初中数学二次函数综合应用.doc

学 科
中考数学
课题名称
二次函数综合应用
教学目标
二次函数属于中考压轴题，知识点不仅多，考点灵活多变，而且难度较高，这就要求学生在复习二次函数时，须得把相关性质及相关解题技巧掌握扎实，理解透彻。本专题通过梳理二次函数的知识点(拓展知识点)，并结合近几年上海市中考数学最后2道题二次函数的考点，把握中考二次函数命题方向，提高学生利用二次函数和结合相似等综合知识点解决问题的能力。
教学重难点
重点：二次函数解析式的确定，二次函数与x轴交点问题，二次函数最值问题，二次函数图像上点的存在问题，二次函数与相似等其它知识点的结合。
难点：二次函数与相似等其它知识点的结合。

l 知识精解
二次函数性质及相关扩展
1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0), 函数图像是抛物线；
2、开口方向：（1）a>0, 开口向上， （2）a<0, 开口向下;
3、顶点坐标：（-b/2a, (4ac-b2)/4a）, 对称轴：x= -b/2a
4、 顶点式：y=a(x+h)2+k(a≠0)
h= -b/2a, k=(4ac-b2)/4a
5、平移问题：
①将一般式化为顶点式；
②遵循原则：“左+ 右-，上+ 下-”（左右是指沿x轴平移，上下是指沿y轴平移）
例：将y=x2+4x+3先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式是多少？

6、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
①一元二次方程根与系数的关系：x1+x2= -b/a, x1.x2=c/a
②求根公式：x＝，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。
当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
当△＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
当△＜0时，抛物线与x轴没有交点。
③运用抛物线的对称性： 若已知抛物线上两点，则对称轴方程可以表示为：

7、增减性：
①a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。
②a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。

8、最值问题
考察知识点：①a的符号；
②顶点坐标；
③x的取值范围；
④比较端点值的大小；
⑤对称性。
例：（1）某抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过(-1,0),(4,0)两点，求在-1≦x≦5范围内，该函数的最大值和最小值及对应的x值；
（2）某抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过(-1,0),(4,0)两点，求在-2≦x≦5范围内，该函数的最大值和最小值及对应的x值。

9、两点间的距离公式：
点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为

10、二次函数对称性：
（1）. 关于轴对称：
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（2）. 关于轴对称：
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（3）. 关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；

11、二次函数与其它知识点的综合：
（1）相似比（相似三角形，平行线分线段成比例）；
（2）全等三角形；
（3）解直角三角形；
（4）分点讨论；
（5）分段函数；
（6）动态追及问题；
（7）与圆相结合；
（8）与一次函数等数形结合的综合问题
（9）应用题等。

l 经典例题
1、已知，在平面直角坐标系中，二次函数y= -1/3x2+bx+c的图像经过点A（-1,1）和点B（2,2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D.
（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴
（2）求证： =
（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标

2、如图，一次函数y= -x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

3、已知二次函数y=mx2+5x-4，它的图像开口向下，且与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D。
（1）求m的取值范围；
（2）如果△ABC的面积为6，试求m的值；
（3）若直线x=k将第（2）题中的四边形ACBD的面积平分，则直线x=k截四边形ACBD所得的线段的长为多少？

4、已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y= -abx2+（a+b）x 的最值情况是（　　）
A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为

l 课堂练习
图1
1、如图1，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结，求的大小；
（3）如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．

2、抛物线y= -x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；
（2）联结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF是平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出它的定义域.

3、已知等腰直角三角形△ABC，∠C=90°，延长BA到E，延长AB到F，使得AE=2，连CE、CF，
且∠ECF=135°。
（1） 求证：△EAC∽△CBF；
（2） 设AB=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并指出它的定义域；
（3） 设由（2）所得函数的图像上任一点P（x，y）到点M（0,1）的距离为PM，点P到x轴的距离为PN.
试问：PM与PN的差是不是一个定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由.

l 课后作业
1、已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定

A
B
C
O
x
y
2、如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．

3、若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

4、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

5、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，点C(0,3)，点B是x轴上的一点(位于点A右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C.
(1)求∠ACB的度数；
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A，B两点，求抛物线的解析式；
(3)线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

6、如图，抛物线y＝x2－2x＋c的顶点A在直线l∶y＝x－5上．
(1)求抛物线顶点A的坐标；
(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C，D(点C在点D的左侧)，试判断△ABD的形状；
(3)在直线l上是否存在一点P，使以点P，A，B，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（本题满分12分）
如图，已知二次函数y=ax2-2ax+3（a<0）的图像与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图像经过点A、点B．
（1）求一次函数的解析式；
B
AB
O
x
y
P
（第7题图）

（2）求顶点P的坐标；
（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，
且tan∠OAM=，求点M的坐标．

8．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分）
已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当时，求BP的长．
E

D

C

B

A

（备用图）

E

D

C

B

A

P

（第8题图）

9