计算机图形学 第5章 几何变换.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,5,章 几何变换,第,5,章 几何变换,5.1,窗口到视区的变换,5.2,二维基本变换,5.3,二维几何变换的齐次坐标表示,5.4,组合变换,5.5,三维几何变换,5.1,窗口到视区的变换,一、用户域和窗口区,1.,用户域：程序员用来定义草图的整个自然空间,(,WD,),人们所要描述的图形均在用户域中定义。,用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。,2.,窗口区：用户指定的任一区域,(,W,),窗口区,W,小于或等于用户域,WD,小于用户域的窗口区,W,叫做用户域的子域。,窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口等等,窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，在第,I,层窗口中可再定义第,I+1,层窗口等等。,5.1,窗口到视区的变换,二、屏幕域和视图区,1.,屏幕域,(,DC,),：,设备输出图形的最大区域，是有限的整数域。如图形显示器分辨率为,1024,768,DC,0.1023,0.767,2.,视图区,：,任何小于或等于屏幕域的区域,视图区用设备坐标定义在屏幕域中,窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区的坐标转换。,视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。,视图区也可以嵌套。,5.1,窗口到视区的变换,三、,窗口区和视图区的坐标变换,设窗口的四条边界,WXL,WXR,WYB,WYT,视图的四条边界,VXL,VXR,VYB,VYT,则用户坐标系下的点（即窗口内的一点）,(,Xw,Yw,),对应屏幕视图区中的点（,Xs,Ys,），,其变换公式为,5.1,窗口到视区的变换,简化为,：,三、窗口区和视图区的坐标变换,如令,a,（,VXR-VXL,）,/(WXR-WXL),b,VXL-WXL,（,VXR-VXL,）,/(WXR-WXL),c=(VYT-VYB)/(WYT-WYB),d,VYB-WYB,(VYT-VYB)/(WYT-WYB),5.1,窗口到视区的变换,简化为,：,1),当,a,c,时，即,x,方向的变化与,y,方向的变化不同时，视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。,2),当,a,=,c,=1,，,b,=,d,=0,且窗口与视图区的坐标原点也相同，则在视图区产生与窗口区相同的图形。,三、窗口区和视图区的坐标变换,5.2,二维基本变换,图形变换,一般是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。,对于线框图的变换，通常以点变换作为基础，把图形的一系列顶点作几何变换，连接新的顶点系列即可产生新的图形,对于用参数方程描述的图形，可以通过参数方程作几何变换，实现对图形的变换,5.2.1,平移变换,平移是一物体从一个位置到另一个位置所作的直线移动。如果要把一个位于,P,（,x,，,y,）,的点移到新位置,p,（,x,，,y,），,则只要在原坐标上加上平移距离,T,x,和,T,y,即可,平移距离（,T,x,，,T,y,）,称为平移向量或向量。,如果用向量形式来表示位移前后的两个点,5.2.1,平移变换,平移向量表示为：,那么，可以用矩阵相加来表示,P,点的位移,记为：,5.2.2,比例变换,比例变换：,用来改变一物体大小的变换，也称为,缩放变换。,如果要对一个多边形进行比例变换，那么可把各顶点的坐标（,x,，,y,）,均乘以比例因子,S,x,，,S,y,，,以产生变换后的坐标（,x,，,y,）,1.S,x,、,S,y,可以是任意正数,2.Sx,、,Sy,1,，,则物体放大,4.Sx,、,Sy,1,，,则物体大小形状不变,5.2.2,比例变换,如果令,则比例变换可以表示成以下的矩阵形式：,5.2.3,旋转变换,旋转变换：物体上的各点绕一固定点沿圆周路径作转动称为旋转变换。