北师大版初三数学《特殊平行四边形》教案(有答案).doc

特殊平行四边形
一、关系结构图：

二、特殊平行四边形：
1．平行四边形的性质：
四边形ABCD是平行四边形Þ

2．平行四边形的判定：
.

3．矩形的性质：
四边形ABCD是矩形Þ

4．矩形的判定：
Þ四边形ABCD是矩形.
5. 菱形的性质：
四边形ABCD是菱形Þ

6. 菱形的判定：
Þ四边形ABCD是菱形.

7. 正方形的性质：
四边形ABCD是正方形Þ

8. 正方形的判定：
Þ四边形ABCD是正方形.
三、梯形
1、梯形的相关概念
² 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、梯形的判定
（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
3、直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
4、等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
性质：
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
判定：
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用）
5、梯形的面积
（1）如图，
（2）梯形中有关图形的面积：
①；②；③.
6、梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)

四、有关连接四边形各边中点所得图形的知识点：
（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；
（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；
（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；
（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；
（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；
（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；
（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形.
五、一些定理和推论：
1、三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
2、梯形的中位线
定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
3、推论：夹在两平行线间的平行线段相等
4、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5、推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
【练习一】
一、填空题
1、如图，ABCD，则AB=_____，______=AD，∠A=______，______=∠D，
若此时∠B+∠D=128°，则∠B=______度，∠C=______度.
2、如果一个平行四边形的周长为80 cm，且相邻两边之比为1∶3，则长边=_____cm，短边=_____cm.
3、如下左图，ABCD，∠C的平分线交AB于点E，交DA延长线于点F，且AE=3 cm，EB=5 cm，则ABCD的周长为__________.

4、如上中图，ABCD，AB>BC，AC⊥AD，且AB∶BC=2∶1，则DC∶AD=_____,∠DCA=____度，∠D=∠B=______度，∠DAB=∠BCD=_______度.
5、如上右图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，则图中全等三角形有______对.
二、选择题
1. ABCD中，∠A∶∠D=3∶6，则∠C的度数是（ ）
A.60° B.120 C.90° D.150°
2. 在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的可能情况是（ ）
A. 2∶7∶2∶7 B. 2∶2∶7∶7
C. 2∶7∶7∶2 D. 2∶3∶4∶5
3. 如下左图，从等腰△ABC底边上任意一点D，作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则AEDF的周长（ ）
A. 等于三角形周长 B. 是三角形周长的一半
C. 等于三角形腰长 D. 是腰长的2倍

4. 如上右图，ABCD中，BC∶AB=1∶2，M为AB的中点，连结MD、MC，则∠DMC等于（ ）
A.30° B.60° C.90° D.45°
5. 以不共线的三点为顶点，可以作平行四边形（ ）
A. 一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个
6. 平行四边形具有，但一般四边形不具有的性质是（ ）
A.不稳定性 B.内角和等于360°
C.对角线互相平分 D.外角和等于360°
7. 如下左图，在ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（ ）
A.20° B.25° C.30° D.35°

三、解答题
1. 已知：如上右图ABCD的周长是20 cm，△ADC的周长是16 cm. 求：对角线AC的长.

【练习二】
一、判断题
1. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形( )
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形( )
3. 对角线相等的四边形是平行四边形( )
4. 有两组对角分别相等的四边形是平行四边形( )
5. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形( )
6. 邻边互相垂直的四边形是平行四边形( )
7. 如果一条对角线将四边形分成两个全等三角形，那么这个四边形是平行四边形( )
8. 对角线互相平分的四边形是平行四边形( )
9. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形( )
二、填空题
1. 如果一个四边形的每对相邻内角都互补，那么这个四边形是__________.
2. 延长△ABC的中线AD到E，使AE=2AD，则四边形ABEC是__________.
3. 如果一个四边形以其对角线交点为中心，在平面内旋转180°，与原四边形重合，则这个四边形是__________。
4. ABCD的周长是48厘米，AB=6厘米，则BC=__________厘米.
三、选择题
1. 判断一个四边形是平行四边形的条件是( )
A.一组对边相等，另一组对边平行
B.一组邻边相等，一组对边相等
C.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边平行
D.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边相等
2. 平行四边形的对角线将它分成四个三角形，则这四个三角形的面积( )
A.都不相等 B.不都相等 C.都相等 D.以上结论都不对
3. 下列条件能组成一个平行四边形的是( )
A.相邻的两边分别是5 cm和7 cm，一条对角线长是13 cm
B.两组对边分别是3 cm和4 cm
C.一条边长是7 cm，两条对角线长分别是3 cm和4 cm
D.一组对角都是135° ，另一组对角都是40°
4. 下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥CD，AD=BC B.AB=AD，CB=CD
C.AB=CD，AD=BC D.∠B=∠C，∠A=∠D
【练习三】
一、填空题
1. 三角形的中位线平行于__________，且等于__________的一半.
2. 连结任意四边形的四边中点，所得到的四边形是__________.
3. 一个三角形的三边长分别为4，5，6，则连结各边中点所得三角形的周长为__________.
4. 三角形三条中位线将其分成__________个全等三角形.
二、选择题
1. 顺次连结梯形各边中点所组成的图形是（ ）
A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.正方形
2. 顺次连结对角线互相垂直的四边形中点所得图形是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3. 等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中点，则所得图形是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
三、解答题
2. 四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论.

