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系列4部分,选修4-1 几何证实选讲,第1页,第1页,1平行截割定理：,(1)平行线等分线段定理及其推论,定理：假如一组平行线在一条直线上截得线段_，那,么在任一条(与这组平行线相交)直线上截得线段也_,推论：通过梯形一腰中点与底平行直线，必平分另一,腰,相等,相等,第2页,第2页,(2)平行线分线段成百分比定理及其推论,定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线,截得相应线段成_,推论：平行于三角形一边直线截其它两边(或两边,延长线)，所得相应线段_,(3)三角形角平分线性质,三角形一个内角平分线分对边所成两条线段与这个,角两边相应成百分比.,百分比,成百分比,第3页,第3页,2相同三角形：,(1)相同三角形鉴定,鉴定定理,a两角相应相等两个三角形相同,b两边相应成百分比且夹角_两个三角形相同,c三边_两个三角形相同,推论：假如一条直线与三角形一条边平行，且与三角形,另两条边相交，那么截得三角形与原三角形相同.,相等,相应成百分比,第4页,第4页,(2)相同三角形性质定理,相同三角形相应线段比等于相同比，面积比等于_,_,(3)直角三角形射影定理,直角三角形一条直角边平方等于该直角边在斜边上射影,与斜边乘积，斜边上高平方等于两条直角边在斜边上,_乘积,相同,比平方,射影,第5页,第5页,3圆周角定理：,(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆_角,(2)圆周角定理：圆周角度数等于其所对弧度数_,(3)圆周角定理推论,同弧(或等弧)所正确圆周角_；同圆或等圆中，相等,圆周角所正确弧_,半圆(或直径)所正确圆周角等于90.反之，90圆周,角所正确弧为_(或弦为_),相交,二分之一,相等,相等,半圆,直径,第6页,第6页,4圆切线：,(1)直线与圆位置关系,直线与圆交点个数,直线到圆心距离d与圆半径r关系,相交,两个,_,相切,一个,_,相离,无,_,d,r,d,r,d,r,第7页,第7页,(2)切线性质及鉴定,切线性质定理：圆切线垂直于通过_半径,切线鉴定定理,过半径外端且与这条半径_直线是圆切线,(3)切线长定理,从圆外一点引圆两条切线，切线长_,切点,垂直,相等,第8页,第8页,5弦切角：,(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆_，另一边与圆,相交角,(2)弦切角定理及推论,定理：弦切角度数等于其所夹弧度数_,推论：同弧(或等弧)上弦切角_，同弧(或等弧),上弦切角与圆周角_,相切,二分之一,相等,相等,第9页,第9页,6圆中百分比线段：,定理,名称,基本图形,条件,结论,应用,相交,弦定,理,弦,AB,，,CD,相交于圆内点,P,(1)PAPB_.,(2),ACP,BDP,(1)在PA，PB，PC，PD四线段中知三求一.,(2),求弦长及角,PCPD,第10页,第10页,定理,名称,基本图形,条件,结论,应用,切割线,定理,PA切O于A，PBC是O割线,(1)PA,2,_.,(2),PAB,PCA,(1)已知PA，PB，PC知二可求一.,(2),求解,AB,，,AC,PB,PC,第11页,第11页,定理,名称,基本图形,条件,结论,应用,割线,定理,PAB，PCD是O割线,(1)PAPB_.,(2),PAC,PDB,(1)求线段PA，PB，PC，PD及AB，CD.,(2)应用相同求AC，BD,PCPD,第12页,第12页,7.圆内接四边形：,(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角_,(2)圆内接四边形鉴定定理：,假如四边形对角_，则此四边形内接于圆；,若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与,线段两个端点共圆，尤其地，对定线段张角为直角点共圆,互补,互补,第13页,第13页,1.(江苏高考)如图,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC通过圆心O,且BC=2OC.,求证：AC=2AD.,第14页,第14页,【证实】,连结OD.由于AB和BC分别与圆O相切于点D,C,因此ADO=ACB=90.,又由于A=A,因此RtADORtACB.,因此 又BC=2OC=2OD,故AC=2AD.,第15页,第15页,2.(新课标全国卷)如图，直线AB为圆切线，切点,为B，点C在圆上，ABC平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交,圆于点D.,(1)证实：DB=DC.,(2)设圆半径为1，BC=延长CE交AB于点F，求BCF外,接圆半径.,第16页,第16页,【解析】,(1)连结DE交BC于点G.,由弦切角定理得ABE=BCE,而ABE=CBE，,故,CBE=BCE,，,BE=CE.,又由于DBBE，,因此DE为直径，DCE=90，,由勾股定理得DB=DC.,第17页,第17页,(2)由(1)知，CDE=BDE，DB=DC，,故DG是BC中垂线，因此,设DE中点为O，连结BO，则BOG=60，,从而ABE=BCE=CBE=30，,因此CFBF，,故RtBCF外接圆半径等于,第18页,第18页,热点考向 1,相同三角形,【典例1】,如图，在ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE,延长线交BC于F，求 值,第19页,第19页,【解题探究】,处理本题可通过作平行线，结构相同三角形，即过D点作,DMAF交BC于M.可知：(1)S,BDM,与S,BEF,关系为：,_,_,.