可用旋转角表示旋转量的大小。,一个点由由位置（,x,，,y,）,旋转到（,x,，,y,）,的角度为自水平轴算起的角度，,为旋转角，可由三角关系得：,5.2.3,旋转变换,相对于坐标原点的旋转变换公式：,如果令,则有,5.3,二维几何变换的齐次坐标表示,5.3.1,齐次坐标技术,三种基本几何变换的矩阵表示形式,：,平移变换的处理方法与其他两种变换的形式不一样，希望能够用一种一致的或同类的方法来处理这,3,种变换，使得这,3,种基本变换能很容易地结合在一起，形成各种复杂的组合变换。,5.3.1,齐次坐标技术,齐次坐标,：,基本思想,：把一个,n,维空间的几何问题，转换到,n,1,维空间中去解决。,形式,：用一个有,n,1,个分量的向量去表示一个有,n,个分量的向量的方法,如二维平面上的点（,x,，,y,）,的齐次坐标表示为（,hx,，,hy,，,h,），,h,是任一不为,0,的比例系数。,齐次坐标表示（,x,，,y,，,h,）,二维笛卡儿直角坐标（,x/h,，,y/h,）,规格化齐次坐标,：齐次坐标表示不是唯一的，通常将,h,1,时的齐次坐标称为规格化的齐次坐标。,5.3.1,齐次坐标技术,使用齐次坐标表示法在计算机图形处理中的优越性：,（,1,）将平移、旋转、缩放,3,种变换用统一的方式，即用矩阵乘积的方式表达。提供了用矩阵运算将二维、三维或更高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。,（,2,）可以表示无穷远点,齐次坐标（,hx,，,hy,，,h,）,h0,时，随着,h,的变化，每个齐次点代表了空间的一条线,将,3,个坐标都除以,h,，得到（,x,，,y,，,1,）代表该直线与（,x,，,y,，,w,）空间中,h,1,平面交的点。,h,0,，代表该直线趋于无穷远点。,5.3.2,几何变换的齐次坐标表示,由于齐次坐标表示的点是用,3,个分量的行向量来表示的，这样变换矩阵也必须是,33,的矩阵，以便于矩阵相乘，当然变换后得到的点也是有,3,个分量的齐次坐标。,1.,平移变换,平移矩阵可写为：,5.3.2,几何变换的齐次坐标表示,1.,平移变换,对含有平移距离,T,x,及,T,y,的,3,3,的变换矩阵，可引入缩写符号,平移变换的矩阵形式缩写为：,5.3.2,几何变换的齐次坐标表示,2.,比例变换,比例变换的矩阵形式为：,缩写为：,式中：,是用参数,S,x,及,S,y,表示的,3,3,的比例变换矩阵。,5.3.2,几何变换的齐次坐标表示,3.,旋转变换,旋转变换矩阵形式为：,缩写为：,式中：,为一个含有参数,的,33,的旋转变换矩阵。,5.3.3,其他变换,在大多数图形系统中，都包含平移、比例及旋转等基本变换。有的还提供另外几种很有用的变换如反射变换及错切变换等。,1.,反射变换,反射是用来产生物体的镜像的一种变换。物体的镜像一般是相对于一对称轴生成的。,（,1,）关于,X,轴对称变换,关于,x,轴的对称变换是一种特殊形式的缩放变换，其中,S,x,1,，,S,y,1,，其变换矩阵为：,5.3.3,其他变换,1.,反射变换,（,2,）关于,Y,轴对称变换,关于,Y,轴的对称变换是一种特殊形式的缩放变换，其中,S,x,-1,，,S,y,1,，,其变换矩阵为：,5.3.3,其他变换,1.,反射变换,（,3,）关于坐标原点的对称变换,关于,x,轴的对称变换是一种特殊形式的缩放变换，其中,S,x,1,，,S,y,1,，,其变换矩阵为：,5.3.3,其他变换,1.,反射变换,当,b,=,d,=0,a,=-1,e,=1,时，,(,x,*,y,*1)=(-,x,y,1),：与,y,轴对称的反射变换。,当,b,=,d,=0,a,=1,e,=-1,时，,(,x,*,y,*1)=(,x,-,y,1),：与,x,轴对称的反射变换。