初二数学最短路径问题知识归纳+练习.doc

初二数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】
【问题1】
作法
图形
原理

在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．
连AB，与l交点即为P．

两点之间线段最短．
PA+PB最小值为AB．
【问题2】“将军饮马”
作法
图形
原理

在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．
作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P．

两点之间线段最短．
PA+PB最小值为A B＇．
【问题3】
作法
图形
原理

在直线、上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．
分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．

两点之间线段最短．
PM+MN+PN的最小值为
线段P＇P＇＇的长．
【问题4】
作法
图形
原理

在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．
分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．

两点之间线段最短．
四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．
【问题5】“造桥选址”
作法
图形
原理

直线∥，在、，上分别求点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小．
将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M．

两点之间线段最短．
AM+MN+BN的最小值为
A＇B+MN．
【问题6】
作法
图形
原理

在直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小．
将点A向右平移个长度单位得A＇，作A＇关于的对称点A＇＇， 连A＇＇B，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M．

两点之间线段最短．
AM+MN+BN的最小值为
A＇＇B+MN．
【问题7】
作法
图形
原理

在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小．

作点P关于的对称点P＇，作P＇B⊥于B，交于A．

点到直线，垂线段最短．
PA+AB的最小值为线段P＇B的长．
【问题8】
作法
图形
原理

A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小．

作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N．

两点之间线段最短．
AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．
【问题9】
作法
图形
原理

在直线l上求一点P，使的值最小．
连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．

垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．
＝0．

【问题10】
作法
图形
原理

在直线l上求一点P，使的值最大．
作直线AB，与直线l的交点即为P．

三角形任意两边之差小于第三边．≤AB．
的最大值＝AB．
【问题11】
作法
图形
原理

在直线l上求一点P，使的值最大．
作B关于l的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．

三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇．
最大值＝AB＇．
【问题12】“费马点”
作法
图形
原理

△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．

两点之间线段最短．
PA+PB+PC最小值＝CD．

【精品练习】
A
D
E
P
B
C
1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C．3 D．

2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．4

3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．120° B．130° C．110° D．140°

4．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．

5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），
且ED＝AE，则线段AE的取值范围是 ．

6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有）

7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(，0)．
OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．

8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在轴上，D在轴上，则四边形ABCD的周长最小值为 ，
此时 C、D两点的坐标分别为 ．

9．已知A（1，1）、B（4，2）．
（1）P为轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；

（2）P为轴上一动点，求的值最大时P点的坐标；

（3）CD为轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；

10．点C为∠AOB内一点．
（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．

11．（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CF＝CD；
（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由．

12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？

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