整式的乘法与因式分解培优.doc

第二章 整式的乘法
【知识点归纳】
1.同底数幂相乘， 不变， 相加。an.am= (m,n是正整数)
2.幂的乘方， 不变， 相乘。(an)m= (m,n是正整数)
3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n= (n是正整数)
4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。
5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a（m+n）=
6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b）（m+n）= 。
7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b）（a-b）=
8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b）2= ,（a-b）2= 。
9.公式的灵活变形：
（a+b）2+（a-b）2= ，（a+b）2-（a-b）2= ，
a2+b2=（a+b）2- ，
a2+b2=（a-b）2+ ，（a+b）2=（a-b）2+ ，
（a-b）2=（a+b）2- 。
【例1】若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值

【例2】已知两个多项式和，试判断是否存在整数，使是五次六项式？

【例3】已知为自然数，且，当时，求的所有值中最大的一个是多少？

【例4】如果代数式当时的值为,那么当时,该式的值是 .
【例5】已知为实数,且使,求的值.

【例6】（1）已知2x+2=a，用含a的代数式表示2x；
（2）已知x=3m+2，y=9m+3m，试用含x的代数式表示y．

【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式： ．
（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．

【例8】归纳与猜想：
（1）计算：①（x﹣1）（x+1）= ；
②（x﹣1）（x2+x+1）= ；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；
（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．
①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
（3）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）；
（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m= ；
（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．

【例9】认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
（a+b）1=a+b，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，
n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．

课后作业：
1、若，求的值。
2、在的积中，不含有项，则必须为 。
3、已知的结果是 。
4、已知的值为 。
5、已知的值等于 。
6、已知，则= 。
7、若的值为 。
8、当时，代数式的值等于，那么当时，代数式的值 .
9、已知，，，求多项式的值为。

10、已知均不为，且，那么的值是多少？

“整体思想”在整式运算中的运用
1、当代数式的值为7时,求代数式的值.

2、 已知，，，求：代数式的值。

3、已知，求的值.

4、若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．

5、先化简，再求值：
(1) ，其中x=-2,y=-3
(2)

第四讲 乘法公式（1）
公式的逆用
1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值

2、 已知，都是有理数，求的值。

3、已知 求与的值。

4、已知求与的值。

5、已知，求的值。

6、，求（1）（2）

7、试说明不论x,y取何值，代数式的值总是正数。

8、已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式，请说明该三角形是什么三角形？

9、计算
（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2） （2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）

（3）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）； （4）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．

10、已，求下列各式的值：（1）； （2）．

第五讲 乘法公式（2）
例1 已知a-b=2,b-c=1,求代数式的值。

例2 已知a、b、c为有理数，且满足的值。

例3 已知试求下列各式的值：
（1） （2） (3)

例4 已知x、y满足x2十y2十＝2x十y，求代数式的值．

例5 已知a、b、c均为正整数，且满足，又a为质数．
证明：(1)b与c两数必为一奇一偶；
(2)2(a+b+1)是完全平方数．

巩固练习
1、 若的值为
2、如果：
3、计算：=
4、若是一个完全平方式，则的值为 。
5、当= ，= 时，多项式有最小值，此时这个最小值是 。
6、的个位数字是 。
7、若的值是 。
8、计算的结果为 。

9、若的值为 。

10、多项式是一个六次四项式，则 。
11、若代数式的值为0，则 ， 。
12、已知, 求 的值

13、已知a,b,c是三角形的三边，且a2+b2+c2=ab=bc+ca,试判断三角形的形状

14、已知的值

四 作业
1．观察下列各式：
(x一1)(x+1)＝x2一l；
(x一1)(x2+x+1)=x3一1；
(x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1．
根据前面的规律可得 (x一1)(x n+x n-1+…+x+1)= ．
2．已知，则= ．
3．计算：
(1)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 =
(2) ．

4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式
5．已知，则= ．
6．已知，则代数式的值为( )．
A．一15 B．一2 C．一6 D．6