,当,b,=,d,=0,a,=,e,=-1,时，,(,x,*,y,*1)=(-,x,-,y,1),：,与原点对称的反射变换。,当,b,=,d,=1,a,=,e,=0,时，,(,x,*,y,*1)=(,y,x,1),：与,y,=,x,对称的反射变换。,当,b,=,d,=-1,a,=,e,=0,时，,(,x,*,y,*1)=(-,y,-,x,1),：与,y,=-,x,对称的反射变换。,5.3.3,其他变换,2.,错切变换,这种变换可使物体产生变形，即物体产生扭转（或称为错切）。常用的两种错切是沿着,x,向或沿着,y,向错切变换。,（,1,）沿,x,方向关于,y,轴的错切,对矩形,ABCD,沿,x,轴方向进行错切变换，得到矩形,A,B,CD,。,错切的角度为，令,sh,x,tan,假定点（,x,，,y,）,经错切变换后变为（,x,，,y,）,则,：,5.3.3,其他变换,2.,错切变换,（,1,）沿,x,方向关于,y,轴的错切,变换矩阵为：,式中,sh,x,可取任意实数，此变换只影响,x,坐标（,y,坐标保持不变）。变换时物体上的各点水平偏移一段距离，偏移量正比于,y,值。,5.3.3,其他变换,2.,错切变换,（,2,）沿,y,方向关于,x,轴的错切,对矩形,ABCD,沿,y,轴方向进行错切变换，得到矩形,AB,C,D,。,错切的角度为，令,sh,y,tan,，,假定点（,x,，,y,）,经错切变换后变为（,x,，,y,）,则,：,5.3.3,其他变换,2.,错切变换,（,2,）沿,y,方向关于,x,轴的错切,变换矩阵为：,式中,sh,y,可取任意实数，此变换只影响,y,坐标（,x,坐标保持不变）。变换时物体上的各点垂直偏移一段距离，偏移量正比于,x,值。,5.3.3,其他变换,2.,错切变换,1),当,d,=0,时，,(,x,*,y,*1)=(,x,+,by,y,1),：,图形的,y,坐标不变；,当,b,0,：,图形沿,+,x,方向作错切位移。,ABCD,A1B1C1D1,当,b,0,：,图形沿,+,y,方向作错切位移。,ABCD,A1B1C1D1,当,d,0,：,图形沿,-,y,方向作错切位移。,ABCD,A2B2C2D2,5.3.3,其他变换,2.,错切变换,3),当,b,0,且,d,0,时，,(,x,*,y,*1)=(,x,+,by,dx,+,y,1),：,图形沿,x,y,两个方向作错切位移。,错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生变形。,5.3.4,二维几何变换的一般形式,设图形上一点的坐标为,P,（,x,，,y,），经过二维几何变换后的坐标为,P,（,x,，,y,），变换矩阵一般可写为：,5.3.4,二维几何变换的一般形式,设图形上一点的坐标为,P,（,x,，,y,），经过二维几何变换后的坐标为,P,（,x,，,y,），变换矩阵一般可写为：,这样的变换在数学上称为仿射变换，前面介绍的几种变换都是仿射变换的特例。,5.3.4,二维几何变换的一般形式,二维变换矩阵：,注意：,T,2,D,可看作三个行向量，其中,1 0 0,：表示,x,轴上的无穷远点,0 1 0,：表示,y,轴上的无穷远点,0 0 1,：表示原点,5.3.4,二维几何变换的一般形式,从变换功能上可把,T,2,D,分为四个子矩阵,5.4,组合变换,任意一个变换序列均可表示为一个组合变换矩阵。组合变换矩阵可由基本变换矩阵的乘积求得。由若干基本变换矩阵相乘求得组合变换矩阵的方法称为,矩阵的级联,。,5.4.1,单个基本变换的组合变换,1.,组合平移变换,要对一物体连续平移两次，假定两次平移的距离为（,T,x1,，,T,y1,）及（,T,x2,，,T,y2,）,则,相当于把两个平移矩阵级联起来，然后把此组合矩阵作用到各坐标点上，由此可计算出组合矩阵为：,5.4.1,单个基本变换的组合变换,1.,组合平移变换,上式表明，进行连续两次平移，实际上是把平移距离相加，即,坐标点进行组合平移变换时，可用以下矩阵形式表示：,5.4.1,单个基本变换的组合变换,2.,组合比例变换,作用于点,P,的两次连续的比例变换的变换矩阵为,即,连续进行两次比例变换，实际上是把相应的比例因子相乘。