初中数学竞赛标准教程及练习11：二元一次方程组解的讨论.doc

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初 中数学竞赛精品标准教程及练习（11）
二元一次方程组解的讨论
一、内容提要
1． 二元一次方程组的解的情况有以下三种：
① 当时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）
② 当时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）
③ 当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
　　　（这个解可用加减消元法求得）　　
2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）
二、例题　
例1.　选择一组a,c值使方程组
① 有无数多解，　②无解，　③有唯一的解
解：　①当　5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解
解比例得a=10,　c=14。
② 当　5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。　
解得a=10,　c≠14。
③当　5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2.　a取什么值时，方程组 的解是正数？
解：把a作为已知数，解这个方程组
得　　∵　∴
解不等式组得　　解集是6
答：当a的取值为6时，原方程组的解是正数。
例3.　m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？
解：把m作为已知数，解方程组得
∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。
　取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。
解得　m=9，7，10，6。
　经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？
解：设桃，李，榄橄分别买x,　y,　z粒,依题意得

由（1）得x= 100－y－z (3)

把（3）代入（2），整理得
y=－200+3z－
设(k为整数)　得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k
∵x,y,z都是正整数∴解得（k是整数）
∴10＜k<,　　∵k是整数，　∴k=11
即x=3（桃）,　y=20（李）,　z=77（榄橄）　　(答略)

三、练习11
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：
①　　　②　　③
2． a取什么值时方程组的解是正数？
3． a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？
4． 要使方程组的解都是整数， k应取哪些整数值？
5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？

三、练习11参考答案：
1. ①无数多个解　②无解　③唯一的解
2. a>1 3. a=1 4. –5,-3,-1,1
5.