【练习四】
一、判断题
1. 矩形的对角线互相平分（ ）
2. 矩形的对角线互相垂直（ ）
3. 对角线相等的四边形是矩形（ ）
4. 矩形具有平行四边形的一切性质（ ）
5. 对角线相等的平行四边形是矩形（ ）
二、填空题
1. 如下左图，矩形的两条对角线夹角是60°，一条对角线与较短边的和是15，则该矩形对角线的长是__________.

2. 如上右图.已知矩形的长为20，宽为12，顺次连结矩形四边中点所形成四边形的面积是__________.
3. 矩形除具有平行四边形性质外，还具有性质：
①_____________________________;
②_____________________________.
4. 矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=120°，则∠OBA=__________.
5. 矩形的对角线相交成60°角，对角线长为10厘米，则矩形的宽为__________.

6. 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是__________形.
7. 判定一个四边形是矩形，可以先判定它是__________，再判定这个四边形有一个__________或再判定这个四边形的两条对角线__________.
8. ABCD的两条对角线相交于一点O，若△AOB是等边三角形，AB=2 cm，则ABCD的面积等于__________.
三、选择题
1. 如下左图，过矩形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线交CD的延长线于E，则△AEC是（ ）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.等腰直角三角形

2. 如上右图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为（ ）
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.7.5 cm
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 三个角是直角的多边形是矩形
C. 两条对角线相等的四边形是矩形
D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
4. 在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE=AB，则∠CBE等于（ ）
A.30° B.22.5° C.15° D.以上答案都不对
四、解答题
1、如左下图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数.

2、如右上图ABCD，四内角平分线相交于E、F、G、H.求证：四边形EFGH是矩形

【练习五】
一、判断题
1. 对角线相等的四边形是菱形( )
2. 菱形的对角线互相平分( )
3. 对角线垂直的四边形是菱形( )
4. 只有菱形才可能对角线互相垂直( )
5. 邻边相等的平行四边形是菱形( )
二、填空题
1. 邻边相等的平行四边形是__________.
2. 菱形的一个角是150°，如果边长为a，那么它的高为__________.
3. 如果菱形的周长等于它的一组对边距离的8倍，那么它的四个角分别是__________度.
4. 菱形的两条对角线长分别是8 cm和10 cm，则菱形的面积是__________.
5. 菱形除具有平行四边形的性质外，还具有一些特殊性质，四条边__________，对角线__________.
6. 菱形的一个内角是120°，边长为4厘米，则此菱形的两条对角线长分别是__________.
7. 要判断一个四边形是菱形，可以首先判断它是一个平行四边形，然后再判定这个四边形的一组__________或两条对角线__________.
8. 将矩形四边形中点顺次连结，形成的四边形是__________.
三、选择题
1. 四边相等的四边形是( )
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.梯形
2. 菱形的面积等于( )
A.对角线乘积 B.一边的平方
C.对角线乘积的一半 D.边长平方的一半
3. 下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是( )
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线相等且垂直 D.两条对角线互相垂直平分
4.在ABCD中，下列结论中，不一定正确的是( )
A.AB=CD B.AC=BD
C.当AC⊥BD时，它是菱形 D.当∠ABC=90°，它是矩形
四、解答题
2. 在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F.
求证：四边形AECF是菱形

【练习六】
一、判断题
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
2. 有一个角是直角的菱形是正方形
3. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形
4. 四边都相等的矩形是正方形
5. 正方形具有矩形和菱形的所有性质
6. 既是矩形又是菱形的图形是正方形
二、填空题
1. 正方形的性质：①正方形的四个角__________，四条边__________，②正方形的两条对角线__________，并且__________.
2. 正方形的对角线长为10 cm，则正方形的边长是__________.
3. 正方形的判定方法：①____________的菱形是正方形.②____________的矩形是正方形.
4. 正方形以对角线的交点为中心，在平面上旋转最少__________度可以与原图形重合.
三、选择题
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 四角相等且两边相等的四边形是正方形
B. 对角线相等的平行四边形是正方形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形
2. 如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于（ ）
A.135° B.45° C.22.5° D.30°
四、解答题
1. 如左下图，ABCD和AEFG都是正方形. 求证：BE=DG

2.（1）顺次连结平行四边形四边中点所组成的图形是什么四边形?
（2）顺次连结矩形、菱形、正方形各边中点，分别组成什么四边形?

