高三级数学选修导数与复数测试题.doc

高三级数学选修导数与复数测试题
时间：120分钟 满分：150分 姓名
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．函数y = (1－sinx)的导数是（ ）
A.y=2sin2x-cosx B. y=sin2x+2cosx C.y=2sin2x-2cosx D .y=sin2x-2cosx
2．设，则等于（ ）
A .-1 B. 1 C . 0 D. 任意实数
3．复数等于（ ）
A． B． C． D．
4．函数=，则=（ ）
A . 0 B . 1 C.2006 D. 2007
5.（2008重庆卷4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为 ( )
A． B. C. D.
6．曲线在点(1 ，)处切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
7．的图象开口向上，且顶点在第二象限，则的图象大概是（ ）
A
x
y
0
y
y
y
x
x
x
B
C
D
0
0
0

8．设是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．（－1，0）∪（1，+） B．（－1，0）∪（0，1）
C．（－，－1）∪（1，+） D．（－，－1）∪（0，1）
9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（ ）
A.f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1）
C. f（0）＋f（2）³2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）
10．函数的单调减区间是（ ）
A． B． C．及 D．
11．已知（ ）
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2
12．已知f＇（0）=2，则=（ ）
A．4 B．－8 C．0 D．8
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分
13．已知函数在R上可导，函数，则
14．f（x）= 1+3sin x + 4cos x取得最大值时tan x =
15．设、为实数，且，则+=_________
16．（2008江苏卷14）对于总有≥0 成立，则=
三、解答题：本大题共6小题，共74分
17．（12）已知，求的值。

18．（12）（20008全国Ⅰ卷19）已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

19．（12）已知函数,(aR),设曲线在点(1 )处的切线为,若与圆C: 相切，求a的值

20．（12）有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．

21．（12）已知函数
（1）求函数f (x)的单调区间； （2）求证：x > 1时，

22．（2008天津卷21）（14分）已知函数（），其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

（导数与复数）参考答案
一 DBABC DCACA CD
二 13. 0 14. 15. 4 16. 4
三．17．解：=
18．解：解：（1）求导：
当时，，，在上递增
当，求得两根为
即在递增，递减，
递增
（2），且解得：

19．解：依题意有：= a, =2ax+ (x<2)
方程为=0
与圆相切 =a=
20．解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．

点的纵坐标满足方程，
解得

　，
其定义域为．
（II）记，
则．
令，得．
因为当时，；当时，，所以是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为．
即梯形面积的最大值为．
21．解 1）依题意知函数的定义域为x > 0. ，
所以，当a≤0时，f (x)的单调递增区间为（0，+∞）
当时，，令，有；
所以函数f (x)的单调递增区间为；令，有
所以函数f (x)的单调递减区间为.
（2）设
时，，
所以g (x)在（1，+∞）上是增函数，

∴当x>1时，
22．（Ⅰ）解：．
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：

0

2

－
0
＋
0
－
0
＋

↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须成立，即有．
解些不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．
所以，因此满足条件的的取值范围是．

由(1)知a n> a ()
故 对任意正整数n都有a n> a n+1。