初中数学二次函数的应用(二).doc

二次函数的应用

◆目标指引
1．运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义．
2．体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题．
3．经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，学会运用这种“转化”的数学思想方法．
◆要点讲解
1．在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2．运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题．
◆学法指导
1．当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1）变量的取值范围；（2）求最值时，宜用配方法．
2．有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答．
◆例题分析
【例1】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始，沿着AB向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P，Q同时出发，问：
（1）经过几秒后P，Q的距离最短？
（2）经过几秒后△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过ts，显然AP和BQ的长度分别为AP=t，BQ=2t（0≤t≤6）．PQ的距离PQ==．因此，只需求出被开方式5t2－12t+36的最小值，就可以求P，Q的最短距离．
【解】（1）设经过ts后P，Q的距离最短，则：
∵PQ====
∴经过s后，P，Q的距离最短．
（2）设△PBQ的面积为S，
则S=BP·BQ=（6－t）·2t=6t－t2=9－（t－3）2
∴当t=3时，S取得最大值，最大值为9．
即经过3s后，△PBQ的面积最大，最大面积为9cm2．
【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关系．在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围．
【例2】某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金500万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价若增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利额（年获利额=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．
（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，销售单价还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？
（4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；第二年的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围？
【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程知识来解题．
【解】（1）依题意知：当销售单价定为x元时，年销量减少（x－100）万件．
∴y=20－（x－100）=－x+30．
即y与x之间的函数关系式是y=－x+30．
（2）由题意可得：
z=（30－x）（x－40）－500－1500=－x2+34x－3200．
即z与x之间的函数关系式为z=－x2+34x－3200．
（3）∵当x=160时，
z=－×1602+34×160－3200=－320，
∴－320=－x2+34x－3200，
即x2－340x+28800=0．
由x1+x2=－得，160+x=340，∴x=180．
即得到同样的年获利额，销售单价还可以定为180元．
当x=160时，y=－×160+30=14，
当x=180时，y=－×180+30=12．
所以相应的年销售量分别为14万件和12万件．
（4）∵z=－x2+34x－3200=－（x－170）2－310，
∴当x=170时，z取得最大值为－310．
即当销售单价为170元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资．
第二年的销售单价定为x元时，则年获利额为：
z′=（30－x）（x－40）－310=－x2+34x－1510．
当z′=1130时，即1130=－x2+34x－1510，
解得x1=120，x2=220．
∴函数z′=－x2+34x－1510的大致图象如图所示．

由图象可看出：
当120≤x≤220时，z≥1130．
∴第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．
◆练习提升
一、基础训练
1．函数y=的最大值是______．
2．炮弹从炮口射出后飞行的高度h（米）与飞行的时间t（秒）之间的函数关系式为h=v0tsinα－5t2，其中v是发射的初速度，α是炮弹的发射角，当v0=300米/秒，α=30°时，炮弹飞行的最大高度为_______米，该炮弹在空中飞行了______秒落到地面上．
3．如图，某涵洞呈抛物线形，现测得水面宽AB=1.6米时，涵洞顶点O到水面的距离为2.4米，在图中的直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数关系式为______．

4．如图，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为（ ）

5．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的最大高度应小于（ ）
A．2.80米 B．2.816米 C．2.82米 D．2.826米
6．如图，今有网球从斜坡OA的点O处抛出，网球的抛物路线的函数关系是y=4x－x2，斜坡的函数关系是y=x2，其中y是垂直高度，x是与点O的水平距离．
（1）求网球到达的最高点的坐标；
（2）网球落在斜坡上的点A处，写出点A的坐标．

7．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

8．如图所示，一位运动员在距篮圈4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的坐标系，求抛物线的解析式；
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问球出手时，他跳离地面的高度是多少？

二、提高训练
9．如图，图中四个函数的图象分别对应的解析式是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A．a>b>c>d B．a<c<b<d C．a>c>b>d D．d>c>b>a

10．为备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处挑射，正好射中了2．4m高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图）．有下列结论：①a+b+c>0；②－<a<0；③a－b+c>0；④0<b<－12a．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
11．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：
（1）设运动后开始第t秒时，五边形APQCD的面积为S（单位：厘米2），写出S与t之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；
（2）t为何值时S最小？并求出S的最小值．

12．如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B，C，Q，R在同一直线L上，当C，Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线L按箭头方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为S（单位：cm2）．
（1）当t=3s时，求S的值；
（2）当t=5s时，求S的值；
（3）当5≤t≤8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．

13．如图，甲船位于乙船的正西方向26km处，现甲、乙两船同时出发，甲船以每小时12km的速度朝正北方向行驶，乙船以每小时5km的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？

三、拓展训练
14．如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4，求：
（1）四边形CGEF的面积S关于x的函数关系式和x的取值范围；
（2）面积S是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）当x为何值时，S的数值等于x的4倍？

答案:
1． 2．1125，30 3．y=－3.75x2 4．D 5．B
6．（1）（4，8） （2）A（7，）
7．（1）y=－3x+240 （2）W=－3x2+360x－9600
（3）当每箱定价为55元时，可获利大利润为1125元
8．（1）y=－0.2x2+3.5 （2）0.2m 9．C 10．B
11．（1）S=t2－6t+72（0≤t≤6） （2）t=3时，S最小=63
12．（1）cm2 （2）cm2 （3）S=－（t－）2+，S最大=cm2
13．当行驶小时时，两船相距最近，最近距离为24km
14．（1）S=x2－7x+18（0<x<3） （2）不存在，理由略 （3）2

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