高中数学选修23导学案正规模版2.doc

§2.3.1离散型随机变量的均值（1）
学习目标
1．理解并应用数学期望来解决实际问题；
2．各种分布的期望．
学习过程
一、课前准备
（预习教材P69~ P72，找出疑惑之处）
复习1：甲箱子里装个白球，个黑球，乙箱子里装个白球，个黑球，从这两个箱子里分别摸出个球，则它们都是白球的概率？

复习2：某企业正常用水的概率为，则天内至少有天用水正常的概率为 ．

二、新课导学
※ 学习探究
探究：某商场要将单价分别为元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？

新知1：均值或数学期望：
若离散型随机变量的分布列为：

…

…

…

…

则称 ．
为随机变量的均值或数学期望．

它反映离散型随机变量取值的 ．

新知2：离散型随机变量期望的性质：
若，其中为常数，
则也是随机变量，且．

注意：随机变量的均值与样本的平均值的：
区别：随机变量的均值是 ，而样本的平均值是 ；
联系：对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值．

※ 典型例题
例1在篮球比赛中，罚球命中次得分，不中得分．如果某运动员罚球命中的概率为，那么他罚球次的得分的均值是多少？

变式：．如果罚球命中的概率为，那么罚球次的得分均值是多少？

新知3：
①若服从两点分布，则 ；
②若～，则 ．

例2．一次单元测验由个选择题构成，每个选择题有个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得分，不选或选错不得分，满分分．学生甲选对任意一题的概率为，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求甲学生和乙学生在这次测验中的成绩的均值 ．

思考：学生甲在这次单元测试中的成绩一定会是分吗？他的均值为分的含义是什么？

※ 动手试试
练1．已知随机变量的分布列为：

0
1
2
3
4
5

0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
求．

练2．同时抛掷枚质地均匀的硬币，求出现正面向上的硬币数的均值．

三、总结提升
※ 学习小结
1．随机变量的均值；
2．各种分布的期望．

※ 知识拓展
二项分布均值推导的另一方法：
设在一次试验中某事件发生的概率，是次试验中此事件发生的次数，令，则
时，，，
；
时，，．

由此猜想：若～，则．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1
3
5

0.5
0.3
0.2
1. 随机变量的分布列为
则其期望等于（ ）．

A． B． C． D．
2．已知，且 ，则( ) ．
A． B． C． D．
3．若随机变量满足，其中为常数，则（ ）．
A． B． C． D．不确定
4．一大批进口表的次品率，任取只，其中次品数的期望 ．
5．抛掷两枚骰子，当至少有一枚出现点时，就说这次试验成功，则在次试验中成功次数的期望 ．
课后作业
1．抛掷1枚硬币 ，规定正面向上得1分，反面向上得分，求得分的均值．

2．产量相同的台机床生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数的分布列分别如下：

0
1
2
3

0.4
0.3
0.2
0.1

0
1
2

0.3
0.5
0.2
问哪台机床更好？请解释所得出结论的实际含义．

§2.3.1离散型随机变量的均值（2）
学习目标
1．进一步理解数学期望；
2．应用数学期望来解决实际问题．
学习过程
一、课前准备
（预习教材P72~ P74，找出疑惑之处）
复习1：设一位足球运动员，在有人防守的情况下，射门命中的概率为，求他一次射门时命中次数的期望

复习2：一名射手击中靶心的概率是，如果他在同样的条件下连续射击次，求他击中靶心的次数的均值？

二、新课导学
探究：
某公司有万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类拟项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是 元．

※ 典型例题
例1 已知随机变量取所有可能的值是等到可能的，且的均值为，求的值

例2．根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为，有大洪水的概率为．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失元，遇到小洪水时要损失元．为保护设备，有以下种方案：
方案1：运走设备，搬运费为元
方案2：建保护围墙，建设费为元，但围墙只能防小洪水 ．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好．

思考：根据上述结论，人们一定采取方案2吗？

※ 动手试试
练1．现要发行张彩票，其中中奖金额为元的彩票张， 元的彩票张， 元的彩票张， 元的彩票张， 元的彩票张，问一张彩票可能中奖金额的均值是多少元？

练2．抛掷两枚骰子，当至少有一枚点或点出现时，就说这次试验成功，求在次试验中成功次数的期望．

三、总结提升
※ 学习小结
1．随机变量的均值；

2．各种分布的期望．

※ 知识拓展
某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%，问寻呼台能否向每一们客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？
～，人．

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.若是一个随机变量，则的值为（ ）．
A．无法求 B． C． D．
2设随机变量的分布列为，，则的值为 ( ) ．
A． B． C． D．
3．若随机变量～，且，则的值是（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知随机变量的分布列为：

P

则= ； ；= ．
5．一盒内装有个球，其中2个旧的，3个新的，从中任意取2个，则取到新球个数的期望值为 ．
课后作业
1．已知随机变量的分布列：

P

求

2．一台机器在一天内发生故障的概率为，若这台机器一周个工作日不发生故障，可获利万元；发生次故障仍可获利万元；发生次故障的利润为元；发生次或次以上故障要亏损万元，问这台机器一周内可能获利的均值是多少？

