一元二次方程的实际应用精讲精练(含答案).doc

5.实际问题与一元二次方程
[学习目标]
1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解实际问题的重要性.2.通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力.
[预习导引]
在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下:
试题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40－x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2 x)件,根据题意可列方程:(40－x)(20+2x)=1200 方程化简整理为:x2－30x+200=0 解得:x1=20 x2=10
答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.
当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗?与同伴交流自己的想法.
实际问题的解,不仅要满足所列方程,还应符合题目中的每一个条件.
[点拔]当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元,因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题,不能漏掉任何一个条件.
[知能互动]1.列一元二次方程解应用题的特点:
一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型.
(1)数字问题:要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连续整数的形式.
如:一个三位数abc可表示为 连续两个偶数可表示为 连续两个整数可表示为 这类问题常常间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”译”出.
(2)平均增长率(增长率或降低常)问题;在此例问题中,一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式___________ 表示.这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语”译”出.(3)经营问题,这也是近年来中考中出现频率高的应用问题.
在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相关的量.这些量之间的关系可用公
式 表示,同时件数(n)又经常与售价(b)关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关系的代数式.(4)其它问题,在近年的中考中,常常出现一些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设计、测量统计、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等.解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句”译”出.(1.(1)100a+10b+c 2n 2n+2 n n+1 (2)a(1+x)n=b (3)p=(b－a)n)
2.列一元二次方程解应用题的一般步骤:
和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”.
(1)审:认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;
(2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.
(3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相等关系列出方程.
列一元二次方程解应用题时,一般会产生两个解,必须检验每个解是否符合题意,正确取舍.
(4)解:就是求出所列方程的解. (5)答:就是书写答案,在答之前应对解得的方程的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.
3.如何探求应用问题中的等量关系.
列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢?
(1)要正确熟练地作语言与式子的互化.(2)充分运用题目中所给的条件.(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系.(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系.①利用题目中的关键语句作为相等关系.
②利用公式、定理作为等量关系.③从生活、生产实际经验中发现等量关系.
[名题探究]例1.已知一直角三角形三边长为三个连续偶数,试求这个直角三角形三边长及面积.
[命题意图]本例考查列一元二次方程解答有关的数字问题.[解析]用含未知数的代数式表示出三个连续的偶数,再根据勾股定理列出方程求解.解:设直角三角形三边长分别为n,n+2,n+4,(n为偶数:n2+(n+2)2=(n+4)2。化简,整理,得:n2－4n－12=0 解得: n1=6,n2=－2 由于三角形的边长不能为负数,所以取n=6∴n+2=8,n+4=10 即,两直角边为6,8,斜边为10. 三角形面积为.答:直角三角形三边长为6,8,10,面积为24.
[思路探究]几何中的定理是我们列方程的等量关系的重要来源.
例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少?[命题意图]本题主要考查平均增长率问题.
[解析]本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为x,则今年的投资额为2(x+1)万元,明年的投资额为2(x+1)2万元,由今明两年的投资总额为12万元可列方程.解:设这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,
根据题意可列方程:2(1+x)+2(1+x)2=12化简整理得:x2+3x－4=0 解这个方程得:x1=1,x2=－4(负值不合题意,应舍去)答:该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为100%.
[思路探究]在本例中,12万元是两年的投资总额,不是最后一年的投资额,不能错误地列出方程2(1+x)2=12;另外在解这个方程时,还可把(1+x)当作一个整体,用换元法解.
例3.如图所示,△ABC中,∠B=90°,点P从A 点开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒钟,使△PDQ的面积等于8厘米2?
(2)如果P,Q,分别从A,B同时出发,并且P到B点又继续在BC边上前进,Q点到达C点后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,使△PCQ的面积等于12.6厘米2?[命题意图]本例主要考查一元二次方程知识与几何知识的综合运用,培养学生分析问题解决问题的能力.
[解析]先用含未知数的代数式表示出三角形的底和高,再根据三角形的面积公式列方程.
解(1)如图所示,设经过x秒,使得△PBQ的面积为8厘米2,则PB的长度为(6－x)cm,BQ的长度为2xcm,根据题意可列方程得:， 解之得:x1=2,x2=4 经过 2秒,点P到离B点4cm处,点Q到离B点的4cm处；经过4秒，点P距离B点2cm处,点Q到距离B点8cm处.即经过2秒或4秒,△PBQ面积为8cm2. (2)设经过y秒,点P移到BC上,且有CP=(14－y) cm,点Q移到CA上,且有CQ=(2y－8) cm,作PD⊥AC于D.(如图) AC=由△CPD∽△CAB得 ∴PD=. 根据题意可列方程：解这个方程得：y1=7,y2=11
当y=7时，点P在BC上距C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ面积为12.62。
当y=11时，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14>10，点Q已不在CA上，即此解不存在 ∴y=7 即经过7秒钟，△PCQ的面积为12.6厘米2.
