3

2

2×3
1，2，
3，6
4

22
1，2，4

3

32
1，3，32

3

22×3
1，2，3，
4，6，12
6

23
1，2，
4，8

4

33
1，3，
32，33

4

22×32
1，2，3，
4，6，9，
12，18，36
9

24
1，2，4，
8，16

5

34
1，3，32，
33，34

5

其规律是：设A＝ambn　(a，b是质数,m，n是正整数)
　　　　那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)

例如求360的正约数的个数
解：分解质因数：360＝23×32×5，
　360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）

例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数
解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公约数是2×3， 记作（24，90）＝6
　最小公倍数是23×32×5＝360， 记作[24,90]=360
例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N
解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数
　∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6
经检验1和2不合题意，∴N＝6，3
例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数　
分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。
解：　∵[10,9,8]=360,　
　　∴所以所求的数是359
三、练习2
1， 12的正约数有_________,16的所有约数是_________________
2， 分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________
3， 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4， 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________
5， 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________
6， 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________
7， 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____
8， 一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？
9， 一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？

练习参考答案：1.　1，2，3，4，6，12；　　　±1，±2，±3，±6，±9，±18
2.　22×3×52；　18　　　3.　2×5；　22×53
4.　693　　　　　　　　　5.　［3，5，11］＝165，1155；990　
6.　A＝3　　即求14－2与23－2的公约数
7.　30，60，90
8.       （135，105）＝15，正约数有1，3，5，15　
9.       119。∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119