§2.3.2 离散型随机变量的方差（1）
学习目标
1．理解随机变量方差的概念；
2．各种分布的方差．
学习过程
一、课前准备
（预习教材P74~ P77，找出疑惑之处）
复习1：若随机变量 ～，则 ；
又若，则

复习2：已知随机变量的分布列为 ：

0
1

P

且，则 ；

二、新课导学
※ 学习探究
探究：
要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩纪录，第一名同学击中目标靶的环数～，第二名同学击中目标靶的环数，其中～，请问应该派哪名同学参赛？

新知1：离散型随机变量的方差：
当已知随机变量的分布列为
时，则称

为的方差， 为的标准差

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 ．越小，稳定性越 ，波动越 ．

新知2：方差的性质：
当均为常数时，随机变量的方差 ．特别是：

①当时， ，即常数的方差等于 ；

②当时， ，即随机变量与常数之和的方差就等于这个随机变量的方差 ；
③当时， ，即随机变量与常之积的方差，等于常数的 与这个随机变量方差的积

新知2：常见的一些离散型随机变量的方差：
（1）单点分布： ；
（2）两点分布： ；
（3）二项分布： ．
※ 典型例题
例1已知随机变量的分布列为：

0
1
2
3
4
5

0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
求和．

变式：已知随机变量的分布列：

P

求

小结：求随机变量的方差的两种方法：
一是列出分布列，求出期望，再利用方差定义求解；另一种方法是借助方差的性质求解

例2．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．

※ 动手试试
练1．已知是一个随机变量，随机变量的分布列如下：

-2
-1
0
1
2

0.2
0.1
0.1
0.4
0.2
试求．

练2．设～，且，，则与的值分别为多少？

三、总结提升
※ 学习小结
1．离散型随机变量的方差、标准差；

2．方差的性质，几个常见的随机变量的方差．

※ 知识拓展
随机变量期望与方差的关系：
．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.已知离散型随机变量的分布列为

-2
-1
0
1
P

则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．已知，且，那么的值为 ( ) ．
A． B． C． D．
3．已知随机变量服从二项分布，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知随机变量，，则的标准差为 ．
5．设随机变量可能取值为0，1，且满足
，，则= ．
课后作业
1．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，求任意取出的3件产品中次品数的数学期望、方差和标准差？

2．已知随机变量的分布列为：

0
1
2
3
4

0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
求和．

§2.3.2 离散型随机变量的方差（2）
学习目标
1．进一步理解随机变量方差的概念；
2．离散型随机变量方差的应用．
学习过程
一、课前准备
（预习教材P78~ P79，找出疑惑之处）
复习1：若随机变量 ～，则 ；
又若，则 ．

复习2：已知随机变量的分布列为 ：

0
1

P

且，则 ．

二、新课导学
※ 学习探究
探究：
甲、乙两工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列：
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
则有结论（ ）
A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些
B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C．两人的产品质量一样好
D．无法判断谁的质量好一些

※ 典型例题
例1有甲、乙两个单位都愿意用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资/元
1200
1400
1600
1800
获得相应职位的概率
0.4
0.3
0.2
0.1

乙单位不同职位月工资/元
1000
1400
1800
2000
获得相应职位的概率
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

思考：如果认为自已的能力很强，应选择 单位；
如果认为自已的能力不强，应该选择 单位．

例2．设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求．

-1
0
1

※ 动手试试
练1．甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数的分布列分别是

6
7
8
9
10

0.16
0.14
0.42
0.1
0.18

6
7
8
9
10

0.19
0.24
0.12
0.28
0.17

根据环数的期望和方差比较这两名射击队手的射击水平．

练2．有一批零件共10个合格品，2个不合格品，安装机器时从这批零件中任选一个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回
(1)求最多取2次零件就能安装的概率；
(2)求在取得合格品前已经取出的次品数的分布列，并求出的期望和方差．

三、总结提升
※ 学习小结
1．离散型随机变量的方差、标准差；
2．求随机变量的方差，首先要求随机变量的分布列；再求出均值；最后计算方差（能利用公式的直接用公式，不必列分布列）．
※ 知识拓展
事件发生的概率为．则事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.随机变量满足，其中为常数，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．的值为 ( ) ．
A．无法求 B． C． D．
3．已知随机变量的分布为，，则的值为（ ）．
A．6 B．9 C． 3 D．4
4．设一次试验成功的概率为，进行了100次独立重复试验，当 时，成功次数的标准差最大，且最大值是 ．
5．若事件在一次试验中发生次数的方差等于，则该事件在一次试验中发生的概率为 ．
课后作业
1．运动员投篮时命中率
（1）求一次投篮时命中次数的期望与方差；
（2）求重复次投篮时，命中次数的期望与方差．

2．掷一枚均匀的骰子，以表示其出现的点数．
（1）求的分布列； （2）求；（3）求、的值．