[思路探究]象本例这一类动点问题一般要考查代数知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观点,弄清点的运动特征.动态问题,作静态分析,分类讨论,列出方程.
例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少?这时进这种玩具多少个?
[命题意图]本例考查经营销售问题.
[解析]设每玩具涨价x元,则售价为(40－x)元,每一只玩具的利润为(40+x－30)元,销售的件数为(600－10x)件,根据总利润为12000元列出方程.[思路探究]每一只玩具利润和销售总量均与上涨的价格有关,因而设上涨的价格为未知数较合适,用含未知数的代数式表示每一只玩具的利润和销售量..解:设每件玩具涨价x元，根据题意可列方程：(40+x－30)(600－10x)=12000
解之，得：x1=20,x2=30 检验知x1=20,x2=30均符合题意
所以，每只玩具售价应定为60元或70元，进货量应为400只或300只。

[中考链接]例5.某农户1988年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2010年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8
(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少?(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?
(3)该农户加强果园管理,力争到2013年三年合计纯收入达57000元,求2012年,2013年平均每年增长率是多少?
[命题意图]本例考查平均数意义及应用,方案的选择,平均增长率等知识.
[解析](1)中由样本平均数估计出总体平均数,进而估计出2001年水果的总产量,(2)通过计算,比较哪种销售方式所获收入多,(3)根据2001,2002,2003年纯收入的和为57000元,列方程求解.解(1)(千克)∴2001年水果总产量为2000×90%×10=18000(千克)
(2)在果园出售时收入为1.1×18000=19800元送到市场销售收入为23400元,用人工费为3600元,实际收入19800元,因市场销售还有运输费等费用,故在果园出售合理.(3)设平均每年的增长率为x,根据题意可列方程:(19800－7800)[1+(1+x)+(1+x)2]=57000解得:x1=－3.5(不合题意,应舍去)x2=0.5=50%
答(1)2001年的水果总产量为18000千克.(2)在果园销售合算.(3)年平均增长率为50%.

[达标训练]一、选择题：1.某商品两次价格下调后,单价从5元变为4.05元,则平均每次调价的百分率为 A.9% B.10% C.11% D.12%
2.容器里装满纯酒精,倒出一半后用水加满,再倒出,再用水加满,此时容器内酒精浓度为
A.15% B.12.5% C.37.5% D.25%
3.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则 A.200+200×2x=1000 B.200(1+x)2=1000
C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
4.从正方形的铁片上,截去5cm宽的一个长方形铁皮,余下的面积为84cm2,则原来正方形面积最大可能为 cm2.A.84 B.109 C.144 D.420
5.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调下得到一个两位数,这两个数之积是2296,则这个两位数为 A.28 B.82 C.28或82 D.不确定
6.元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有 人.
A.11 B.12 C.13 D.14
7.北京市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是 A.19% B.20% C.21% D.25%
二、填空题：
8.两个连续奇数的平方和为202,则这两个奇数是
9.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为
10.某工厂第一季度平均每月增产10%,一月份产值a元,那么三月份产值为 .
三、解答题：
11.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖二条和四条水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600平方米,那么水渠应挖多宽?
12.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到2002年每年经营总收入的年增长率相同,问2001年的预计经营总收入为多少万元?
13.用篱笆围成一个长方形花坛,其中一面靠墙,且在与墙平行的一边开一个2米宽的门,现有能围成91米长的篱笆,墙长为50米,花坛的面积要达到1080平方米,你能设计出符合要求的方案吗?不妨试试看.
14.我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里,其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里.(1)问水蚀,风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里?(2)西北某省重视水土流失问题,2010年治理了水土流失面积400平方公里,该省逐年加大治理力度,计划今明两年治理水土流失面积都比前一年增长 一个相同的百分数,到2013年底,使这三年治理水土流失面积达到1324平方公里,求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.
15.生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价为每只P(元),且R,P与x的关系式为R=500+30x,P=170－2x,当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元?
16.已知直角三角形周长为,斜边上的中线长为1,求这个直角三角形的面积.
17.某公司向银行贷款20万元资金,约定两年到期时一次性还本付息,利息是本金的12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金及利息外,还盈余6.4万元,若在经营期间每一年比前一年资金增长百分数相同,试求出这个百分数.
18.某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A度,那么这居民这个月只须交10元电费;如果超过A度,则这个月除了仍要交10元的用电费以外,超过的部份还要每度按交费.
(1)该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A度,则超过的部份应交电费 多少元(用A表示)
(2)下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况:
月份
用电量(度)
交电费总数(元)
3
80
25
4
45
10
根据上表数据,你能求电厂规定的A的值吗?试试看.