【练习七】
一． 选择题
1．一个等腰梯形的两底之差为，高为，则等腰梯形的两底的一个锐角为（ ）
A、 B、 C、 D、
2．在Rt⊿ABC中，∠ACB =，∠A =，AC =，则AB边上的中线为（ ）
A、 B、 C、 D、
3．等边三角形一边上高线长为，那么这个等边三角形的中位线长为（ ）
A、 B、 C、 D、
4．下列判定正确的是（ ）
A、对角线互相垂直的四边形是菱形 B、两角相等的四边形是梯形
C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D、两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
5．顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是（ ）
A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、平行四边形
6．直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离（ ）
A、相等 B、不相等 C、可能相等也可能不相等 D、互相垂直
二．填空题
7．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积为 ；
8．如图：EF过平行四边形ABCD的对角线交点O，交AD于E，交BC于F，已知AB =，BC =，OE =，那么四边形EFCD的周长为 ；

9．已知，如图：平行四边形ABCD中，AB =，AB边上的高为，BC边上的高为，则平行四边形ABCD的周长为 ；
10．⊿ABC中，AB = AC =，∠BAC的平分线AD交BC于D，则D点到AB的距离为 ；
11．如图，在Rt⊿ABC中，∠C =，AC = BC，AB =，矩形DEFG的一边在AB上，顶点G、F分别在AC、BC上，D、E在AB上，若DG：GF =1：4，则矩形DEFG的面积为 ；
12．在⊿ABC和⊿ADC中：下列论断：①AB = AD；②∠BAC =∠DAC；③BC = DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题是： ；

13．如图，在⊿ABC中，∠C =，∠B =，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于D，DB =，那么AC = ；
14．在⊿ABC中，∠C =，周长为，斜边上的中线CD =，则Rt⊿ABC的面积为 。
三．作图题
已知三个村庄的位置如图，三村联合打一口井，向三个村庄供水，使水井到三个村庄的距离相等，水井的位置设在何处? 请用尺规画出水井位置，不写作法，保留痕迹。

四．解答证明题：
16．在平行四边形ABCD中，BC = 2AB，E为BC中点，求∠AED的度数。

18．如图：在⊿ABC中，∠BAC =，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形。

19．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE = AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，求正方形边长。

20．如图AD是⊿ABC边BC边上的高线，E、F、G分别是AB、BC、AC的中点，求证：四边形EDGF是等腰梯形。

21．如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，AE为∠BAD的平分线，交GC的延长线于E，求证：BD = CE。