7．乘积等于( )．
A． B． C． D．

8．若，则的值是( )．
A．4 B．20022 C． 22002 D．42002

9．若，则的个位数字是( )．
A．1 B．3 C． 5 D．7

10．如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．
A． B．
C． D．

11．(1)设x+2z＝3y，试判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．

(2)已知x2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x—1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1)．

12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．

13．观察：

……
(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)．

14．你能很快算出19952吗?
为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．
(1)通过计算，探索规律．
152 =225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；
352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．
(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．
(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ．

第三章 因式分解
【知识点归纳】
1.把一个多项式表示成若干个 的形式，称为把这个多项式因式分解。（因式分解三注意：1.乘积形式；2.恒等变形；3.分解彻底。）
2.几个多项式的 称为它们的公因式。
3.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到 外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。am+an=a（ ）
4.找公因式的方法：
找公因式的系数：取各项系数绝对值的 。
确定公因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的 的。
5.把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。
a2-b2= ，a2+2ab+b2= ，a2-2ab+b2= 。
【典型例题】
1．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

2．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．

3．已知乘法公式：a5+b5=（a+b）（a4﹣a3b+a2b2﹣ab3+b4）；a5﹣b5=（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）．利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1．

4、先化简，再求值：，其中

5、已知能被整除，其商式为，求m、n的值。

6、已知a、b、c分别为△ABC的三边，你能判断的符号吗？

第六讲 因式分解（一）
【例题精讲】
◆例1：（1）4x（a－b）＋（b2－a2）； （2）（a2＋b2）2－4a2b2；

（3）x4＋2x2－3； （4）（x＋y）2－3（x＋y）＋2；

（5）x3－2x2－3x； （6）4a2－b2＋6a－3b；

（7）a2－c2+2ab+b2－d2－2cd （8）a2－4b2－4c2－8bc

◆例2：分解因式：
（1）

（2）

（3）

【巩固】分解因式：
1、； 2、；

3、；

4、分解因式：；

◆例3：把下列各式分解因式：
1、； 2、。

【巩固】分解因式：
1、； 2、。

◆例4：分解因式：。

【巩固】分解因式：
1、； 2、；

【拓展】分解因式：。

◆例5：已知多项式的值恒等于两个因式，乘积的值，则______________。

◆例6：分解因式：。

【巩固】分解因式：
1、；

2、；

【拓展】
1、为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？

2、多项式的一个因式是，试确定的值。

3、求证：可以化为两个整系数多项式的平方差。

【作业】
1、 分解因式：___________________________；
2、 分解因式：________________________________；
3、 分解因式：___________________________________；
4、 已知满足，，则_______________；
5、 分解因式：的结果是____________________________________；
6、已知能分解成两个整系数一次因式的乘积，求的值。

7、把下列各式分解因式：
（1） ； （2）；

（3） 用换元法分解；

（4） 用待定系数法分解。

7、 是什么数时，能分解成两个一次因式的积？

第七讲 因式分解的应用
【例题精讲】
◆例1：若的三条边满足关系式，则的形状是_________________________。
【巩固】
1、已知是三角形三边长，则代数式的值是（ ）
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.符号不定
2、设是三角形三边长，化简。

【拓展】已知是一个三角形的三边，则的值是（ ）
A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负
◆例2：已知，则的值是多少？

【巩固】
1、已知，求的值。

2、 已知，求的值。

3、 设，求的值。

◆例3：已知是自然数，且，求与的值。

【巩固】设是自然数，，求的值。

【拓展】设是相邻的两个自然数，问是否为平方数？

◆例4：（1）求证：能被45整除；
（2）证明：当为自然数时，形式的数不能表示成两个整数的平方差。

【课后作业】
1、的三边满足，则是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形
2、如果是一个完全平方式，那么等于（ ）
A.4900 B.700 C. D.
3、若能分解为两个一次因式的积，则的值为（ ）
A.1 B. C. D.2
4、若为奇数，则（ ）
A.一定是奇数 B.一定是偶数
C.可能是奇数，也可能是偶数 D.可能是整数，也可能是分数（分母不是1）
5、若为有理数，且，则______________。
6、已知，，那么________________。
7、计算：。

8、已知，求的值。

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