例如，若要连续两次把物体的尺寸放大,3,倍，则物体的最后尺寸放大到原来的,9,倍。,5.4.1,单个基本变换的组合变换,3.,组合旋转变换,连续两次旋转的组合变换矩阵可表示为：,与组合平移的情况相似，连续旋转实际是把旋转角相加,5.4.2,多个基本变换的组合变换,1.,相对于任一固定点的比例变换,由基本平移变换矩阵及比例变换矩阵，可得到相对于任一固定点,A,（,x,A,y,A,）,的比例运算的组合矩阵。此时实际上是进行由三个基本变换形成的一个变换序列。,（,1,）把图形及固定点一起平移，使固定点移到坐标原点上；,（,2,）把图形相对于原点进行比例变换,（,3,）把图形及固定点一起平移，使固定点又回到原来位置。,5.4.2,多个基本变换的组合变换,1.,相对于任一固定点的比例变换,此,变换序列可表示为：,其中变换矩阵,S,A,(S,x,S,y,),为,:,5.4.2,多个基本变换的组合变换,2.,围绕任一基准点的旋转变换,（,1,）把物体平移，使基准点与坐标原点重合。,（,2,）把物体绕原点旋转。,（,3,）把物体平移，使基准点回到原来位置,5.4.2,多个基本变换的组合变换,2.,围绕任一基准点的旋转变换,此,变换序列可用以下矩阵的乘积表示：,5.4.2,多个基本变换的组合变换,3.,关于任意轴的对称变换,对以任一直线,l,为对称轴的对称变换，可以用变换合成的方法。,（,1,）平移使,l,过坐标原点，记变换为,T,1,，,图形,A,被变换到,A,1,（,2,）,旋转,角，使,l,和,ox,轴重合，记变换为,R,1,，,图形,A,1,被变换到,A,2,（,3,）,求图形,A,关于,x,轴的对称图形,A,3,，,记变换为,RF,x,（,4,）,旋转,-,角，记变换为,R,2,，,图形,A,3,被变换到,A,4,（,5,）,平移使,l,回到其原先的位置，记变换为,T,2,，,图形,A,4,被变换到,A,5,，,A,5,即为,A,关于,l,的对称图形。总的变换为：,5.5,三维几何变换,三维图形的平移、比例及旋转变换是对二维变换的扩展，即三维情况下应附加考虑,z,坐标的变换。,对于三维空间点需要用,4,个数来表示，而相应的变换矩阵是,44,阶矩阵。,5.5.1,三维坐标系的建立,三维空间比二维平面复杂。三维空间中的两种坐标系：右手坐标系和左手坐标系。,右手坐标系,：伸出右手，当用大拇指指向,x,轴的正方向，食指指向,y,轴的正方向，则与手心垂直的中指方向就是,z,轴正向。,左手坐标系,用左手类似确定,左手坐标系,：把左手坐标系中的,xy,坐标平面看成显示器的显示平面或观察平面，这样物体就位于观察平面的后边，当,z,值较大时，物体离观察者比较远。,5.5.2,三维图形几何变换,用齐次坐标表示三维空间中的点,P(x,y,z),应为,x y z 1,描述三维空间中各种变换的变换矩阵,T,应是,44,的形式：,5.5.2,三维图形几何变换,5.5.2,三维图形几何变换,1,、平移变换,2,、比例变换,在二维变换下，对称变换是以线和点为基准，在三维变换下，对称变换则是以面、线、点为基准的。,对称于,XOY,平面,实际上是改变,z,坐标的符号而保持,x,、,y,坐标不变,x,y,z,1=x y-z 1=x y z 1,5.5.2,三维图形几何变换,3,、对称变换,对称于,YOZ,平面,实际上是改变,x,坐标的符号而保持,y,、,z,坐标不变,x,y,z,1=-x y z 1=x y z 1,5.5.2,三维图形几何变换,3,、对称变换,对称于,XOZ,平面,实际上是改变,y,坐标的符号而保持,x,、,z,坐标不变,x,y,z,1=x -y z 1=x y z 1,5.5.2,三维图形几何变换,3,、对称变换,5.5.2,三维图形几何变换,4,、错切变换,变换矩阵为：,点,P(x,y,z),在,T,作用下变为：,若,d,g,不为,0,，则沿,X,轴方向有错切；若,b,h,不为,0,，则沿,Y,轴方向有错切,;,若,e,f,不为,0,，则沿,Z,轴方向有错切。