19.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AB于D,已知AB=4 cm,你能求出底边BC吗?试试看.
20.如图所示,客轮沿折线A－－－B－－－C从A点出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速度直线航行,将一批货物送达客轮,两船同时起航,并且同时到达折线A－－B－C的某点E处,已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°,客轮是货轮速度的2倍. (1)选择:两船相遇之处E点 A.在线段AB上 B.在线段BC上 C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?
21.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(350－10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?
22.汽车租货公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天\天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准备适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素,公司将每辆汽车的日租金提高几个10元?(1)能使公司的日租金总收入达到19380元?(2)使公司的日租金总收入最高?最高是多少?
[达标训练]答案提示
1．B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.－11,－9或9,11 9.5 10.1.21a元
11.解:如图所示,把这六条路移到靠边的部位,设路宽为x米,
根据题意可列方程(162－2x)(64－4x)=9600,
整理为:x2－97x+96=0 解之:x1=1 x2=96 .
而x2=96不符合题意
∴ x=1
答:路宽为1米.
12.解:2000年的经营总收入为600÷40%=1500(万元)
设年增长率为x,则1500(1+x)2=2160 (1+x)2=1.44 1+x=±1.2(舍去1+x=－1.2)
∴1500(1+x)=1500×1.2=1800(万元)
答:2001年预计经营总收入为1800万元.
13.解:设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的长为(91+2－2x)米,
根据题意,得x(91+2－2x)=1080
解之:x1=24,x2=22.5 经检验均符合题意.
当x1=24时,91+2－2x=45;当x2=22.5时,91+2－2x=48米
答:花坛的长和宽分别为45米,24米或48米,22.5米.
14.解(1)设水蚀造成的水土流失面积为x平方公里,则风蚀造成的水土流失面积为(x+26)万平方公里,根据题意有:x+(x+26)=356, 解之:x=165, ∴x+26=191.
故水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里.
(2)设该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x,依题意,得
400+400(1+x)+400(1+x)2=1324 解得:x1=0.1 x2=－3.1(不符合题意,应舍去)
故平均每年增长的百分数为10%
15.解:依据题意有(170－2x)x－(500+30x)=1750, 解之得x1=25,x2=45(不符合题意应舍去),即日产量为25只时,每月获得利润为1750元.
16.解:设直角边分别为a,b,根据题意有:a+b=①,②,①2－②2得:2ab=1.
∴.答:此三角形面积为.
17.解:设这个百分数为x,根据题意有:20(1+x)2=6.4+20(1+12%).
解得x1=0.2,x2=－2.2(不合题意应舍去).
答:这个百分数为20%.
18.解(1)
(2)根据题意有, 解之:A1=50,A2=30(不符合题意应舍去).
故电厂规定的A值为50度.
19.解:∵∠A=36°,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=72°.
又∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC=36°,
在△CBD与△CAB中,∠C=∠C=72°, ∠CBD=∠A=36°
∴△CBD∽△CAB∴ . ∴BC2=AB·CD.
又∵BC=BD=AD, ∴AD2=AC·CD,
设AD=x, 则CD=(4－x) ∴x2=4(4－x) 即x2+4x－16=0. 解之:
x1=－2+ (不合题意应舍去)
∴BC的长为()cm.
20.(1)B (2)货轮从出发到两船相遇共航行了海里
提示:设货船从出发到两船相遇共航行了x海里,过D作DF⊥CB于F,连结DE,
则DE=x AB+BE=2x ∵D是AC中点 ∴DF=100 ,EF=300－2x, ∴ x2=1002+(300－2x)2.
21.解:设每件商品应售x元,才能使商店赚400元,
根据题意,得(x－21)(350－10x)=400 解之得:
x1=25 x2=31(不合题意应舍去). 当x1=25时,350－10x=350－250=100.
答:该商店需要卖出100件商品,每件商品应售25元,才使商品赚400元.
22.解L1)设公司将每辆汽车日租金提高x个10元,才能使公司的日租金总收入达到19380元,根据题意有(160+10x)(120－6x)=19380 即x2－4x+3=0 解之得x1=1 x2=3 检验知x1=1 x2=3均符合题意.
故公司将每辆汽车租金提高10元或30元,公司的日租金总收入达到19380元.
(2)设公司的将每辆汽车日租金提高x个10元,
则公司每天出租的汽车为(120－6x)辆,则每天的租金总收入为
(160+10x)(120－6x)=－60(x+16)(x－20)=－60(x2－4x－320)
=－60[x2－4x+4－324]
=－60(x－2)2+19440
∴当x=2时,此时有最大值19440
即公司将每辆汽车的日租金提高2个10元时,公司的日租金收入最高,最高租金收入为19440元.

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