(2)S,DMC,与S,BEF,关系为：,_,.,S,BDM,=9S,BEF,S,DMC,=6S,BEF,第20页,第20页,【解析】,过D点作DMAF交BC于M，由于DMAF，,因此,由于EFDM，,因此 即S,BDM,=9S,BEF,，,又,即S,DMC,=S,BDM,=6S,BEF,，,因此S,四边形DEFC,=14S,BEF,，,因此,第21页,第21页,【互动探究】,在本题中，若点E是BDn等分点(左边第一个)，,试用n代数式表示 值.,【解析】,同上述过程可得S,BDM,=n,2,S,BEF,，,且,从而S,四边形DEFC,=(2n,2,n1)S,BEF,因此,第22页,第22页,【办法总结】,相关三角形面积两类百分比,(1)相同三角形面积比等于相同比平方.,(2)同底(或等高)三角形面积比等于它们高(底)之比.,多边形面积可通过度割，化归为三角形面积之和形式.,第23页,第23页,【变式备选】,如图，已知在ABC中，D是BC边中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.,(1)求证：ABCFCD.,(2)若S,FCD,5，BC10，求DE长.,第24页,第24页,【解析】,(1)由于DEBC，D是BC中点，,因此EBEC，,因此B1.,又由于ADAC，因此2ACB.,因此ABCFCD.,第25页,第25页,(2)过点A作AMBC，垂足为点M.由于ABCFCD，,BC2CD，因此,又由于S,FCD,5，因此S,ABC,20.由于S,ABC,BCAM，,BC10，因此20 10AM，因此AM4.,又由于DEAM，因此 由于DM DC,BMBDDM，BD BC5，因此,因此,第26页,第26页,热点考向 2,圆周角定理、圆内接四边形,【典例,2,】,(,苏州模拟,),如图，四边形,ABCD,为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点,E,，,F,，,AFB,平分线分别交,AB,，,CD,于点,H,，,K,求证：,EH=EK,第27页,第27页,【解题探究】,因EH与EK在同一三角形中，故欲证两者相等，可利用“等角,对等边”办法证之，而EHK,EKH是“圆内角”，故,由“三角形外角等于和它不相邻两个内角之和”转化为,圆周角，即由EHK=,_,，EKH=,_,，再证之.,【证实】,由条件可知：EHK=1+A，EKH=2+DCF,因FH是AFB平分线，故1=2，因ABCD为圆内接四边,形，故DCF=A,从而EHK=EKH，于是EH=EK.,1+A,2+DCF,第28页,第28页,【办法总结】,1相关线段相等三种证法,(1)在同一三角形中，等角对等边.,(2)在全等两个三角形中，相应边相等.,(3)利用百分比线段，其中三个百分比项相同或相等时，第四个百分比项也相等.,2“圆内角”和“圆外角”转化关系,在圆中，通常“三角形外角等于和它不相邻两个内角之和”，将“圆内角”或“圆外角”转化为圆周角与其它特殊角“和(差)”关系.,第29页,第29页,【变式训练】,(新课标全国卷)如图，CD为ABC外接圆切线，AB延长线交直线CD于点D，E,F分别为弦AB与弦AC上点，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四点共圆.,(1)证实：CA是ABC外接圆直径.,(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点圆面积与ABC外接圆面积比值.,第30页,第30页,【解析】,(1)由于CD为ABC外接圆切线，因此DCB=A，,由题设知,故CDBAEF，因此DBC=EFA.,由于B，E，F，C四点共圆，因此CFE=DBC，,故EFA=CFE=90.,因此CBA=90，因此，CA是ABC外接圆直径.,(2)连结CE，由于CBE=90，因此过B，E，F，C四点圆,直径为CE，由DBBE，有CEDC，又BC,2,=DBBA=2DB,2,，因此,CA,2,=4DB,2,+BC,2,=6DB,2,.,而DC,2,=DBDA=3DB,2,，故过B，E，F，C四点圆面积与ABC,外接圆面积比值为,第31页,第31页,第32页,第32页,热点考向 3,圆切线、圆中百分比线段,【典例3】,(淮安模拟)如图，O半径为3，两条弦AB，CD交于点P，且AP=1，CP=3，OP=,求证：APCDPB,第33页,第33页,【解题探究】,设直线OP交O于点E，F，从本题条件易证APC和DPB是,相同三角形，由此再证三角形全等，则需条件“边相应,相等”，依据条件，可从相交弦定理计算得之，即,由APBP=,_,=,_,，从而得证.,CPDP,FPEP,第34页,第34页,【证实】,设直线OP交O于点E，F，由相交弦定理得,APBP=CPDP=FPEP,又AP=1，CP=3，故DP=1，BP=3，因此AP=DP，BP=CP，,而APC=DPB，因此APCDPB,【办法总结】,在圆中，相关线段乘积式或百分比式证实两种,办法,(1)通过圆中特殊角之间相等关系，证实相同三角形，从而,得证.,(2)通过圆幂定理(相交弦定理、切割线定理)直接证之.,另外，可利用这些百分比式计算相关线段长度.,第35页,第35页,【变式训练】,(南京模拟)如图，PA，PB是O切线，切点分别为A，B，线段OP交O于点C若PA12，PC6，求AB长,第36页,第36页,【解析】,如图，延长PO交O于D，连结AO，BOAB交OP于点,E,由于PA与O相切，因此PA,2,PCPD,设O半径为R，由于PA12，PC6，,因此12,2,6(2R6)，解得R9,由于PA，PB与O均相切，因此PAPB,又OAOB，因此OP是线段AB垂直平分线,即ABOP，且AB2AE,在RtOAP中，AE 因此AB,第37页,第37页,第38页,第38页,第39页,第39页,
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