,可根据元素所在行，判断出是关于哪个变量的错切，比如：,b,c,关于变量,x,的错切；,d,f,关于变量,y,的错切；,g,h,关于变量,z,的错切；,5.5.2,三维图形几何变换,5.,旋转变换,绕,X,轴变换,空间上的立体绕,X,轴旋转时，立体上各点的,X,坐标不变，只是,Y,、,Z,坐标发生相应的变化。,X,Y,Z,(y,z),(y,z,),Y,O,O,(y,z,),(y,z),Z,三维空间中的旋转有绕,x,、,y,、,z,轴的旋转以及绕空间一条任意轴的旋转等。,5.5.2,三维图形几何变换,x=x,y=,cos(+,)=y*,cos,-z*,sin,z=,sin(+,)=y*,sin+z,*,cos,矩阵表示为：,5.5.2,三维图形几何变换,绕,Y,轴旋转,此时，,Y,坐标不变，,X,，,Z,坐标相应变化。,X,Y,Z,(x,z),(x,z,),X,Z,O,O,Z,5.5.2,三维图形几何变换,x=,sin(+,)=x*,cos,+z*,sin,y=y,z=,cos(+,)=z*,cos,-x*,sin,矩阵表示为,5.5.2,三维图形几何变换,绕,Z,轴旋转,此时，,Z,坐标不变，,X,，,Y,坐标相应变化。,X,Y,Z,(x,y),(x,y,),X,Y,O,O,5.5.2,三维图形几何变换,x=,cos(+,)=x*,cos,-y*,sin,y=,sin,(,+,)=x*,sin,+y*,cos,z=z,矩阵表示为：,5.5.2,三维图形几何变换,已知空间有任一轴,AB,，,A,点坐标为（,xA,yA,zA,）。,现有一点,P,（,x,y,z,），绕,AB,逆时针旋转,角后成为,P,（,x,y,z,）,6.,围绕任意轴的旋转变换,5.5.2,三维图形几何变换,6.,围绕任意轴的旋转变换,在给定旋转轴的特征及旋转角之后，可用以下,5,步完成对任意轴的旋转：,（,1,）平移物体使旋转轴通过坐标原点,（,2,）旋转物体使旋转轴与某一坐标轴重合,（,3,）进行规定的旋转,（,4,）进行反旋转使放置轴回到原来的方位,（,5,）进行反平移使旋转轴回到原来的位置。,在进行上述变换时，可使旋转轴与,3,个坐标轴的任一个重合。一般选取,z,轴。,5.5.2,三维图形几何变换,假定旋转轴用两点定义,P,1,（,x,1,，,y,1,，,z,1,）和,P,2,（,x,2,，,y,2,，,z,2,），,由此两点定义一向量：,用此向量可求得沿旋转轴的单位向量,向量,u,的各分量,a,、,b,、,c,为向量,V,的方向余弦,5.5.2,三维图形几何变换,（,1,）用以下平移矩阵可把物体平移使旋转轴通过坐标原点,：,用,上述变换可把,P,1,置于原点,5.5.2,三维图形几何变换,（,2,）使旋转轴与,z,轴重合,1.,围绕,x,轴旋转使向量,u,转到,xz,平面中,确定使,u,转到,xz,平面所需的旋转角的正弦及余弦值。旋转角是,u,在,yz,平面上的投影与正,z,轴之间的夹角,。,条件：,u,在,yz,平面上的投影向量,u,（,0,，,b,，,c,）,则：的正弦值可由,u,与沿,z,轴的单位向量,u,z,的数量积确定，即,5.5.2,三维图形几何变换,（,2,）使旋转轴与,z,轴重合,a.,围绕,x,轴旋转使向量,u,转到,xz,平面中,由此可得绕,x,轴的旋转矩阵为：,5.5.2,三维图形几何变换,二、使旋转轴与,z,轴重合,b.,把,xz,平面中的单位向量围绕,y,轴旋转到正,z,轴,单位向量在绕,x,轴旋转至,xz,平面后，此向量记为,u,，,（,1,）由于绕,x,轴旋转时,x,方向的分量不变，所以,u,在,x,方向的分量仍为,a,（,2,）,向量,u,已旋转到,z,轴，所以,u,的,z,分量为,d,（,3,）,u,已位于,xz,平面，所以其,y,分量为,0,5.5.2,三维图形几何变换,可由单位向量,u,和,u2,之间的数量积决定旋转角,的正弦值及余弦值,5.5.2,三维图形几何变换,二、使旋转轴与,z,轴重合,c.,按给定的旋转角,绕,z,轴旋转，则旋转矩阵为,