参考答案
3.1.1平行四边形的性质
一、1.CD BC ∠C ∠B 64 116 2.30 10 3.26 cm 4.2∶1 30 60 120 5.4
二、1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.A
三、1. 解：∵ABCD的周长为20 cm ∴AD+DC=×20=10(cm) 而△ADC的周长为16 cm. 即AD+DC+AC=16 ∴10+AC=16，∴AC=6，∴对角线AC的长为6 cm.
2. 证明：∵AB∥CD ∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴在△AOB和△COD中 ∴△AOB≌△COD ∴AO=CO，BO=DO
3.（1）补全图形，略
（2）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF ∴在△ADE和△CBF中，
∴ ∴△ADE≌△CBF，∴AE=CF
3.1.2平行四边形的判别
一、1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.× 6.√ 7.× 8.√ 9.√
二、1.平行四边形2.平行四边形3.平行四边形 4.18
三、1.C 2.C 3.B 4.C
四、1.已知：四边形ABCD，AC与BD为它的对角线，交于点O，且AO=CO，BO=DO，求证：四边形ABCD为平行四边形.
证明：在△ABO和△CDO中
∴△ABO≌△CDO ∴AB=CD 同理可证△ADO≌△CBO
∴AD=BC ∴四边形ABCD为平行四边形.
2.证明：连结BD，与AC交于点O ∴AO=CO，BO=DO，
又∵AE=CF，∴EO=FO ∴四边形EDFB为平行四边形
3.1.2三角形的的中位线
一、1.第三边 第三边 2.平行四边形 3.7.5 4.四
二、1.A 2.B 3.D
三、1.证明：∵F、G是AB、AC的中点 ∴FG∥BC且FG=BC
∵CD⊥DB且E是BC的中点 ∴DE=BC， ∴FG=DE
2.答：最多有三个，如图 EFGH、FMHN、EMGN 证明：提示三角形中位线定理.
3.2.1矩形
一、1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.√
二、1.10 2.120（平方单位） 3.①对角线相等 ②四个内角均为90°
4.30° 5.5厘米 6.矩 7.平行四边形 内角是直角 相等 8.4 cm2
三、1.B 2.A 3.D 4.C
四、1.解：在矩形ABCD中，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠BAD=45°
又∵∠CAE=50°，∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=60° △AOB为等边三角形，
∴OB=AB，∠ABO=60° ∴∠OBE=∠ABC－∠ABO=90°－60°=30°
∵∠BAE=45°，∠BEA=45° ∴AB=BE，OB=BE
∴∠BOE==75°
2.证明：如图在ABCD中，∵AE、BG、CG、DE分别为四个内角平分线
∴∠1=∠2=90°，∠3+∠4=90°
在△ABH中∠AHB=90°=∠GHE，在△AED中∠AED=90°
同理可证∠GFE=90°，∠HGF=90° ∴四边形EFGH为矩形.
3.2.2菱形
一、1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√
二、1.菱形2. 3.30° 150° 30° 150°或150° 30° 150° 30° 4.40 cm2 5.相等 互相垂直且平分一组对角 6.4厘米，4厘米7.邻边相等 互相垂直 8.菱形
三、1.A 2.C 3.D 4.B
四、1.证明：在菱形ABCD中，AB=AD=BC=CD，∠B=∠D
又∵E、F分别是BC、CD的中点，∴BE=DF
∴在△ABE和△ADF中，AB=AD，∠B=∠D，BE=DF
∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF
2.证明：（证法不惟一）∵O是AC的中点，∴AO=CO
又在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠2
∴在△AOE和△COF中，∠1=∠2，AO=CO，∠AOE=∠COF=90°
∴△AOE≌△COF，∴AE=CF 又EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AF=CF ∴AE=CE=AF=CF ∴四边形AECF是菱形
3.2.3正方形及其应用
一、1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√
二、1.①是直角 相等 ②相等 互相垂直平分于 2.5cm 3.一个内角是直角或对角线相等 一组邻边相等或对角线垂直 4.90
三、1.D 2.C
四、1.证明：∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG
又∵∠BAE+∠EAD=90°，∠DAG+∠EAD=90°
∴∠BAE=∠DAG，∴△BAE≌△DAG ∴BE=DG
2.（1）平行四边形 （2）顺次连结矩形各边中点所组成的图形是菱形，顺次连结菱形各边中点所组成的图形是矩形，顺次连结正方形各边中点所成的图形是正方形
单元测试参考答案：
一选择题（每小题2分，共12分）
1．B；2．A；3．C；4．C；5．B；6．A；
二．填空题：（每小题3分，共24分）
7．；8．；9．；10．；11．；12．①，③②或①，②③；
13．；14．；
三．15．有铅笔作图痕迹，有点O为所作点为水井的结论。
四．16．证1：∵ E为BC中点，∴BE = EC =BC，∵BC = 2AB ∴AB = BE = EC = DC
∴∠BAE =∠BEA，∠CED =∠CDE ∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B +∠C = ∴∠BAE +∠BEA+∠CED +∠CDE +∠B +∠C =
∴2（∠BEA +∠CED）+= ∴∠BEA +∠CED =
∴∠AED =（∠BEA +∠CED）=
17．证：∵BE = DF，EF = EF， ∴BE + EF = DF + EF ∴BF = ED
∵AD = BC，AE⊥BD，CF⊥BD， ∴⊿AED≌⊿CFB ∴AD = BC
∴∠ADB =∠CBD ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
18．证：∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC ∴AE = FE∵∠1 =∠2
∴⊿AEC≌⊿FEC∴AC = FC ∵CG = CG∴⊿ACG≌⊿FCG
∴∠5 =∠7 =∠B∴GF∥AE ∵AD⊥BC，EF⊥BC∴AG∥EF
∵AG =GF（或AE = EF） ∴四边形AGFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
19．解：设正方形的边长为 ∵AC为正方形ABCD的对角线 ∴AC =
∴ ∴ 舍去
答：正方形的边长为。
20．证：∵F、G、E分别为AB、AC、BC的中点， ∴FG ∥BC，FE ∥GC
∴EF = GC =AC∵在Rt⊿ADC中， ∵DG为斜边AC边上的中线 ∴DG =AC
∴EF = DG ∵FG ∥BC ∴FG ∥DE且FGDE ∴四边形EDGF是等腰梯形。
21．证：∵矩形ABCD的对角线AC、BD ∴AC = BD
且有：AB = DC，∠BAD =∠CDA = AD = AD∴⊿BAD≌⊿CDA
∴∠1 =∠4∵AH⊥BD ∴∠2 +∠3 =，而∠1 +∠2 =
∴∠3 =∠1 =∠4∵AE平分∠BAD ∴∠3 +∠5 =∠6 +∠4 ∴∠5 =∠6
∵AH⊥BD，EG⊥BD∴AH∥GE ∴∠5 =∠E∴∠E =∠6
∴AC = CE = BD∴BD = CE

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